高等數學的奠基

17世紀初年，由于社會生產的需要，推動了天體力學、幾何光學、力學和數學等學科的發(fā)展，正是在這些當時處于迅速發(fā)展狀態(tài)的學科里，最先播下了微積分的數學種子。

首先，在天體力學和力學的發(fā)展中，由于計算行星的軌道，由于計算拋物體的運動，從距離和時間的函數關系求運動物體的瞬時速度，或從運動物體的瞬時速度來求運動物體的距離，這樣屬于變速運動的數學問題又突出地擺在數學家面前。

其次，在幾何光學與力學的發(fā)展中，還從另一方面提出了新的數學問題。在幾何光學中，由于設計透鏡，需要計算入射光與法線和切線的變化，因此提出了曲線上的任意一點的切線計算問題。在力學中，為了找到運動物體在曲線上任意一點的運動方向，同樣也提出了曲線上的任意一點的切線的計算問題。同時，在數學本身的發(fā)展中，特別是在笛卡爾和費爾瑪兩人的解析幾何建立之后，求曲線上任意一點的切線問題，同樣也突出地擺到數學家面前。

除了上述的求運動物體的瞬時速度和求曲線上任意一點的切線這兩個基本的數學問題之外，還有求函數的極大值和極小值問題，求曲線的長度、曲面的面積、曲體的體積等問題，同樣也提到了數學的議事日程。這些基本的數學問題，實質上可歸于同一數學問題。所以，17世紀初的數學家，只要他真正走到了當時的數學的前沿，沒有一個不想在這一數學問題上試試自己的數學才能的。

正是在上述歷史條件下，生活在17世紀初期的數學家已對微積分問題進行了卓有成效的探索。在進行這一開拓性探索的數學家隊伍中，普通數學家多達幾十人，著名數學家多達十幾人，如笛卡爾、卡瓦列利、費爾瑪、羅伯佛爾，以及英國數學家華里斯和牛頓的老師巴羅等人。在這些數學家中，法國數學家羅伯佛爾早在1634年寫作《不可分法論》(1693年出版）時，就曾對求曲線的問題作過最初的嘗試。1635年，意大利數學家卡瓦列利在出版《用新的方法推進連續(xù)體的不可分量的幾何學》一書時，已發(fā)明了一種形式比較簡單的微積分。1637年，笛卡爾在出版《幾何》一書時，在他的曲線方程的基礎上，也曾對曲線的切線問題進行過最初的研究。1637年，法國數學家費爾瑪在其《求極大值和極小值的方法》一書中，曾用微分法來求極大值與極小值。在英國，華里斯1655年出版的《無窮算術》一書中，為微積分的奠基作出了重要的貢獻。此后對微積分的奠基作出重要貢獻的，便是牛頓的老師巴羅，巴羅在1669年出版的《幾何講義》一書中，已經找到了求曲線上任意一點的切線的數學方法?？梢哉f，17世紀初期的這些數學家與微積分的最后發(fā)明都只相距一步之遙，而牛頓的老師巴羅直接把牛頓送到了微積分發(fā)明的前沿。

在數學研究中，牛頓不僅廣泛地閱讀和研究笛卡爾、費爾瑪、華里斯和巴羅等人的數學著作，而且善于吸收和綜合他人的數學成果。正因為如此，這就使牛頓有可能在綜合當時的數學成果的基礎上，跨出最高的和最后的一步，從而最終完成微積分的發(fā)明。

據牛頓自己說，他最初發(fā)明微分方法是在1665年11月，而最初發(fā)明積分方法是在1666年5月，這兩年正是牛頓在他的故鄉(xiāng)逃避瘟疫的時期。當然，牛頓所說的時間，是他最初發(fā)明這一數學方法的時間，而真正較為系統(tǒng)的建立起微積分的基本原理和主要方法，是在此后十年左右的時期。

在最初的發(fā)明微積分方法之前的1664-1665年間，牛頓曾運用華里斯的分析方法，對二項式進行過研究。這一研究是由曲線形面積的求積問題引起的。在研究中，牛頓嘗試用無窮級數的方法進行計算。隨著研究的深入，牛頓發(fā)明了著名的二項式定理。而這一定理作為曲線形面積的最直接最簡便的求積方法，對牛頓發(fā)明微積分方法起了直接的推進作用。

1669年，即牛頓繼任盧卡斯講座數學教授的當年，牛頓即著手進行微積分的研究。同年，他寫出了記述微積分的第一部重要論著：《運用無窮多項方程的分析學》。在這一論著中，牛頓在他初步引入的無窮小量的基礎上，找到了求一個變量對另一個變量的瞬時變化率的普遍方法，并因此初步地建立起微積分的基本原理。但這一論著的原稿在當年送交皇家學會登記備案后，直到1711年才公開發(fā)表。

1671年，牛頓寫出了研究微積分的第二部重要著作：《流數法與無窮級數》，即《流數術》。在這一著作中，牛頓改變了變量由無窮小量組成的看法，從力學的瞬時速度的角度對微積分方法進行了研究。他從力學的運動觀念出發(fā)，把兩個變量稱為"流"，而把兩個變量的變化率稱為"流數"。同時指出：微分的基本問題，乃是由已知的兩個流之間的關系，求它們的流數之間的關系。而積分不過是微分的逆運算。在《流數術》中，牛頓還討論了流數術的一些應用，如用它微分隱函數，求曲線的切線，求極大值與極小值，求曲線的曲率等。在《流數術》中，牛頓還附入了一個積分的簡表。但《流數術》在牛頓生前也未能出版。直到1736年，即牛頓逝世9年后，這一著作方從拉丁文原稿譯成英文出版。

1676年，牛頓寫出了研究微積分的第三部重要論著：《曲線求積法》(一譯《求曲邊形的面積》）。早在1672年，牛頓在研究華里斯的求積方法時，就發(fā)現了曲線的作法及其計算方法。在研究求積問題的基礎上，牛頓在《曲線求積法》中進一步改變了對無窮小量的看法，并試圖進一步消除甚至完全拋棄無窮小量的概念，以建立起不用無窮小量的微積分。他說："我認為數學中的量并不是由非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運動來描述的。直線不是一部分一部分的連接，而是由點的連續(xù)運動畫出的，因而是這樣生成的；面是由線的運動，體是由面的運動，角是由邊的旋轉，時間段落是由連續(xù)的流動生成的。"牛頓在放棄無窮小量的概念之后，代之以另一新的觀念：最初的和最終的比(亦譯為基本的和最終的比）。他說："流數可以任意地接近于在盡可能小的等間隔時段中產生的流量的增量，精確地說，它們是最初增量的最初的比。"同樣，牛頓的這一著作也直到1704年才公開發(fā)表。

盡管牛頓在對無窮小量這一基本概念的表述中，經歷了前后不同的演變，并因此引起了這一概念自身的混亂。但是，正是在持續(xù)十年左右的探索中，微積分的基本原理和主要方法，都由牛頓較為完整地建立起來了。

后來，牛頓把微積分的基本原理寫入他在1686年底完成的《自然哲學的數學原理》這一總結性的著作中。在《原理》的第三版中，牛頓似乎已在微積分的極限理論周圍徘徊。他說："量在其中消失的最后比，嚴格說來，不是最后量的比，而是無限減少的這些量的比所趨近的極限，而它與這個極限之差雖然能比任何給出的差更小，但是在這些量無限縮小以前既不能越過也不能達到這個極限。"當然牛頓只是提出了最初的極限概念，并未能最終建立起極限理論。但是，牛頓的極限概念無疑是后來法國著名數學家柯西(1789-1857年）建立極限理論的思想起點。所以，盡管牛頓的微積分方法本身還不十分完善，而且還缺乏嚴密的數學理論基礎，但是，作為一種全新的數學方法，它的發(fā)明已由牛頓基本上完成了。

微積分的發(fā)明，是繼笛卡爾和費爾瑪的解析幾何發(fā)明之后，近代數學史上的又一大功績。自此之后，整個數學才真正進入了一個全新的發(fā)展時期--高等數學的發(fā)展時期。如果說，解析幾何的發(fā)明還只是高等數學的曙光的話，那么微積分的發(fā)明則是高等數學的光輝燦爛的日出了。自此以后，整個近代數學的面貌就大大地改觀了。

微積分的發(fā)明，也使整個近代科學獲得了全新的數學方法，因為"只有微分學才能使自然科學可能用數學來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程：運動"。當然，在很少一段時期內，在天文學和力學以外的自然科學領域內，人們尚未一下看到這一新的數學方法的潛力。直到19世紀70年代初，當英國著名電磁學家麥克斯韋(1831-1879年）運用微積分建立起關于經典電磁理論的麥克斯韋方程時，人們才進一步認識到這一數學方法的巨大威力。