導(dǎo)語(yǔ)

在完成了對(duì)“洞的結(jié)構(gòu)化刻畫(huà)”之后，拓?fù)鋵W(xué)進(jìn)一步提出了一個(gè)更深的問(wèn)題：局部的信息，究竟如何在整體尺度上積累、轉(zhuǎn)化并顯現(xiàn)其宏觀效應(yīng)？拓?fù)鋵W(xué)與同調(diào)群又如何與分析學(xué)和幾何學(xué)更緊密地結(jié)合起來(lái)，并更好地定量計(jì)算？這一追問(wèn)，正是上同調(diào)理論的出發(fā)點(diǎn)。回顧微積分的發(fā)展歷史，當(dāng)人們開(kāi)始思考“一個(gè)空間中的量如何沿著路徑、曲面乃至高維區(qū)域整體地流動(dòng)與守恒”時(shí)，便已經(jīng)踏入了上同調(diào)的思想世界。此外，如果時(shí)間允許，本講還將介紹曲率的一些基本概念和應(yīng)用。

注：本節(jié)標(biāo)題語(yǔ)出《黃帝內(nèi)經(jīng)素問(wèn)·陰陽(yáng)應(yīng)象大論篇第五》，原文為：“……審其陰陽(yáng)，以別柔剛，陽(yáng)病治陰，陰病治陽(yáng)；定其血?dú)?，各守其鄉(xiāng)……”

主題：同調(diào)與上同調(diào)、曲率與整體性）

課程簡(jiǎn)介

目標(biāo)：理解上同調(diào)與龐加萊對(duì)偶的意義，掌握曲率與拓?fù)涞穆?lián)系。

上同調(diào)不僅是同調(diào)的對(duì)偶，更與幾何/拓?fù)鋵?duì)象的整體結(jié)構(gòu)關(guān)系密切。它或直接定義，或以微分形式為語(yǔ)言，將局部可測(cè)的微分幾何量與整體不變量聯(lián)系起來(lái)，這使拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)能夠與積分、物理中的可積性/守恒律及場(chǎng)論等深刻理論自然銜接。本講將多角度介紹上同調(diào)的基本思想，并通過(guò)龐加萊對(duì)偶等定理等揭示同調(diào)與上同調(diào)之間深刻而優(yōu)美的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)——恰如“陰陽(yáng)互補(bǔ)”的整體觀。

課程將從大學(xué)微積分中的幾個(gè)基本定理——微積分基本定理、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式談起，引入外微分形式、De Rham上同調(diào)，再?gòu)膶?duì)偶的角度定義上同調(diào)群。之后通過(guò)De Rham 定理與Stokes 定理，展示同調(diào)與上同調(diào)、連續(xù)分析如何與離散拓?fù)渚_對(duì)應(yīng)。最后將引入上同調(diào)中的乘積概念，從而將上同調(diào)群升級(jí)為上同調(diào)環(huán)。而“曲率”則是微分幾何中用外微分形式刻畫(huà)的一個(gè)重要概念，它首先標(biāo)定了幾何上的彎曲程度；。而通過(guò)高斯–博內(nèi)–陳省身定理，曲率則成為連接局部微分信息與全局拓?fù)洳蛔兞康年P(guān)鍵橋梁。我們將看到：空間的整體“柔性”拓?fù)湫再|(zhì)，竟由“剛性”的幾何給出的曲率積分所編碼。

最后，本講將講解微分形式、上同調(diào)、微分形式和曲率的一些應(yīng)用，從而將其放入更廣闊的科學(xué)圖景中理解。微分形式不僅可用于積分，還在各基礎(chǔ)數(shù)學(xué)分支和工程中有根本性地位；，而上同調(diào)則可分類(lèi)用于拓?fù)鋵?duì)象數(shù)學(xué)中的分類(lèi)問(wèn)題，并且在數(shù)學(xué)和物理的諸多領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。而刻畫(huà)“彎曲”的曲率在各尺度中也廣泛存在：在宇觀層次，曲率刻畫(huà)時(shí)空的彎曲，構(gòu)成廣義相對(duì)論的核心要素；在微觀尺度上，粒子物理的規(guī)范場(chǎng)與相互作用由纖維叢的曲率來(lái)刻畫(huà)；而在宏觀世界的工程與力學(xué)系統(tǒng)中，曲率與上同調(diào)思想揭示約束、守恒與整體行為之間的內(nèi)在聯(lián)系。由此，拓?fù)?、幾何與物理在“整體性”“局部-整體關(guān)系”和“對(duì)偶性”等核心概念下深刻地統(tǒng)一起來(lái)。

課程大綱

• 梯度、散度、旋度；

• 從微積分到微分形式：微積分基本定理、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式；梯度、散度、旋度；麥克斯韋方程

• De Rham上同調(diào)與Stokes定理

• 上同調(diào)群的定義與De Rham 定理，

• 上同調(diào)中的乘法

• 龐加萊對(duì)偶

• 外微分的應(yīng)用：積分、幾何、工程、生物

• 和上同調(diào)理論的應(yīng)用：數(shù)學(xué)中的拓?fù)浞诸?lèi)問(wèn)題（流形與纖維叢）、其他領(lǐng)域中的應(yīng)用（數(shù)論與代數(shù)幾何、表示論、動(dòng)力系統(tǒng)）、物理中的應(yīng)用（場(chǎng)論、弦論、凝聚態(tài)中的拓?fù)湫颍?、其他潛在?yīng)用（生物、化學(xué)、拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析）

• 曲率的概念與高斯–博內(nèi)–陳省身定理

• 曲率的應(yīng)用（選講）：宇觀：時(shí)空曲率（廣義相對(duì)論）、微觀：纖維叢曲率（規(guī)范場(chǎng)理論）、宏觀：力學(xué)系統(tǒng)

關(guān)鍵詞

上同調(diào)、麥克斯韋方程、微積分基本定理、格林公式、高斯-奧斯特羅格拉德斯基公式、斯托克斯公式、de Rham上同調(diào)、龐加萊引理、Stokes定理、de Rham定理、上同調(diào)環(huán)、上積、龐加萊對(duì)偶、辛幾何、哈密頓力學(xué)、有限元、示性類(lèi)、拓?fù)湫?、霍奇猜想、?jì)算機(jī)圖形學(xué)、拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析、曲率、高斯絕妙定理、高斯–博內(nèi)–陳定理、廣義相對(duì)論、規(guī)范場(chǎng)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

課程信息

課程主題：審其陰陽(yáng)、以別柔剛——同調(diào)與上同調(diào)、曲率與整體性

課程時(shí)間：1月11日（周日）晚19:00-21:00

課程形式：騰訊會(huì)議（會(huì)議信息見(jiàn)群內(nèi)通知）；集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3個(gè)工作日內(nèi)上線）

課程主講人

金威，北京大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士，博士后。主要研究方向?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)物理?，F(xiàn)從事人工智能的基礎(chǔ)理論和算法研發(fā)，并致力于數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)方面的教育/科研和科普活動(dòng)。《基本粒子：數(shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)》一書(shū)中文版譯者，《返樸》公眾號(hào)作者。研究興趣：屬性論和屬性數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)物理、系統(tǒng)科學(xué)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、中醫(yī)等。

課程適用對(duì)象

1. 理工科領(lǐng)域研究者及高年級(jí)學(xué)生：適合具備基礎(chǔ)數(shù)學(xué)背景（微積分、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程）的理工科高年級(jí)本科生、研究生及科研人員。尤其適合關(guān)注復(fù)雜系統(tǒng)、非線性動(dòng)力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理、信息科學(xué)等方向，或希望將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于物理、工程、生命與智能/認(rèn)知系統(tǒng)的學(xué)習(xí)者。

2. 喜愛(ài)探索和創(chuàng)新學(xué)習(xí)者：面向?qū)Τ橄笏季S、系統(tǒng)建模與跨學(xué)科分析有興趣的學(xué)生與研究者。鼓勵(lì)具備問(wèn)題意識(shí)、善于邏輯推理與思維開(kāi)放的學(xué)習(xí)者，通過(guò)拓?fù)鋵W(xué)培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化與整體化的科學(xué)思維。

報(bào)名須知

1. 課程形式：騰訊會(huì)議，前兩課線上同步直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播，部分課程設(shè)置線下課。

2. 課程周期：2025年11月23日-2026年1月，線上課程每周日19：00-21：00進(jìn)行。

3. 課程定價(jià)：前兩節(jié)課程免費(fèi)，全部課程原價(jià)599

付費(fèi)流程

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可開(kāi)發(fā)票

2. 課程頁(yè)面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開(kāi)發(fā)票。

課程群內(nèi)討論交流

拓?fù)鋵W(xué)課程：從空間直覺(jué)到系統(tǒng)科學(xué)

你是否曾思考過(guò)：為什么咖啡杯在數(shù)學(xué)上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從“拓?fù)洹苯嵌壤斫猓?/p>

拓?fù)鋵W(xué)不僅是數(shù)學(xué)的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性乃至復(fù)雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問(wèn)題到DNA的纏結(jié)，從量子場(chǎng)論到思維科學(xué)與腦科學(xué)，拓?fù)鋵W(xué)思想正在各學(xué)科中普遍而深刻地重塑著我們的認(rèn)知方式。

集智學(xué)園聯(lián)合北京大學(xué)博士金威老師開(kāi)設(shè)，課程于11月23日開(kāi)啟，歡迎感興趣的讀者加入。

詳情請(qǐng)見(jiàn)：