在 19 世紀(jì), 數(shù)學(xué)在根本層面上發(fā)生了改變. 在它變得更深刻、更廣闊的同時(shí), 對(duì)數(shù)學(xué)洞察能力的要求也越來(lái)越高. 而且, 數(shù)學(xué)催生了一種職業(yè). 大學(xué)和技術(shù)研究所大量涌現(xiàn), 需要能夠講授高級(jí)課題的職員. 數(shù)學(xué)教師, 曾經(jīng)是沒(méi)有經(jīng)濟(jì)保證的職業(yè)選擇, 此時(shí)則成了鐵飯碗.

數(shù)學(xué)的研究越來(lái)越聚焦于精確的定義和嚴(yán)格的證明. 歐拉揮灑自如的風(fēng)格已經(jīng)讓位于柯西的詳盡分析. 微積分演變?yōu)槲覀兘裉焖Q(chēng)的分析學(xué)科. 貫穿這個(gè)世紀(jì)的一條分析主線, 是圍繞傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的種種問(wèn)題.

本章將探究這方面的一些成果, 以黎曼對(duì)積分的定義與相關(guān)工作為起點(diǎn), 以對(duì)實(shí)數(shù)本質(zhì)的驚人洞察為高潮. 這只不過(guò)是一個(gè)簡(jiǎn)短的體驗(yàn), 讓你品味一下微積分在這個(gè)變革的世紀(jì)中發(fā)生了什么.

來(lái)源 | 《微積分溯源：偉大思想的歷程》

作者 | [美] 戴維·M. 布雷蘇（David M. Bressoud）

譯者：陳見(jiàn)柯 林開(kāi)亮 葉盧慶

摘自 | 《分析》一章

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黎曼積分

伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann, 1826—1866) 曾受教于卡爾·弗里德里?！じ咚购凸潘顾颉さ依死? 也許是 19 世紀(jì)最有才能的數(shù)學(xué)家, 他完全革新了幾何學(xué)與分析學(xué), 而且只用一篇文章就奠定了素?cái)?shù)定理的證明基礎(chǔ). 這一工作表明, 復(fù)平面上的微積分可以用來(lái)證明, 不超過(guò) 的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)漸近等于 . 1854 年, 為取得在德國(guó)大學(xué)擔(dān)任教授的資格 (Habilitation), 黎曼需要提交一篇更高級(jí)的論文, 他選擇了建立任意一個(gè)函數(shù)可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的充要條件.

所成的論文《用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示函數(shù)》以對(duì)這個(gè)問(wèn)題的歷史綜述開(kāi)始. 黎曼接下來(lái)建立了一個(gè)函數(shù)可積的充要條件. 關(guān)鍵在于, 對(duì)于任意事先指定的上界 , 變差大于 的地方必須要在一些區(qū)間之內(nèi), 所有這些區(qū)間的長(zhǎng)度之和可以任意小.

為了說(shuō)得更清楚, 我們需要定義函數(shù)在一點(diǎn)的變差(振幅). 考慮 在所有包含 的開(kāi)區(qū)間上的變差. 在點(diǎn) 的變差 , 定義為 在所有包含 的開(kāi)區(qū)間上的變差的下確界. 特別是, 當(dāng)且僅當(dāng) 在點(diǎn) 連續(xù). 函數(shù) 在 可積的一個(gè)充要條件是, 對(duì)任意的 與 , 變差大于等于 的點(diǎn)集中在總長(zhǎng)度小于 的一些區(qū)間內(nèi).

這個(gè)定理的證明可以通過(guò)將定積分定義為

的極限而變得更簡(jiǎn)單, 其中 是區(qū)間 中的任意一點(diǎn). 正如我們?cè)?4.6 節(jié)介紹的, 當(dāng)且僅當(dāng)我們可以控制各個(gè)區(qū)間的最大長(zhǎng)度, 使得以下和式

與 0 任意接近時(shí), 定積分存在. 連續(xù)函數(shù)是可積的, 因?yàn)槲覀兛梢栽诿總€(gè)區(qū)間上將變差 控制得足夠小. 不過(guò), 我們也可以使得上述和式足夠小, 只要我們能夠?qū)⒛切┳儾畋容^大的子區(qū)間的長(zhǎng)度總和控制住.

例如, 只在一個(gè)點(diǎn)不連續(xù)的有界函數(shù)是可積的. 盡管包含這個(gè)點(diǎn)的區(qū)間上的變差不可能小于該點(diǎn)的變差, 但我們可以將區(qū)間的長(zhǎng)度選取得足夠小, 使得它對(duì)式 (5.1) 的貢獻(xiàn)足夠小.

雖然黎曼對(duì)定積分的定義很笨拙, 但對(duì)他的本意來(lái)說(shuō)是完美的, 即建立函數(shù)可積的充要條件.

黎曼立即構(gòu)造了一個(gè)函數(shù), 它在包含它的每一個(gè)任意小的區(qū)間內(nèi)都是不連續(xù)的, 但它仍然是可積的. 他的函數(shù)是

其中 是 減去離 最近的整數(shù), 在例外的情況中, 即當(dāng) 為半整數(shù)時(shí), 離它最近的整數(shù)有兩個(gè), 此時(shí)定義 等于 0. 例如, . 雖然這個(gè)函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上都有一個(gè)不連續(xù)點(diǎn), 但對(duì)每個(gè) , 只存在有限多個(gè)點(diǎn), 其變差超過(guò) . 這個(gè)函數(shù)的圖像在圖 5.1 中給出.

黎曼對(duì)定積分的最后一個(gè)貢獻(xiàn), 是引入了瑕積分的概念. 他指出, 有可能通過(guò)取極限的方式來(lái)定義一個(gè)無(wú)界函數(shù)的積分. 作為例子, 等于 2, 這是因?yàn)?/p>

雖然 在 上不可積, 但它的瑕積分存在.

圖 5.1　黎曼的在每個(gè)區(qū)間上都有不連續(xù)點(diǎn)的可積函數(shù):

2

微積分基本定理的反例

只要我們只考慮連續(xù)函數(shù), 微積分基本定理就成立. 但如果我們考慮的是具有無(wú)限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù), 就不能再假定作為黎曼和極限的積分與作為原函數(shù)的積分是等價(jià)的. 這樣一個(gè)例子來(lái)自式 (5.2) 所給出的黎曼函數(shù).

有些函數(shù)本身是導(dǎo)函數(shù), 但不一定是連續(xù)的. 一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的例子是不連續(xù)導(dǎo)數(shù) (discontinuous derivative), 我將稱(chēng)之為 函數(shù), 定義如下 (圖 5.2):

圖 5.2　當(dāng) 時(shí), ; 當(dāng) 時(shí),

當(dāng) 時(shí), 的導(dǎo)數(shù)是 . 當(dāng) 時(shí), 需要用到導(dǎo)數(shù)的極限定義來(lái)計(jì)算:

在 處不連續(xù), 因?yàn)?/p>

不存在.

正如加斯東·達(dá)布 (Gaston Darboux, 1842—1917) 在 19 世紀(jì) 70 年代所證明的, 每個(gè)導(dǎo)函數(shù)一定具有介值性質(zhì).也就是說(shuō), 若 是某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), 則對(duì)任意的 , 以及介于 和 之間的任意的 , 一定存在某個(gè) , 使得 . 式 (5.3) 所定義的函數(shù) 具有一個(gè)在 處不連續(xù)的導(dǎo)函數(shù), 不過(guò) 仍然具有介值性質(zhì): 每個(gè)包含 的開(kāi)區(qū)間也包含使得 取值為 的點(diǎn), 以及取值為 之間任意一個(gè)值的點(diǎn) (圖 5.3).

圖 5.3　當(dāng) 時(shí), ; 當(dāng) 時(shí),

從達(dá)布的結(jié)果可以推出, 式 (5.2) 所給出的黎曼可積函數(shù)不可能是一個(gè)導(dǎo)函數(shù). 如果我們定義

則 在 的任意不連續(xù)點(diǎn)都不可導(dǎo). 內(nèi)的每個(gè)開(kāi)區(qū)間都包含無(wú)窮多個(gè) 的值, 使得 在 處不可導(dǎo), 正是因?yàn)楸欢x為積分的函數(shù)并不一定就可導(dǎo).

在另一個(gè)方向又如何呢？如果已知函數(shù) 是另一個(gè)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù), 是否總可以對(duì) 積分？嚴(yán)格說(shuō)來(lái), 不存在可以作為黎曼和極限的無(wú)界函數(shù). 由此可以推出, 的導(dǎo)數(shù)在任何包含 的區(qū)間上不可積. 不過(guò)這還不夠令人信服, 因?yàn)殍Ψe分的確存在. 這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)更強(qiáng)的版本如下: 如果已知函數(shù) 在區(qū)間 上每一點(diǎn)可導(dǎo), 而且其導(dǎo)數(shù) 在該區(qū)間上有界, 是否可以推出 在該區(qū)間上可積？換言之, 若在區(qū)間 上 存在且有界, 是否總有

令人驚訝的是, 回答是“否”. 原因是定積分有可能不存在. 這個(gè)結(jié)果是由意大利數(shù)學(xué)家維托·沃爾泰拉 (Vito Volterra, 1860—1940) 在 20 歲時(shí)給出的, 在一年以后, 即 1881 年發(fā)表. 這種函數(shù)的一個(gè)反例的介紹與解釋可見(jiàn) [10], pp. 89-94.

雖然有這些令人不安的發(fā)現(xiàn), 關(guān)于黎曼積分的真正問(wèn)題倒不在于微分與積分并非總是互逆的過(guò)程, 而是在于結(jié)果表明, 黎曼積分 —— 其定義用于澄清一個(gè)不連續(xù)函數(shù)何時(shí)可積 —— 不太適合用來(lái)證明關(guān)于積分的其他結(jié)果. 特別是 19 世紀(jì)晚期的一個(gè)重要問(wèn)題: 刻畫(huà)那些可以逐項(xiàng)積分的級(jí)數(shù). 這對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)以及其他源于求解偏微分方程的級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)尤為重要.

一個(gè)不可逐項(xiàng)積分的級(jí)數(shù)的例子如下:

其部分和是 (圖 5.4)

圖 5.4　 的圖像, (實(shí)線), (長(zhǎng)虛線), (短虛線)

隨著 的增大, 的駝峰越來(lái)越向右隆起. 對(duì) 中的每個(gè) 隨著 的增大而趨近于 0. 因此,

這個(gè)級(jí)數(shù)的積分等于 0,

而 下方區(qū)域的面積是 , 當(dāng) 趨于無(wú)窮時(shí), 它趨于 1:

在這個(gè)例子中, 無(wú)窮和的積分并不等于積分的無(wú)窮和.

亨利·勒貝格 (Henri Lebesgue, 1875—1941) 在其 1901 年的博士論文中, 提出了一個(gè)不同的積分, 這可以消除與黎曼積分相關(guān)聯(lián)的許多困難. 他沒(méi)有分割函數(shù)的定義域, 而是選擇劃分值域.

在圖 5.5 中, 值域被劃分為高度等于 1 的各個(gè)區(qū)間. 所標(biāo)記的區(qū)間, 是那些取值在 1 和 2 之間的點(diǎn). 我們用 , 即 的測(cè)度, 來(lái)表示所有這些區(qū)間的長(zhǎng)度之和. 更一般的是, 是那些函數(shù)值介于 和 之間的區(qū)間長(zhǎng)度之和. (我們將在 5.4 節(jié)看到任意一個(gè)集合的測(cè)度的定義.) 對(duì)于 在 上的積分, 我們讓每個(gè)測(cè)度 乘以對(duì)應(yīng)函數(shù)值下界 而得到一個(gè)下界, 讓每個(gè)測(cè)度 乘以對(duì)應(yīng)函數(shù)值上界 而得到一個(gè)上界:

圖 5.5　勒貝格的水平劃分

如果我們選取一個(gè)更精細(xì)的劃分, 比如 , 且 , 其中 取遍所有的整數(shù), 并令 是滿足 的 構(gòu)成的集合, 則定積分有上、下界如下:

當(dāng)且僅當(dāng)可以選取充分小的 , 使得上式兩端的上和與下和任意接近時(shí), 函數(shù) 的勒貝格積分存在. 上和與下和的差正好是

因?yàn)? 是有限的, 所以如果 在區(qū)間上的上界與下界都是有限的, 那么可以選取充分小的 , 使得這個(gè)差任意小. 在這種情況下, 勒貝格積分的上界與下界趨向于同一個(gè)極限.

值得指出的是, 勒貝格的方法可以處理在一個(gè)方向無(wú)界 (即無(wú)上界或無(wú)下界) 的函數(shù), 而無(wú)須借助于瑕積分. 如果積分的下極限趨于 , 那么定積分的值就定義為 . 如果積分的下極限趨于某有限值, 則上極限必定趨于同一個(gè)值, 從而定積分具有一個(gè)有限值. 此外, 如果我們?cè)试S 是無(wú)窮多個(gè)區(qū)間的并集, 則沃爾泰拉的函數(shù)不再構(gòu)成微積分基本定理的反例. 利用勒貝格積分, 它的導(dǎo)數(shù)仍然是可積的. 不過(guò)最重要的在于, 勒貝格大大簡(jiǎn)化了決定一個(gè)級(jí)數(shù)何時(shí)可以逐項(xiàng)積分的問(wèn)題. 今天, 大多數(shù)數(shù)學(xué)家在使用勒貝格積分, 不論是以隱含的方式, 還是以明確的方式.

為使用勒貝格積分, 我們需要對(duì)任意的有界實(shí)數(shù)集 定義其測(cè)度 , 而這意味著我們需要理解實(shí)數(shù)的子集的可能結(jié)構(gòu), 結(jié)果表明, 這個(gè)挑戰(zhàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了 19 世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)家可以想見(jiàn)的難度. 對(duì)此, 我們將在本章最后一節(jié) (5.4 節(jié)) 探究.

不過(guò), 即便是勒貝格積分也并不是完美無(wú)缺的. 如果我們考慮函數(shù)

它具有定義良好的導(dǎo)數(shù),

但在任何一個(gè)包含 0 的區(qū)間上, 這個(gè)導(dǎo)數(shù)既沒(méi)有上界也沒(méi)有下界, 它的勒貝格積分不存在, 盡管其瑕黎曼積分確實(shí)存在. 在 1912 年與 20 世紀(jì) 60 年代之間, 好幾位數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了克服這個(gè)問(wèn)題的等價(jià)的積分定義, 通常被稱(chēng)為亨斯托克 (Henstock) 積分.

這里所傳遞出的信息在于, 積分的整個(gè)課題遠(yuǎn)比我們?cè)谝辉⒎e分里學(xué)到的復(fù)雜. 然而, 學(xué)生必須要懂得函數(shù)既可以作為微分的逆運(yùn)算, 也可以作為求和的極限過(guò)程. 微積分基本定理正好聯(lián)系了積分的這兩個(gè)觀點(diǎn), 而且微積分的諸多威力恰好依賴于這一聯(lián)系.

3

魏爾施特拉斯和橢圓函數(shù)

在談?wù)?19 世紀(jì)的分析學(xué)發(fā)展時(shí), 必定要提到卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯 (Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815—1897, 圖 5.6), 他被貝爾 (Bell) 譽(yù)為“分析學(xué)之父”. 我們 (在 3.3 節(jié)) 早就碰到過(guò)他了, 他確立了歐拉關(guān)于正弦函數(shù)的無(wú)窮乘積的合理性. 自 1856 年起, 魏爾施特拉斯開(kāi)始擔(dān)任柏林大學(xué)的數(shù)學(xué)教授, 他在那里教授周期為兩年的分析學(xué), 培養(yǎng)了 19 世紀(jì)晚期的許多數(shù)學(xué)家, 包括索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭 (Sofia Kovalevskaya, 1850—1891), 首位在歐洲的大學(xué)擁有數(shù)學(xué)教授席位的女?dāng)?shù)學(xué)家. 對(duì)一致連續(xù)性與一致收斂性的現(xiàn)代理解, 主要功歸于魏爾施特拉斯. 他證明了, 如果一個(gè)級(jí)數(shù)一致收斂, 那么它就可以逐項(xiàng)積分,

魏爾施特拉斯經(jīng)常在課堂上慷慨地分享其數(shù)學(xué)創(chuàng)見(jiàn), 并允許學(xué)生細(xì)化并發(fā)表.

圖 5.6　卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯

第一個(gè)無(wú)處可微的連續(xù)函數(shù)的例子就是這種情形. 1872 年, 魏爾施特拉斯在課堂上給出了這個(gè)例子. 三年后, 他的學(xué)生保羅·杜波依斯-雷蒙德將它發(fā)表了. 關(guān)于魏爾施特拉斯的諸多貢獻(xiàn)的一個(gè)極好的介紹可見(jiàn)于威廉·鄧納姆 (William Dunham) 的《微積分的歷程》(The Calculus Gallery).

魏爾施特拉斯的成功之路并非一帆風(fēng)順. 他父親對(duì)他的期望是在普魯士政府謀得一個(gè)管理職位. 為此, 他把魏爾施特拉斯送到大學(xué)學(xué)習(xí)法律、金融和經(jīng)濟(jì). 因?yàn)楦赣H不允許他追求數(shù)學(xué), 魏爾施特拉斯非常沮喪, 他忽略了所有課程, 連期末考試也懶得搭理. 大學(xué)肄業(yè)一年后, 他進(jìn)入明斯特大學(xué), 預(yù)備成為一名高中數(shù)學(xué)老師. 1841 年, 剛好快到他 26 歲生日時(shí), 他終于畢業(yè)了, 并得到了第一份教職.

幸運(yùn)的是, 魏爾施特拉斯在明斯特大學(xué)的老師有克里斯托夫·古德曼 (Christoph Gudermann, 1798—1852), 他是當(dāng)時(shí)少有的橢圓函數(shù)與阿貝爾函數(shù)方面的專(zhuān)家之一. 魏爾施特拉斯的最大貢獻(xiàn)就在于對(duì)這類(lèi)函數(shù)的研究, 遺憾的是, 只有極少數(shù)數(shù)學(xué)本科專(zhuān)業(yè)課程會(huì)介紹這類(lèi)函數(shù). 在業(yè)余時(shí)間, 他探究這類(lèi)函數(shù)的奧秘, 偶爾發(fā)表幾篇文章, 但很少受到關(guān)注. 直到 1854 年, 他發(fā)表了《關(guān)于阿貝爾函數(shù)的理論》( “Zur Theorie der Abelschen Functionen” ), 這項(xiàng)工作是如此重要, 以至于哥尼斯堡大學(xué)授予他榮譽(yù)博士學(xué)位, 柏林大學(xué)則聘請(qǐng)他為數(shù)學(xué)教授.

為討論魏爾施特拉斯所取得的成就, 我們需要復(fù)平面的微積分知識(shí), 因此這超出了我們?cè)谶@些篇幅里可以解釋的范圍. 然而, 由于橢圓函數(shù)非常重要, 在當(dāng)今最激動(dòng)人心的數(shù)學(xué) (從費(fèi)馬大定理的證明一直到現(xiàn)代物理中的弦論) 中占有中心位置, 因此值得指出它們是如何定義的, 以及為什么如此重要. 橢圓函數(shù)的名字源于一個(gè)曾經(jīng)困擾牛頓的問(wèn)題: 求出橢圓的一段弧長(zhǎng). 正如在 2.6 節(jié)所提到的, 人們?cè)?1659 年就已經(jīng)知道了弧長(zhǎng)公式

一旦知道行星的運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓, 自然就引出了求橢圓弧長(zhǎng)的問(wèn)題. 如果我們考慮中心在原點(diǎn)的上半橢圓 (其中 ), 或

其導(dǎo)數(shù)是

從 0 到 的弧長(zhǎng)為

其中, .

問(wèn)題源于被積函數(shù)分母中的四次多項(xiàng)式的平方根. 在同一時(shí)期, 人們還發(fā)現(xiàn)了其他類(lèi)似的積分, 其中最著名的一個(gè)是, 確定單擺何時(shí)沿著其擺弧到達(dá)某給定點(diǎn)的積分.這些積分 (分子是一個(gè)多項(xiàng)式, 分母是一個(gè)三次或四次多項(xiàng)式的平方根) 后來(lái)被稱(chēng)為橢圓積分. 分母是一個(gè)五次以上多項(xiàng)式的平方根的積分被稱(chēng)為阿貝爾積分, 源于阿貝爾對(duì)它們的研究.

1797 年, 高斯發(fā)表了對(duì)這些積分的第一個(gè)真正見(jiàn)解, 聚焦于最簡(jiǎn)單的情形 (這個(gè)函數(shù)的圖像見(jiàn)圖 5.7):

高斯注意到, 可積分的類(lèi)似函數(shù) (其分母是一個(gè)二次多項(xiàng)式的平方根的函數(shù)) 是更常見(jiàn)的函數(shù)的反函數(shù),

其中, 是雙曲正弦函數(shù), 而 是它的反函數(shù). 第一個(gè)見(jiàn)解是, 與其考慮由橢圓積分定義的函數(shù), 不如關(guān)注其反函數(shù).橢圓函數(shù) 就定義為 的反函數(shù).

第二個(gè)見(jiàn)解源于這樣的認(rèn)識(shí): 橢圓函數(shù)只有定義在復(fù)平面 上才能展現(xiàn)其真正本性. 雖然正弦函數(shù)與雙曲正弦函數(shù)作為實(shí)數(shù)軸上的函數(shù)看起來(lái)非常不同, 但如果在復(fù)平面上考察它們, 差異就消失了. 多虧了歐拉公式, 即 3.3 節(jié)的式 (3.9), 我們有

作為復(fù)平面到自身的一個(gè)映射, 雙曲正弦函數(shù)只不過(guò)是將正弦的自變量與因變量都旋轉(zhuǎn)了 . 特別是, 在復(fù)平面上, 它們都是周期函數(shù). 正弦函數(shù)有實(shí)周期: . 雙曲正弦有純虛周期:

圖 5.7　 在 上的圖像

橢圓函數(shù)具有兩個(gè)周期. 復(fù)平面上的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量可定義一個(gè)平行四邊形, 它可以用來(lái)產(chǎn)生一個(gè)格 (圖 5.8). 正如正弦函數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的值由它在 上的值唯一確定, 一個(gè)橢圓函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上的值也由它在這個(gè)平行四邊形上的值唯一確定. 事實(shí)上, 正弦函數(shù)與雙曲正弦函數(shù)只不過(guò)是橢圓函數(shù)的極端情況, 兩個(gè)周期之一被拉伸為無(wú)窮大.

圖 5.8　一個(gè)具有周期 1 和 的橢圓函數(shù)的周期格

橢圓函數(shù)的優(yōu)美與威力源于它們之間的錯(cuò)綜復(fù)雜的恒等式與關(guān)系. 三角函數(shù)等式只不過(guò)是橢圓函數(shù)世界的紛繁景象的蒼白投影. 對(duì)橢圓函數(shù)的直覺(jué), 沒(méi)有一個(gè)人能勝過(guò)印度數(shù)學(xué)家斯里尼瓦瑟·拉馬努金 (Srinivasa Ramanujan, 1887—1920), 他甚至經(jīng)歷了兩次大學(xué)輟學(xué). 作為馬德拉斯 (Madras) 的一個(gè)職員, 他有機(jī)會(huì)到馬德拉斯大學(xué)的數(shù)學(xué)圖書(shū)館學(xué)習(xí), 他在那里學(xué)到了橢圓函數(shù), 并開(kāi)始自己探索這片沃土. 他的發(fā)現(xiàn)在其短暫的一生中得到了認(rèn)可, 他成為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)最年輕的會(huì)員之一, 而且是印度第二個(gè)享有此榮譽(yù)的人. 由于人們后來(lái)發(fā)現(xiàn), 源于橢圓函數(shù)的對(duì)稱(chēng)遍及大自然, 因此拉馬努金的結(jié)果對(duì)現(xiàn)代物理來(lái)說(shuō)變得非常根本.14今天稱(chēng)為金奈 (Chennai).

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實(shí)數(shù)的子集

格奧爾格·康托爾以他在集合論和實(shí)數(shù)系結(jié)構(gòu)方面的工作著稱(chēng), 不過(guò)他是從一個(gè)關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的問(wèn)題開(kāi)始做研究的. 康托爾曾在柏林大學(xué)跟隨庫(kù)默爾 (Kummer) 和魏爾施特拉斯研習(xí)數(shù)論. 在獲得擔(dān)任大學(xué)教授職位的資格后, 他的第一份工作是在哈雷-維滕貝格大學(xué)任教, 在那里, 愛(ài)德華·海涅勸服他研究傅里葉級(jí)數(shù)中存在的問(wèn)題. 康托爾很快全力解決了具有無(wú)窮多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi). 這使他認(rèn)識(shí)到, 實(shí)數(shù)的所有無(wú)限子集并非都可以比較大小.

事實(shí)上, 正如數(shù)學(xué)界慢慢認(rèn)識(shí)到的, 對(duì)實(shí)數(shù)的有界無(wú)限子集的大小, 存在三種不同的描述方式: 稠密性、基數(shù)和測(cè)度.

稠密性是其中最古老的, 而且在 19 世紀(jì)中葉前就已經(jīng)得到了很好的理解. 如果每一個(gè)與 相交的開(kāi)區(qū)間都包含 的子集 中的至少一個(gè)點(diǎn), 則稱(chēng) 在 中稠密. 事實(shí)上, 你一旦知道每個(gè)開(kāi)區(qū)間都包含 中至少一點(diǎn), 就不難知道, 每個(gè)開(kāi)區(qū)間包含 中無(wú)限多個(gè)點(diǎn). 上的一個(gè)稠密子集的經(jīng)典例子是該區(qū)間上的全部有理數(shù). 許多更小的子集, 比如分母為 2 的冪的有理數(shù), 也是稠密的.

另一個(gè)極端, 是所謂的無(wú)處稠密的子集. 如果 的每個(gè)開(kāi)子區(qū)間都包含著一個(gè)子區(qū)間, 它跟 不相交, 則集合 在 中無(wú)處稠密. 任何有限子集都是無(wú)處稠密的, 集合 在 中也是無(wú)處稠密的. 的每個(gè)開(kāi)子區(qū)間 都包含一點(diǎn) , 它不是某整數(shù)的倒數(shù), 因此它介于 與 之間 ( 為正整數(shù)). 與 的交就是 的一個(gè)子區(qū)間, 它不包含任何形如 的數(shù).

正是康托爾在 1873 年發(fā)現(xiàn) (并于次年發(fā)表) 了無(wú)限集合的基數(shù)的重要性.兩個(gè)集合具有相同的基數(shù), 當(dāng)且僅當(dāng)它們之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 在這個(gè)意義下, 區(qū)間上的有理數(shù)集不超過(guò)正整數(shù)集. 從 和 出發(fā), 我們可以將有理數(shù)線性排序: 取有理數(shù)的簡(jiǎn)約形式, 如果 或 , 而 , 則 排在 之前. 中的全部有理數(shù)可以與正整數(shù)形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系, 如下所示.

有限集或可以與正整數(shù)集形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的集合都稱(chēng)為可數(shù)的. 有理數(shù)集是可數(shù)的. 這也許不足為怪. 那么究竟是否只有一種無(wú)限呢？康托爾 1874 年的論文表明, 存在更大的無(wú)限. 特別是, 區(qū)間上的全部實(shí)數(shù)無(wú)法與正整數(shù)集構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 這個(gè)事實(shí)的標(biāo)準(zhǔn)證明有賴于實(shí)數(shù)的無(wú)限小數(shù)表示是眾所周知的.鄧納姆對(duì)康托爾的原始證明給出了優(yōu)美的論述, 這個(gè)證明直接建立在實(shí)數(shù)的完備性基礎(chǔ)上.如果一個(gè)集合不是可數(shù)的, 就稱(chēng)為不可數(shù). 區(qū)間上的實(shí)數(shù)集不可數(shù).

我們?cè)?5.2 節(jié)遇到了描述一個(gè)集合大小的第三種方式, 稱(chēng)為測(cè)度. 勒貝格用三條準(zhǔn)則來(lái)定義它:

(1) 區(qū)間的測(cè)度是其長(zhǎng)度, 單點(diǎn)集的測(cè)度是 0, 對(duì)于有限多個(gè)或可數(shù)無(wú)窮多個(gè)有測(cè)度定義的集合的無(wú)交并, 其測(cè)度是各個(gè)子集合的測(cè)度之和;

(2) 對(duì)一個(gè)集合做平移 (即每個(gè)元素加上同一個(gè)數(shù)) 不會(huì)改變其測(cè)度;

(3) 若 和 都有定義良好的測(cè)度, 則 與 (在集合 中而不在集合 中的元素構(gòu)成的集合) 都有定義良好的測(cè)度, 而且后者的測(cè)度等于 的測(cè)度減去 的測(cè)度.

正如勒貝格所能證明的, 這些條件唯一確定了度量實(shí)數(shù)子集大小的方式. 為求出一個(gè)集合 的測(cè)度, 我們定義 的一個(gè)覆蓋 為開(kāi)區(qū)間的任意一個(gè)包含了 的可數(shù)并, 而該覆蓋的長(zhǎng)度則定義為這些開(kāi)區(qū)間的長(zhǎng)度之和.若 的測(cè)度存在, 則它必定等于 的所有覆蓋之長(zhǎng)度的下確界. 如果我們考慮 的子集, 則這個(gè)區(qū)間上的有理數(shù)集 (它是可數(shù)多個(gè)測(cè)度等于 0 的集合的無(wú)交并) 的測(cè)度等于 0, 而這個(gè)區(qū)間上的無(wú)理數(shù)集具有測(cè)度 1. 任意可數(shù)集必的測(cè)度必然為 0. 那么 上的不可數(shù)集又如何呢？

正如康托爾所表明的, 一個(gè)不可數(shù)集的測(cè)度也可能為 0. 如果我們從區(qū)間 出發(fā), 去掉開(kāi)區(qū)間 , 就得到了一個(gè)測(cè)度為 的集合. 如果我們繼續(xù)去掉剩下兩個(gè)區(qū)間中間的三分之一, 即 和 , 就能得到一個(gè)測(cè)度為 的集合. 如法炮制, 我們?cè)诿恳徊饺サ羯弦徊绞Ｏ碌母鱾€(gè)區(qū)間中間的三分之一. 在第 步以后, 我們得到 個(gè)區(qū)間, 其總測(cè)度是 (圖 5.9). 集合 有時(shí)稱(chēng)為康托爾塵 (Cantor dust), 它由 中剩下的點(diǎn)構(gòu)成. 被去掉的集合是一些區(qū)間的可數(shù)并, 從而康托爾塵是可測(cè)的, 而且其測(cè)度是

集合 顯然包含了所有區(qū)間的端點(diǎn), 即分母為 3 的冪的有理數(shù). 也許會(huì)讓你驚訝的是, 中還包含不可數(shù)個(gè)其他點(diǎn).

圖 5.9　通過(guò)去掉中間的三分之一來(lái)構(gòu)造康托爾集

對(duì)此, 最簡(jiǎn)單的方式是采用 3 為底數(shù), 或者 0 和 1 之間的實(shí)數(shù)的三進(jìn)制表示. 例如

這些區(qū)間的端點(diǎn)是有窮的三進(jìn)制小數(shù). 0 和 1 之間的每個(gè)實(shí)數(shù)都可以在十進(jìn)制下表示為一個(gè)無(wú)窮小數(shù), 而且這個(gè)表示是唯一的, 除了那些有限小數(shù)也可以表示為以無(wú)窮多個(gè) 9 結(jié)尾的無(wú)窮小數(shù)以外, 例如

以類(lèi)似的方式, 0 和 1 之間的每個(gè)實(shí)數(shù)都可以在三進(jìn)制下表示為一個(gè)無(wú)窮小數(shù) (其中只用到數(shù)字 ), 而且這個(gè)表示是唯一的, 除了那些有限小數(shù)也可以表示為以無(wú)窮多個(gè) 2 結(jié)尾的無(wú)窮小數(shù)以外, 例如

康托爾塵由單位區(qū)間去掉了區(qū)間 , 然后是 和 , 再接下來(lái)是 , 以及 等之后剩下的點(diǎn)構(gòu)成. 換言之, 我們?nèi)サ袅怂衅湮ㄒ蝗M(jìn)制表示中在某個(gè) 1 之后有非零數(shù)字的數(shù). 一個(gè)三進(jìn)制表示中只含有 0 和 2 的實(shí)數(shù)一定包含在康托爾塵中. 特別是, 康托爾塵中的一個(gè)元素是

這樣的數(shù)有多少呢？顯然在 與形如

的二進(jìn)制表示的數(shù)之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

然而, 單位區(qū)間上的每一個(gè)實(shí)數(shù)都有這樣一個(gè)二進(jìn)制表示, 因此 的基數(shù)與單位區(qū)間 的基數(shù)一樣大.

集合 是違背直覺(jué)的. 它是無(wú)處稠密的: 每一個(gè)與 相交的開(kāi)區(qū)間必定與我們?nèi)サ舻哪硞€(gè)開(kāi)區(qū)間有交集. 它是不可數(shù)的. 而且它具有測(cè)度 0.

一個(gè)無(wú)處稠密的集合可以具有正的測(cè)度嗎？回答是肯定的. 如果我們不是去掉中間的三分之一區(qū)間, 而是去掉中間的五分之一區(qū)間, 那么每個(gè)開(kāi)區(qū)間將仍然與其中之一有交集, 但剩下的集合的測(cè)度是

通過(guò)選取更小的分?jǐn)?shù), 我們可以使得剩下來(lái)的無(wú)處稠密集的測(cè)度與 1 任意接近.

那么一個(gè)稠密子集是否可以有測(cè)度 0 呢？如果它是可數(shù)的, 比如說(shuō)是有理數(shù)集, 那么回答顯然是肯定的. 不過(guò)即便這個(gè)集合不可數(shù), 回答也可以是肯定的. 從康托爾集 出發(fā), 將 的一個(gè)副本 (按比例縮小) 放到區(qū)間 中. 然后將 的另一個(gè)副本 (按比例縮小) 放到那 3 個(gè)被去掉的長(zhǎng)度為 的區(qū)間中. 將 的另一個(gè)副本 (按比例縮小) 放到那 9 個(gè)被去掉的長(zhǎng)度為 的區(qū)間中. 如此下去, 直至無(wú)窮. 由于每一個(gè)集合的測(cè)度為 0, 故所有這些集合的并集測(cè)度為 0, 不過(guò)它在 中稠密.

綜上所述, 描述 的一個(gè)無(wú)限子集的大小有三種方式:

一共會(huì)產(chǎn)生 8 種可能的組合, 其中只有兩種不會(huì)出現(xiàn), 即“可數(shù)”與“正測(cè)度”相連的兩種組合.

種特殊情況, 因此這五個(gè)子集不能全都是可測(cè)的. 除此以外, 通過(guò)推廣他們的論證, 可以證明任意立體形狀可以劃分為有限多個(gè)子塊, 并用剛體運(yùn)動(dòng)重組為其他立體形狀. 這個(gè)結(jié)果的一個(gè)宜人的證明可見(jiàn)瓦普納 (Wapner) 的 [70], 書(shū)名《豌豆和太陽(yáng)》(The Pea and the Sun) 的含義在于, 如果我們接受選擇公理, 那么理論上有可能將一粒豌豆 (pea) 分割成有限多塊, 然后利用剛體運(yùn)動(dòng)將它們重組為太陽(yáng) (sun) 大小的球體.

就像連續(xù)統(tǒng)假設(shè)一樣, 我們可以選擇接受或拒絕選擇公理, 而不影響我們對(duì)實(shí)數(shù)所知的其他一切, 包括我們是否選擇接受連續(xù)統(tǒng)假設(shè). 實(shí)數(shù)集真的是超出了你的想象.

《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》

作者：鄧納姆

譯者：李伯民 汪軍 張懷勇

本書(shū)榮獲“第七屆文津圖書(shū)獎(jiǎng)推薦書(shū)目”。

這不是一本數(shù)學(xué)家的傳記，而是一座展示微積分宏偉畫(huà)卷的陳列室。書(shū)中的每一個(gè)結(jié)果，從牛頓的正弦函數(shù)的推導(dǎo)，到伽瑪函數(shù)的表示，再到貝爾的分類(lèi)定理，無(wú)一不處于各個(gè)時(shí)代的研究前沿，至今還閃爍著耀眼奪目的光芒。