解析幾何

解析幾何亦稱坐標(biāo)幾何，它采用代數(shù)的記號(hào)和方法來(lái)表示并解決幾何學(xué)中的問(wèn)題，建立了幾何曲線和代數(shù)方程之間的對(duì)應(yīng)，從而使幾何和代數(shù)的方法和知識(shí)可以一起用來(lái)解決幾何或代數(shù)中的問(wèn)題。

古代巴比倫、埃及和希臘、羅馬的一些數(shù)學(xué)家，已經(jīng)知道圖形的幾何與數(shù)的代數(shù)之間的某些對(duì)應(yīng)，但那時(shí)的代數(shù)的記號(hào)和方法尚處于比較原始的狀態(tài)，那時(shí)的數(shù)學(xué)家也還處于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的完全依賴和附屬的狀態(tài)，因此，建立幾何與代數(shù)之間的對(duì)應(yīng)的工作受到了限制。

直到17世紀(jì)初期，由于代數(shù)學(xué)漸趨完善并日益成為研究自然科學(xué)的重要工具和手段，解析幾何的發(fā)展出現(xiàn)了一個(gè)突進(jìn)。

1.笛卡爾的《幾何學(xué)》

1637年，笛卡爾的《幾何學(xué)》作為其《方法談》一書(shū)的附錄而問(wèn)世?！稁缀螌W(xué)》的第一和第二部分論述解析幾何，第三部分論述方程理論。

笛卡爾把代數(shù)思想和記法引進(jìn)了幾何學(xué)。他用字母標(biāo)示直線段，通常用a，b，c……標(biāo)示已知的或變化的線段，用x，y，z標(biāo)示未知的或變化的線段，構(gòu)成了字母或字母組合的乘積和冪，采用了至今還使用的那種書(shū)寫(xiě)指數(shù)的系統(tǒng)。他使用分析法來(lái)解幾何問(wèn)題。這種方法假定問(wèn)題已經(jīng)解出，然后寫(xiě)出在作圖中涉及到的各種直線的長(zhǎng)度之間必定成立的全部隱關(guān)系，每一個(gè)關(guān)系都由一個(gè)方程表示，因而該問(wèn)題的解便歸結(jié)為所有這些聯(lián)立方程的解。

笛卡爾的解析幾何學(xué)的基本概念，是二維平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)偶之間的對(duì)應(yīng)，獲得這種對(duì)應(yīng)的辦法，是使平面上兩條相交直線與點(diǎn)一起成為一個(gè)坐標(biāo)系。在這個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)點(diǎn)有一個(gè)以有序?qū)崝?shù)偶(X，Y)為標(biāo)志的唯一表示，反之，每個(gè)有序?qū)崝?shù)偶表示一個(gè)唯一的幾何點(diǎn)。在建立起點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)偶之間的這種對(duì)應(yīng)之后，幾何曲線與代數(shù)方程之間的關(guān)系便十分清楚。例如，給定一個(gè)簡(jiǎn)單的線性方程，就有與它相對(duì)應(yīng)的幾何曲線，這條曲線由平面上所有的其坐標(biāo)(x，y)滿足這個(gè)方程的點(diǎn)所構(gòu)成。相反，給定了一條幾何曲線，也就有與它相對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程，使其所有點(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程。

2.費(fèi)馬的創(chuàng)見(jiàn)

與笛卡爾同時(shí)代的法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(1601-1665年）也獨(dú)立地發(fā)明了把代數(shù)應(yīng)用于幾何問(wèn)題的方法，提出了用可以導(dǎo)出曲線特征性質(zhì)的方程來(lái)表示曲線的思想。

費(fèi)馬的職業(yè)是律師，曾擔(dān)任圖盧茲議會(huì)的顧問(wèn)，數(shù)學(xué)是他的業(yè)余愛(ài)好。在研究古代幾何學(xué)的基礎(chǔ)上，他發(fā)現(xiàn)，如果通過(guò)坐標(biāo)系把代數(shù)運(yùn)用于幾何，將使軌跡的研究更易于進(jìn)行。在《平面和立體的軌跡引論》這部著作中，費(fèi)馬提出，使兩條直線彼此成一定角度，最好是直角，將其交點(diǎn)作為原點(diǎn)，使離原點(diǎn)的距離分別同方程的兩個(gè)變?cè)烧龋湍芊奖愕乇硎境龇匠?。在他的著作中，還第一次出現(xiàn)了表示一條通過(guò)原點(diǎn)的直線的方程。他還用自己的符號(hào)寫(xiě)出了拋物線方程和等軸雙曲線方程。

費(fèi)馬也是最早發(fā)現(xiàn)極大值和極小值問(wèn)題的一般解法的數(shù)學(xué)家之一，并因此而對(duì)從解析幾何向微積分的過(guò)渡產(chǎn)生了推動(dòng)作用。費(fèi)馬生前發(fā)表的研究成果甚少，他的大部分著作和學(xué)術(shù)通信都是在他逝世后才出版的，上述《軌跡引論》就是在1679年問(wèn)世的。

3.德扎爾格的方法

當(dāng)?shù)芽柡唾M(fèi)馬發(fā)現(xiàn)解析幾何學(xué)的基本原理時(shí)，另一個(gè)法國(guó)數(shù)學(xué)家德扎爾格(1591-1661年）也提出了一些對(duì)幾何學(xué)日后發(fā)展具有重要意義的概念。

德扎爾格生于里昂，是一個(gè)職業(yè)建筑師，曾作為軍事工程師在軍隊(duì)中服務(wù)，后來(lái)?yè)?dān)任過(guò)樞機(jī)主教黎塞留和法國(guó)政府的技術(shù)顧問(wèn)。他在1628年與笛卡爾相識(shí)，隨后成為巴黎一個(gè)數(shù)學(xué)家組織的成員。他最主要的著作是《試論錐面與平面相截的結(jié)果的初稿》，1639年出版于巴黎。他在對(duì)圓錐曲線的研究中，引入了射影幾何學(xué)的主要概念。他用一個(gè)平面以不同方式截割錐面或柱面，得到了各種類型的圓錐曲線，并且提出了根據(jù)錐面底部的圓的幾何性質(zhì)推導(dǎo)出圓錐曲線的幾何性質(zhì)的方法。

德扎爾格的這一創(chuàng)新對(duì)帕斯卡產(chǎn)生了重要影響，受到其贊賞并被進(jìn)一步應(yīng)用。但在他們兩人都辭世之后，德扎爾格的方法很快遭到冷落。直至19世紀(jì)中葉射影幾何學(xué)重新引起人們的興趣之時(shí)，德扎爾格的思想的重要意義，才獲得普遍的承認(rèn)，并成為迅速發(fā)展起來(lái)的射影幾何學(xué)的基礎(chǔ)。