函數(shù)y=√[10+√(31-3x)]的性質(zhì)及圖像

主要內(nèi)容：

本文主要介紹根式復(fù)合函數(shù)y=√[10+√(31-3x)]的定義域、單調(diào)性、凸凹性、極限等性質(zhì)，并通過(guò)導(dǎo)數(shù)知識(shí)解析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凸凹區(qū)間，同時(shí)簡(jiǎn)要畫(huà)出函數(shù)的圖像示意圖。

※.函數(shù)的定義域

對(duì)于根式函數(shù)y=√[10+√(31-3x)]，要求為非負(fù)數(shù)，所以有：

31-3x≥0，即x≤31/3≈10.33,

則函數(shù)的定義域?yàn)椋?-∞,31/3]。

※.函數(shù)的單調(diào)性

兩種思路來(lái)解析函數(shù)的單調(diào)性。

(1)函數(shù)單調(diào)性法

該函數(shù)y=√[10+√(31-3x)]由以下函數(shù)復(fù)合函數(shù)，即：

y=√u，u=10+√v，v=31-3x，

其中v為一次函數(shù)，且為減函數(shù)，則u=10+√v也為減函數(shù)，進(jìn)一步知y在定義域上也為減函數(shù)。

(2)函數(shù)導(dǎo)數(shù)法：

根式函數(shù)y=√[10+√(31-3x)]，對(duì)x求導(dǎo)有：

dy/dx=(10+√(31-3x)) '/2√[10+√(31-3x)]

=-(3/2√(31-3x)) /2√[10+√(31-3x)]

=-3/[4√(31-3x)*√(10+√31-3x)]＜0,

所以函數(shù)y為減函數(shù)。

※.函數(shù)的凸凹性

∵dy/dx=-3/[4√(31-3x)*√(10+√(31-3x)]

∴d^2y/dx^2=(3/4)*[√(31-3x)*√(10+√(31-3x)] '/[(31-3x)( 10+√(31-3x)],

=(3/4)*[-3√(10+√(31-3x)/2√(31-3x)+√(31-3x)* (√(31-3x)'/2√(10+√(31-3x)] /[(31-3x)( 10+√(31-3x)],

=-(9/16)[20+√(31-3x)]/ √[(31-3x)( 10+√(31-3x)]^3＜0.

所以函數(shù)為凸函數(shù)。

※.函數(shù)的極限

lim(x→31/3) √(10+√(31-3x))= √10;

lim(x→0) √[10+√(31-3x)]=√(10+√31);

lim(x→-∞) √[10+√(31-3x)]=+∞。

※.函數(shù)的五點(diǎn)圖

※.函數(shù)的五點(diǎn)圖