本文第一作者林俊一，共同第一作者薛敦耀來自中國人民大學。通訊作者為中國人民大學許洪騰副教授與孟澄助理教授。其他作者還包括來自北京理工大學的虞俊副教授。

在衡量3D 點云、高分子構(gòu)型等結(jié)構(gòu)性數(shù)據(jù)之間的距離關(guān)系時，一個關(guān)鍵要求是對剛體/等距變換保持不變：即對樣本施加旋轉(zhuǎn)、平移后，分布間距離不應(yīng)改變。本文將這一性質(zhì)記為SE(p) 不變性

但要同時滿足SE(p) 不變性、嚴格的度量（Metric）性質(zhì)，并具備高效且可擴展的計算，現(xiàn)有方法往往難以兼顧：要么需要顯式求解幾何對齊或引入復(fù)雜優(yōu)化，計算開銷高；要么計算更高效，卻難以滿足嚴格的度量性質(zhì)，從而削弱其作為通用距離的理論保證與下游適用性

為此，本文提出一種具有 SE(p) 不變傳輸性質(zhì)的度量 SEINT：通過構(gòu)造無需訓練的 SE(p) 不變表示，將高維結(jié)構(gòu)信息壓縮為可用于 Optimal Transport (OT) 對齊的一維表征，從而在保持不變性與嚴格度量性質(zhì)的同時顯著提升效率。

• 代碼地址：https://github.com/junyilin559/SEINT
• 論文地址：https://openreview.net/forum?id=oyxExc7TEl

要點速覽

• 新表征：本文創(chuàng)新性地提出了兩種等距不變的分布表征（PTD / DcPTD），無需訓練即可將任意維度空間中的分布映射為一維表示
• 新度量：基于上述一維表示構(gòu)建由一維 OT 對齊實現(xiàn)的 SE(p) 不變距離SEINT，該距離可被嚴格證明為在范數(shù)空間等距類上的度量

• 跨空間：除旋轉(zhuǎn)/平移不變外，SEINT 還能比較任意等距類分布，因此支持跨空間分布距離的定義。
• 可拓展：SEINT 方法目前已在范數(shù)空間得到了廣泛應(yīng)用，其形式還可進一步拓展到任意度量空間中。

最優(yōu)傳輸（OT）在分布匹配與對齊任務(wù)中應(yīng)用廣泛，也是衡量分布差異的核心工具之一。但當我們希望一個距離同時滿足：SE(p)（旋轉(zhuǎn) + 平移）不變、嚴格的度量性質(zhì)（Metric）、以及可擴展的高效計算時，現(xiàn)有方法往往難以兼顧這些方面。通常來說，強調(diào)度量性與等距不變性的內(nèi)蘊式（基于關(guān)系結(jié)構(gòu)）方法計算代價較高；而更快的外蘊式/表征式對齊雖高效，卻難同時保證這些理論性質(zhì)。

三類 SE(p) 不變的對齊策略：外蘊式、內(nèi)蘊式與表征式

SEINT在計算/度量/跨空間指標上表現(xiàn)優(yōu)異

其中，inf 表示在兩側(cè)分布間尋找最優(yōu)耦合（對齊方式），而 sup 則表示在候選參考分布中選擇最能區(qū)分兩者差異的「最不利」參考，以減弱參考選擇的偶然性，并支撐其 Metric/Isometry 相關(guān)性質(zhì)。SEINT 方法流程圖如下。

SEINT 的數(shù)值實現(xiàn)流程示意圖。 給定來自兩個空間的分布，先取樣本范數(shù)；再結(jié)合隨機一維參考 z 計算 PTD，并與距離矩陣卷積得到 DcPTD；最后計算兩側(cè) DcPTD 的一維 Wasserstein 距離，得到 SEINT。

實驗

本文從作為度量指標（Distance Metric）的幾何性質(zhì)和作為正則化項（Regularizer）的下游應(yīng)用兩個核心維度出發(fā)，與現(xiàn)有的多個 OT 基線方法進行了全面比較。

• 嚴格的 SE(p) 不變性與極高的計算效率

此外，本文通過多維縮放（MDS）展示了不同度量方法在旋轉(zhuǎn)干擾下的表現(xiàn)。如下圖所示，在對原始點云施加隨機旋轉(zhuǎn)后，只有 SEINT、GW 和 AE 能夠完美保留數(shù)據(jù)原本的閉環(huán)幾何拓撲結(jié)構(gòu)，而 SW 和 SGW 的結(jié)構(gòu)則完全崩塌。這一直觀結(jié)果再次強有力地證明了 SEINT 在處理幾何對稱性方面的優(yōu)越性，且其計算代價遠低于 GW。

• 跨空間比較能力與高維穩(wěn)定性

本文進一步評估了 SEINT 在跨空間（Cross-Space）場景下的表現(xiàn)。在 Horse-Gallop 實驗中，SEINT 成功通過比較 2D 投影與 3D 參考空間，準確捕捉到了馬匹奔跑的步態(tài)周期，展現(xiàn)了比 EGW 更強的幾何結(jié)構(gòu)感知力。

此外，在高維混合高斯數(shù)據(jù)的測試中，SEINT 克服了常見的「維度災(zāi)難」，隨著分布差異的增大，其距離度量保持了平滑且單調(diào)的增長趨勢，表現(xiàn)出優(yōu)于其他 OT 方法的數(shù)值穩(wěn)定性。

• 下游任務(wù) SOTA：3D 分子生成

為了驗證其實用價值，本文將 SEINT 作為正則化項集成到主流的擴散生成模型（EDM 和 UniGEM）中，在 QM9 和 GEOM-Drugs 數(shù)據(jù)集上進行了預(yù)訓練和微調(diào)實驗。下表結(jié)果顯示，引入 SEINT 顯著提升了生成分子的原子穩(wěn)定性（Atom Stability）和分子穩(wěn)定性（Mol Stability）。特別是在 UniGEM 模型中，SEINT 幫助模型在關(guān)鍵指標上達到了State-of-the-Art (SOTA)的性能，證明了其能夠有效引導(dǎo)模型學習正確的幾何結(jié)構(gòu)。

總結(jié)

本文提出了一種新的表征路徑：引入了兩種無需訓練的無監(jiān)督表征技術(shù)（PTD 與 DcPTD），直接生成具有 SE(p) 不變性的 1D 特征，為構(gòu)建不變性度量奠定基礎(chǔ)。

本文奠定了堅實的度量基礎(chǔ)：從理論上證明了 SEINT 是賦范空間等距類上的一個嚴格度量，該性質(zhì)保證了數(shù)據(jù)嵌入的 SE(p) 不變性，并支持跨空間的分布比較。