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SAMP（Scientific American Math Puzzles，《科學(xué)美國(guó)人》數(shù)學(xué)謎題）集錦[20260103 - 20260131每周一題共5題]（每小題后附答案講解及原文鏈接——淺色文字答案內(nèi)容可選中后反色查看）。

作者：SCIAM科學(xué)美國(guó)人（Scientific American）2026-1-31

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-2-4

日期：2026-1-3

作者：Jack Murtagh

問題：你能吃多少壽司？

你我二人相約去一家回轉(zhuǎn)壽司店（旋轉(zhuǎn)壽司，用傳送帶循環(huán)送餐）用餐。店里供應(yīng)四種壽司，分別是金槍魚卷、波士頓卷、毛毛蟲卷和火龍卷。我們各自面前都有一條回轉(zhuǎn)傳送帶，廚師會(huì)隨機(jī)且持續(xù)地往上面擺放壽司。每盤壽司只有一塊，價(jià)格完全相同。

我們約定好規(guī)則：我要把面前傳送帶上的壽司逐個(gè)吃完，直到連續(xù)吃到兩盤金槍魚卷才停下；而你則要吃完自己面前的壽司，直到吃到一盤金槍魚卷緊接著一盤波士頓卷為止。那么，我們兩人誰(shuí)的這頓飯，預(yù)計(jì)花費(fèi)會(huì)更高呢？

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-eat-sushi/

答案是 —— 我這頓飯的預(yù)計(jì)花費(fèi)更高。

表面上看，我們兩人的情況在概率上似乎是完全對(duì)等的。廚師隨機(jī)擺放壽司，金槍魚卷出現(xiàn)在我面前傳送帶上的概率，和出現(xiàn)在你面前的概率是一樣的。而且，一旦我的傳送帶上出現(xiàn)金槍魚卷，下一盤就能結(jié)束用餐的概率是四分之一，你的情況也是如此。

我們兩種用餐規(guī)則的差別，其實(shí)就在于出現(xiàn)一盤金槍魚卷之后的下一步情況。

對(duì)我來(lái)說(shuō)，接下來(lái)只會(huì)發(fā)生兩種情況：

下一盤是金槍魚卷，我就此結(jié)束用餐。

下一盤是波士頓卷、毛毛蟲卷或者火龍卷，我就得重新開始等待，直到傳送帶上再次出現(xiàn)金槍魚卷。

而對(duì)你來(lái)說(shuō)，接下來(lái)會(huì)發(fā)生三種情況：

下一盤是波士頓卷，你就此結(jié)束用餐。

下一盤是毛毛蟲卷或者火龍卷，你就得重新開始等待，直到傳送帶上再次出現(xiàn)金槍魚卷。

下一盤還是金槍魚卷，這種情況下，只要再下一盤是波士頓卷，你就能立刻結(jié)束用餐。

正是這一點(diǎn)小小的優(yōu)勢(shì)，縮短了你結(jié)束用餐所需的預(yù)計(jì)時(shí)間。實(shí)際上，你預(yù)計(jì)需要吃下 16 塊壽司才能結(jié)束，而我預(yù)計(jì)要吃下 20 塊。

日期：2026-1-10

作者：Emma R. Hasson

問題：贏家是 “輸家”

若將此處所示的牌重新組合，組成四副全新的五張牌撲克手牌，能打出的最低贏牌或平局牌型是什么？

當(dāng)兩副手牌牌型相同時(shí)，比如同為一對(duì)或同花，需要先比對(duì)牌型中的關(guān)鍵牌。牌面點(diǎn)數(shù)更高的一方獲勝。例如，四條 K 帶 10 能擊敗四條 Q 帶 J。若關(guān)鍵牌的牌面點(diǎn)數(shù)一致，就比對(duì)手牌中次大牌的點(diǎn)數(shù)。比如，一對(duì) K 帶 A、J、10 能擊敗一對(duì) K 帶 Q、J、10。若兩副手牌除花色外完全一致，判定為平局。

如果你需要回顧撲克手牌的牌型大小，可參考下方圖表。想了解更多撲克策略相關(guān)內(nèi)容，可閱讀我們的專題文章：《完美撲克牌組背后的數(shù)學(xué)原理》 https://www.scientificamerican.com/article/why-52-cards-is-the-perfect-number-for-poker-mathematically/

撲克手牌牌型參考

1、最強(qiáng)牌型：最大同花順、皇家同花順（五張同花色牌 10 J Q K A）Royal Flush

2、普通同花順（五張點(diǎn)數(shù)連續(xù)的牌，同一花色）Straight Flush

3、四帶一、四條（四張點(diǎn)數(shù)一樣）Four of a Kind

4、三帶二、葫蘆（三張點(diǎn)數(shù)一樣，另兩張有一樣的別的點(diǎn)數(shù)）Full House

5、普通同花（非順子）Flush

6、普通順子（非同花）Straight

7、三張一樣、三條（另兩張點(diǎn)數(shù)不一樣）Threeof a Kind

8、兩對(duì)Two Pair

9、一對(duì)Pair

10、最弱牌型：高牌（不成對(duì)、不成順、不同花，以手牌中點(diǎn)數(shù)最高的牌定勝負(fù)）High Card

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-winning-loser/

整體能組成的最小牌型是10、10、 J、Q、K。因?yàn)榕泼鎯H有五種不同點(diǎn)數(shù)，想要選出五張點(diǎn)數(shù)各不相同的牌，必然會(huì)組成順子。

能打出的最低贏牌組合如下，其中第三副和第四副手牌并列獲勝：

手牌 1：10、10、Q、K、A

手牌 2：10、10、Q、K、A

手牌 3：J、J、Q、K、A

手牌 4：J、J、Q、K、A

日期：2026-1-17

作者：Jack Murtagh

問題：披薩問題

你正在做一份意大利辣香腸披薩。你照著上圖的樣子，往披薩上放了幾片辣香腸。就在這時(shí)，一個(gè)孩子走進(jìn)廚房，想要幫忙。

以圖中現(xiàn)有的配料擺放為起點(diǎn)，接下來(lái)每一次你放一片辣香腸，孩子就會(huì)選一塊相鄰的披薩，放上第二片辣香腸。你們就這樣一直操作：你選一塊披薩放辣香腸，緊接著孩子就在相鄰的一塊上也放一片。孩子提議：“等所有披薩塊上的辣香腸數(shù)量都一樣時(shí)，我們就停下吧。” 你和這個(gè)孩子能實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)嗎？

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-pizza-puzzle/

從圖中這個(gè)配料擺放起點(diǎn)開始，永遠(yuǎn)不可能讓所有披薩塊上的辣香腸數(shù)量都相等。

你每放一片辣香腸，孩子就會(huì)跟著放一片。我們可以把這個(gè)過程看作是，每次在相鄰的兩塊披薩上各放一片辣香腸。我們把這八塊披薩依次編號(hào)為 1 到 8：

要注意的是，任意兩塊相鄰的披薩，編號(hào)必然是一個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)。因此，每次在相鄰兩塊披薩上放辣香腸時(shí)，奇數(shù)編號(hào)披薩和偶數(shù)編號(hào)披薩上的辣香腸總數(shù)都會(huì)各增加一片。

而你的披薩在初始狀態(tài)下，奇數(shù)編號(hào)的披薩上共有三片辣香腸，偶數(shù)編號(hào)的披薩上卻只有一片。每次操作只能讓兩類披薩的辣香腸數(shù)量等量增加，這種數(shù)量上的不平衡是永遠(yuǎn)無(wú)法修正的。

日期：2026-1-24

作者：Heinrich Hemme

問題：火柴正方形

上圖展示了一種火柴棒擺法：用 16 根火柴棒擺出一個(gè) 2×3 的網(wǎng)格。這個(gè)網(wǎng)格的所有線段都被火柴棒填滿，僅缺頂部中間位置的那一根水平火柴棒。

請(qǐng)只移動(dòng)一根火柴棒，使圖中能拼出六個(gè)正方形。每根火柴棒都必須完整地屬于至少一個(gè)正方形。

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-matchstick-squares/

這道題共有三種解法，其中第二種解法包含一個(gè)鏡像形式。每種解法最終都會(huì)拼出四個(gè)小正方形，以及兩個(gè)相互重疊的大正方形。

下圖給出的解法是：將中間位置或左中位置的水平火柴棒，移動(dòng)到頂部中間的空缺位置。

日期：2026-1-31

作者：Jack Murtagh

問題：統(tǒng)計(jì)異常

有五個(gè)不滿十歲的孩子，他們的年齡都是整數(shù)，比如 0、1、2 歲這類。他們的年齡不會(huì)出現(xiàn) 2.5 歲這樣的小數(shù)，只會(huì)在生日當(dāng)天增長(zhǎng)一歲。這五個(gè)孩子年齡的平均值、中位數(shù)、眾數(shù)和極差全都相等。后來(lái)有一個(gè)孩子過了生日，年齡長(zhǎng)了一歲。此時(shí)這群孩子年齡的中位數(shù)和眾數(shù)依然相等，但兩者的數(shù)值都發(fā)生了變化。請(qǐng)問這些孩子過生日前后的年齡分別是多少？

概念回顧

平均值：一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)值的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列后，位于中間位置的數(shù)字

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字。（注：如果一組數(shù)據(jù)中有多個(gè)數(shù)字的出現(xiàn)次數(shù)并列最多，那么這組數(shù)據(jù)沒有唯一眾數(shù)。本題中的所有眾數(shù)均為唯一值）

極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差值

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-statistical-anomaly/

孩子們過生日前的年齡是 {2, 5, 5, 6, 7}，過生日后的年齡是 {2, 5, 6, 6, 7}。

解題過程

將五個(gè)孩子的年齡按從小到大的順序排列，記為a≤b≤c≤d≤e。其中中位數(shù)就是位于中間的數(shù)字c。因?yàn)楸姅?shù)和中位數(shù)相等，且眾數(shù)是唯一的，所以數(shù)值c至少要出現(xiàn)兩次。這意味著b和d中至少有一個(gè)等于c。我們可以證明d不可能等于c，由此就能得出b必然等于c的結(jié)論。

要讓原來(lái)的唯一眾數(shù)，通過給某一個(gè)數(shù)字加 1，變成一個(gè)新的唯一眾數(shù)，唯一的方法就是把一個(gè)當(dāng)前眾數(shù)c，變成新的眾數(shù)c+1。如果d=c，那么無(wú)論b是否等于c，年齡的變化過程都會(huì)是{a,b,c,c,c+1}→{a,b,c,c+1,c+1}。但這樣的變化并不會(huì)改變中位數(shù)。因此我們只能讓b=c，此時(shí)年齡的變化過程就是{a,c,c,c+1,e}→{a,c,c+1,c+1,e}。

已知平均值和極差都等于c，由此可以列出方程組：

• (5a+c+c+(c+1)+e)/5=c (平均值)

• e?a=c (極差)

通過代數(shù)運(yùn)算聯(lián)立這兩個(gè)方程，可以得到2a+1=c。由此我們能推出e=c+a=3a+1。這樣我們就可以用a來(lái)表示所有孩子的年齡：{a,2a+1,2a+1,2a+2,3a+1}

代入a的較小整數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)只有a=2時(shí)滿足所有條件：

當(dāng)a=0時(shí)：得到的年齡組合是 {0, 1, 1, 2, 1}，這個(gè)結(jié)果無(wú)效，因?yàn)榕帕泻蟮淖詈笠粋�(gè)數(shù)字必須是最大值

當(dāng)a=1時(shí)：得到的年齡組合是 {1, 3, 3, 4, 4}，不符合眾數(shù)唯一的條件

當(dāng)a=2時(shí)：得到的年齡組合是 {2, 5, 5, 6, 7}，滿足所有條件，是正確答案

當(dāng)a=3時(shí)：得到的年齡組合是 {3, 7, 7, 8, 10}，違反了孩子們都不滿 10 歲的條件，a取更大數(shù)值時(shí)只會(huì)讓這個(gè)問題更嚴(yán)重

參考資料

https://www.scientificamerican.com/games/math-puzzles/

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