Quantum Bayes’ rule and Petz transpose map from the minimum change principle

基于最小變化原理的量子貝葉斯法則與佩茨轉(zhuǎn)置映射

https://arxiv.org/pdf/2410.00319v3

貝葉斯法則通常用于根據(jù)新證據(jù)更新信念，它可以源自一個(gè)最小變化原理。該原理指出，更新后的信念必須與新的數(shù)據(jù)相一致，同時(shí)與先驗(yàn)信念的偏離最小。在這里，我們引入了一個(gè)量子版本的最小變化原理，并通過最小化兩個(gè)量子輸入-輸出過程（而不僅僅是其邊際分布）之間的變化，推導(dǎo)出了量子貝葉斯法則。這類似于經(jīng)典情況，其中貝葉斯法則是通過最小化聯(lián)合輸入-輸出分布之間的若干距離來獲得的。當(dāng)變化以最大化保真度為目標(biāo)時(shí)，量子最小變化原理具有唯一解，并且由此得出的量子貝葉斯法則在許多情況下可還原為佩茨轉(zhuǎn)置映射。

引言

貝葉斯法則通常通過涉及甕和球的簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)論證來演示，但實(shí)際上，它被認(rèn)為在概率論和邏輯學(xué)中扮演著更深刻的角色，是唯一一個(gè)能根據(jù)新證據(jù)一致地更新個(gè)人信念的系統(tǒng) [1–6]。作為上述公理化方法的替代方案，貝葉斯法則也可以從一個(gè)變分論證推導(dǎo)而來：更新后的信念應(yīng)與新的觀測(cè)一致，同時(shí)盡可能少地偏離初始信念。這被稱為最小變化原理[7–10]。它形式化了這樣一種直覺：新信息應(yīng)以“最不承諾”的方式融入主體的知識(shí)中，例如，不引入數(shù)據(jù)無法證明的偏見。這些基本見解可以被視為（即便不是解釋，也至少是）貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷在幾乎所有知識(shí)領(lǐng)域中異常有效性的一個(gè)動(dòng)機(jī)。

如果將量子理論視為概率論的一種非對(duì)易擴(kuò)展，人們會(huì)期望也應(yīng)該存在一個(gè)合理的貝葉斯法則類比。然而，量子貝葉斯法則的地位仍備受爭(zhēng)議，過去幾十年里提出了許多常?；ゲ坏葍r(jià)的替代方案 [11–25]。在這些方案中，佩茨轉(zhuǎn)置映射[26, 27] 脫穎而出，成為唯一滿足一系列類似于經(jīng)典貝葉斯法則的公理的量子貝葉斯法則 [25]。

也有嘗試通過涉及“后驗(yàn)”態(tài)的優(yōu)化來推導(dǎo)量子貝葉斯法則。例如，參考文獻(xiàn) [19] 最小化了一個(gè)與量子相對(duì)熵相關(guān)的損失函數(shù)，而參考文獻(xiàn) [22, 28] 則優(yōu)化了初始態(tài)和最終態(tài)兩個(gè)估計(jì)器之間距離度量的一個(gè)上界。然而，這些方法雖然涉及優(yōu)化，但主要關(guān)注過程的邊際而非整個(gè)過程。因此，它們未能完全反映在整個(gè)過程中變化的極小性，而這恰恰是貝葉斯法則及其推廣（如杰弗里概率運(yùn)動(dòng)學(xué)理論）產(chǎn)生的核心論點(diǎn)。

因此，當(dāng)前的情況是，盡管這樣一個(gè)概念對(duì)于量子理論的基礎(chǔ)及其應(yīng)用都具有重要性，但量子理論中貝葉斯法則的類比仍未確定。

在本工作中，我們通過提出一種基于自然量子類比的最小變化原理的量子貝葉斯法則新方法，朝著解決這個(gè)問題邁出了決定性的一步。該方法涉及整個(gè)過程，而不僅僅是其邊際（示意圖參見圖 1）。具體而言，當(dāng)變化以最大化量子保真度[29, 30] 為目標(biāo)時(shí)，得到的量子貝葉斯法則可以解析地推導(dǎo)出來，并且在許多情況下對(duì)應(yīng)于佩茨轉(zhuǎn)置映射。這種聯(lián)系進(jìn)一步加強(qiáng)了貝葉斯法則、最小變化原理和佩茨轉(zhuǎn)置映射之間的聯(lián)系，從而證明它們?cè)诹孔有畔⒗碚撃酥粮鼜V范圍內(nèi)應(yīng)用的合理性。

上述方程表明，應(yīng)用于 X 和 Y 聯(lián)合分布的最小變化原理引出了 (1) 式和 (2) 式中的貝葉斯-杰弗里法則。

為了給接下來將要介紹的量子情況鋪平道路，我們將 (3) 式中的優(yōu)化問題重新表述為一個(gè)等價(jià)形式，如下所示：

圖 2 展示了一個(gè)比較佩茨轉(zhuǎn)置映射與方程 (15) 最優(yōu)解的例子。

在本工作中，我們將最小變化原理推廣到了量子情況，提出了量子貝葉斯法則的一種新表述。特別地，當(dāng)以保真度作為優(yōu)值度量時(shí)，佩茨轉(zhuǎn)置映射（通常只是“相當(dāng)好”但并非最優(yōu)的 [52, 53]）自然地在許多相關(guān)情形中作為唯一最優(yōu)解出現(xiàn)，這確認(rèn)了佩茨轉(zhuǎn)置映射作為量子貝葉斯法則的核心作用。統(tǒng)計(jì)充分性理論（佩茨轉(zhuǎn)置映射在其中扮演核心角色）與最小變化的變分原理之間的一致性表明，該原理在佩茨轉(zhuǎn)置映射已發(fā)揮作用的各個(gè)領(lǐng)域——如量子信息理論、量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)和多體物理學(xué)——具有廣泛的適用性。

此外，通過對(duì)優(yōu)化問題 (15) 施加額外的約束，可以將反向過程限制在期望的子集內(nèi)。我們已經(jīng)解析地求解了優(yōu)化問題 (15)，而對(duì)于一般情況，凸的附加約束保持了優(yōu)化問題的凸性，可以采用高效的數(shù)值算法 [59, 60]。通過這種方法，最小變化原理可以擴(kuò)展到量子梳 [61, 62]、量子超映射 [63, 64] 和量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò) [19, 65–68]，為其提供新的信念更新規(guī)則。本工作中引入的工具也可能為熵產(chǎn)生和漲落定理 [69, 70] 的完全量子化推廣鋪平道路。