編輯｜楊文

你的童年我的童年好像不一樣。

我的 17 歲，是坐在教室里苦哈哈地刷數(shù)學(xué)卷子；而這個(gè)名叫 Enrique Barschkis 的高中生，利用課間休息時(shí)間，成功解決了困擾數(shù)學(xué)家多年的埃爾德什第 347 號(hào)問(wèn)題。

這一成就不僅在社交平臺(tái) X 上引發(fā)熱議，更得到了谷歌首席科學(xué)家 Jeff Dean 的盛贊。

什么是埃爾德什第 347 號(hào)問(wèn)題？

埃爾德什第 347 號(hào)問(wèn)題，最初由埃爾德什和格雷厄姆在 1980 年提出，核心問(wèn)題是：是否存在一個(gè)整數(shù)序列，其中相鄰項(xiàng)的比值趨近于 2，并且對(duì)于該序列的任何余有限子序列，其有限子集和構(gòu)成的集合在自然數(shù)中的密度都是 1？

這個(gè)問(wèn)題觸及了數(shù)論中完全序列理論的核心，其難度在于需要在嚴(yán)格的增長(zhǎng)率限制下，保證幾乎所有足夠大的正整數(shù)都能表示為序列中某些項(xiàng)的和。

去年 10 月，著名數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)得主陶哲軒在 Erd?s 問(wèn)題網(wǎng)站的討論區(qū)里，用 ChatGPT 搜索相關(guān)文獻(xiàn)，找到了一篇 Burr 和 Erd?s 的舊論文。

然而數(shù)學(xué)家沃特很快發(fā)現(xiàn)，那篇論文中的結(jié)果使用的是相鄰兩項(xiàng)的比值條件，與本問(wèn)題要求的相鄰項(xiàng)比值條件略有不同。

陶哲軒提出了一個(gè)巧妙的構(gòu)造思路：將序列分成若干個(gè)區(qū)塊，每個(gè)區(qū)塊長(zhǎng)度緩慢增長(zhǎng)，通過(guò)精心設(shè)計(jì)每個(gè)區(qū)塊內(nèi)的元素比例和區(qū)塊之間的連接，使得序列既滿足比值趨近于 2 的要求，又能保證其子集和覆蓋幾乎所有自然數(shù)。這個(gè)想法基于一種類似進(jìn)位制的表示方法，通過(guò)在每個(gè)區(qū)塊末尾添加調(diào)整項(xiàng)，為數(shù)的表示提供足夠的靈活性。

17 歲少年完成完整證明

這個(gè)構(gòu)想在討論區(qū)掛了三個(gè)月，直到 2026 年 1 月 21 日晚上，這個(gè) 17 歲的高中生 Enrique 發(fā)帖宣布：他完成了完整的證明。

他在陶哲軒和沃特的思路基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一個(gè)具體的序列：將序列分成若干區(qū)塊，第 n 個(gè)區(qū)塊的長(zhǎng)度大約是對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)級(jí)別增長(zhǎng)，區(qū)塊內(nèi)部由幾何級(jí)數(shù)構(gòu)成，區(qū)塊之間通過(guò)精心設(shè)計(jì)的調(diào)整項(xiàng)連接。這種構(gòu)造確保了相鄰項(xiàng)比值在整體上趨近于 2，同時(shí)通過(guò)「進(jìn)位調(diào)整」機(jī)制，使得幾乎所有正整數(shù)都能表示為序列中某些項(xiàng)的和。

他還使用人工智能工具 Aristotle 將這個(gè)證明完全形式化為 Lean 語(yǔ)言代碼，這是數(shù)學(xué)證明可以被計(jì)算機(jī)嚴(yán)格驗(yàn)證的形式。

陶哲軒在看到 Enrique 的證明后評(píng)論道：「干得漂亮！你處理 k 隨 n 緩慢增長(zhǎng)的方式在我看來(lái)是合理的，而且很高興看到 Lean 確認(rèn)了所有各種簿記和邊界情況?！?/p>

他隨即詢問(wèn)：「創(chuàng)建非形式證明時(shí)使用了 AI 工具嗎？」Enrique 坦誠(chéng)地回答，他使用了 GPT Codex 來(lái)編寫 LaTeX 代碼并改進(jìn)部分內(nèi)容，同時(shí)得到了數(shù)學(xué)家 Bartosz Naskr?cki 的大量幫助。

Bartosz Naskr?cki 隨后轉(zhuǎn)發(fā)并評(píng)論：「Enrique 幾周前給我發(fā)郵件，隨意聊了聊橢圓曲線離散對(duì)數(shù)問(wèn)題。我們用模型和 Aristotle 測(cè)試了他的許多想法。我為他感到非常自豪，在高中課間休息的間隙，他在 17 歲時(shí)就開辟了通往數(shù)學(xué)前沿的道路！我的建議只包含適度的提示和鼓勵(lì)。Enrique 理應(yīng)獲得全部榮譽(yù)，他的勇氣和熱情值得贊揚(yáng)。好運(yùn)，伙計(jì) —— 向星辰進(jìn)發(fā)！」

谷歌的 Jeff Dean 也轉(zhuǎn)發(fā)了這條消息：「愛(ài)看這種事，17 歲的 Enrique 解決了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，與陶哲軒討論，并感謝 Bartosz Naskr?cki 給予的『 大量幫助 』，而 Bartosz 說(shuō)他實(shí)際上提供的幫助很少。這種廣泛分享榮譽(yù)的本能真是太棒了！」

目前 Erd?s Problems 網(wǎng)站已經(jīng)將問(wèn)題 #347 標(biāo)記為「肯定解決」，這意味著 Enrique 的解決方案得到了數(shù)學(xué)社區(qū)的認(rèn)可。

這件事的意義遠(yuǎn)不止一個(gè)少年解決了一道難題那么簡(jiǎn)單。它標(biāo)志著數(shù)學(xué)研究正在進(jìn)入一個(gè)新階段：年輕研究者借助 AI 工具，能夠更快地觸及學(xué)科前沿。

隨著 AI 工具的不斷進(jìn)步，類似的突破可能會(huì)越來(lái)越多。未來(lái)的數(shù)學(xué)研究，或許將是人類創(chuàng)造力與人工智能計(jì)算力深度融合。

https://x.com/JeffDean/status/2014195425277100251

https://www.erdosproblems.com/forum/thread/347