貝葉斯量子振幅估計(jì)
Bayesian Quantum Amplitude Estimation

https://www.researchgate.net/publication/395424691_Bayesian_Quantum_Amplitude_Estimation

我們提出了一種針對量子幅度估計(jì)問題的量身定制且具有噪聲感知能力的貝葉斯算法BAE。在容錯場景下，BAE能夠達(dá)到海森堡極限；如果存在設(shè)備噪聲，BAE可以動態(tài)地對其進(jìn)行表征并自我適應(yīng)。我們進(jìn)一步提出了aBAE，這是BAE的一個(gè)退火變體，借鑒了統(tǒng)計(jì)推斷中的方法，以增強(qiáng)魯棒性。我們的提議在量子和經(jīng)典部分均可并行化，提供快速噪聲模型評估的工具，并且能夠利用預(yù)先存在的信息。此外，它們能夠適應(yīng)實(shí)驗(yàn)限制和首選的成本權(quán)衡。我們提出了一種用于幅度估計(jì)算法的魯棒基準(zhǔn)測試方法，并用它來測試BAE與其他方法相比的表現(xiàn)，在有噪聲和無噪聲的情況下均展現(xiàn)出具有競爭力的性能。在兩種情況下，它都能在成本函數(shù)下實(shí)現(xiàn)比其他任何算法更低的誤差。在存在退相干的情況下，它能夠在其他算法失敗時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

1 引言

量子幅度估計(jì)（QAE）是一種用于估計(jì)與給定子空間相關(guān)的測量概率的程序，這些子空間對應(yīng)于某些波函數(shù)。其顯著應(yīng)用包括蒙特卡洛積分和估計(jì)任務(wù)，在金融、化學(xué)-和機(jī)器學(xué)習(xí)-領(lǐng)域也有應(yīng)用。

最初的QAE提議通過在量子幅度放大（QAA）算子上執(zhí)行相位估計(jì)來實(shí)現(xiàn)二次量子優(yōu)勢。然而，相應(yīng)電路的復(fù)雜性對于目前可用的量子設(shè)備來說是難以承受的，因?yàn)檫@些設(shè)備容易受到噪聲的影響且規(guī)模有限。文獻(xiàn)中提出了替代方案，通常是混合量子經(jīng)典算法，其中更簡單的電路嵌入到經(jīng)典反饋回路中。這些更簡單的電路通常由一系列非受控的放大算子應(yīng)用組成，應(yīng)用次數(shù)為m，m是一個(gè)實(shí)驗(yàn)自由度，由經(jīng)典處理單元控制，可能以自適應(yīng)的方式進(jìn)行。

在這種表述中，QAE與超導(dǎo)量子比特相關(guān)的常見表征任務(wù)非常相似。這些任務(wù)與進(jìn)動動力學(xué)有關(guān)，例如拉莫爾、拉比和拉姆齊振蕩。同樣，在光量子計(jì)算中，馬赫-曾德爾干涉儀也產(chǎn)生了類似的框架。

所有這些動力學(xué)都允許平方正弦描述，就像格羅弗電路一樣。應(yīng)用于其中一種動力學(xué)的技術(shù)很可能會轉(zhuǎn)移到其他動力學(xué)上，從而將QAE算法的適用性擴(kuò)展到諸如傳感或量子門實(shí)現(xiàn)和校準(zhǔn)等任務(wù)；反之，QAE也可以借鑒為這些任務(wù)設(shè)計(jì)的算法。

重要的是，與許多混合近期量子算法不同，這些方案可以證明為QAE實(shí)現(xiàn)完整的二次優(yōu)勢。然而，實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)仍然是一個(gè)開放性問題。它們決定了性能因素，如量子成本偏移、經(jīng)典處理成本、并行性和抗噪聲能力。

盡管上述替代算法需要更簡單的電路，但其中大多數(shù)仍然假設(shè)理想執(zhí)行，最多將采樣噪聲視為限制。更重要的是，它們的性能通常是在這一假設(shè)下進(jìn)行評估的，這使得它們在存在噪聲的情況下行為不可預(yù)測。

能夠推廣到噪聲情況的一個(gè)框架是貝葉斯推斷，它自然適用于QAE的迭代表述。然而，涉及的處理成本很高。電路長度預(yù)計(jì)會隨著迭代次數(shù)呈指數(shù)增長，更高的精度需要更多的迭代。在一個(gè)簡單的策略中，搜索范圍以及因此每次迭代的優(yōu)化成本預(yù)計(jì)會隨著總迭代次數(shù)呈指數(shù)增長。另一方面，一個(gè)簡單的（確定性的）統(tǒng)計(jì)近似的成本會隨著參數(shù)數(shù)量呈指數(shù)增長。為了確保可行性，更有效的近似是至關(guān)重要的；重要的是，必須小心謹(jǐn)慎，以免危及可擴(kuò)展性或正確性。在中，提出了一種基于貝葉斯推斷的噪聲感知QAE方法，該方法基于正態(tài)性假設(shè)。盡管這是一種對簡單案例成本效益較高的方法，但預(yù)計(jì)它不會很好地推廣到更復(fù)雜的情況，即涉及更復(fù)雜的噪聲模型的問題。此外，這一提議需要推廣格羅弗算子，并在大量參數(shù)上進(jìn)行優(yōu)化，這會產(chǎn)生相當(dāng)大的成本開銷。

1.1 貢獻(xiàn)

在本工作中，我們提出了BAE，這是一種用于量子幅度估計(jì)的近似貝葉斯算法，能夠在不做出限制性假設(shè)或承擔(dān)過高成本的情況下處理噪聲。我們采用了針對問題定制的啟發(fā)式方法來降低優(yōu)化成本，同時(shí)保留量子優(yōu)勢，將每次迭代的優(yōu)化成本降低到常數(shù)。通過使用可擴(kuò)展且高度并行化的統(tǒng)計(jì)方法和其他近似方法，我們進(jìn)一步降低了經(jīng)典處理成本，同時(shí)不影響量子優(yōu)勢。

我們所使用的量子電路是文獻(xiàn)中呈現(xiàn)的最簡單類型；它們不需要受控或廣義的格羅弗算子版本，也無需與格羅弗搜索相比的任何其他定性復(fù)雜性。

我們的方法能夠以極少的額外成本對模型的優(yōu)劣進(jìn)行量化，可以納入可用信息（例如過去的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)），并且在涉及的成本權(quán)衡方面具有靈活性。例如，人們可以將部分量子優(yōu)勢換取更低的經(jīng)典成本，或者換取量子子程序中更高的并行性。

為了對我們的算法進(jìn)行基準(zhǔn)測試，我們將其與文獻(xiàn)中介紹的其他量子幅度估計(jì)算法一起進(jìn)行了數(shù)值測試，并提出了全面、與問題無關(guān)且具有成本效益的方法來評估和分析它們的性能。BAE實(shí)現(xiàn)了海森堡極限估計(jì)，在所有測試算法中具有最低的成本偏移，并且能夠在其他算法失敗的噪聲場景中進(jìn)行學(xué)習(xí)。

此外，受到統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種廣泛使用方法的啟發(fā)，我們提出了aBAE，這是BAE的一個(gè)變體，其量子電路是基于與誤差或不確定性沒有直接關(guān)系的統(tǒng)計(jì)效率度量來引導(dǎo)的。這進(jìn)一步突出了這一組成部分的重要性，并為處理具有挑戰(zhàn)性的模型或數(shù)據(jù)提供了一種穩(wěn)健且系統(tǒng)化的方法。我們稱這個(gè)變體為退火貝葉斯幅度估計(jì)，以它所受啟發(fā)的方法——退火似然估計(jì)命名。

本文所用的代碼和數(shù)據(jù)集可在處獲取。

1.2 文檔結(jié)構(gòu)

本文的其余部分安排如下。第2節(jié)介紹相關(guān)背景，包括原始量子算法、經(jīng)典對應(yīng)物以及替代混合算法。BAE在第3節(jié)中介紹。第4節(jié)描述了用于基準(zhǔn)測試的數(shù)值方法。這些測試的結(jié)果在第5節(jié)中展示。最后，第6節(jié)討論并總結(jié)了結(jié)果，以及未來研究的方向。關(guān)于算法、數(shù)據(jù)處理和背景的補(bǔ)充細(xì)節(jié)在附錄中給出。

2 背景 2.1 幅度估計(jì)

量子幅度估計(jì)（QAE） 是一個(gè)估計(jì)形如以下波函數(shù)中的參數(shù) a 的過程：

對于足夠小的幅度和足夠低的 m，這個(gè)算子的效果是增加幅度；因此，它也被稱為幅度放大算子。在格羅弗搜索中，m 被選擇為在測量時(shí)獲得好狀態(tài)的概率最大化。

更一般地說，這可以被視為一種幅度振蕩算子；一旦超過最優(yōu)的 m ，概率就會降低，然后以周期性的方式變化：

2.2 量子算法

結(jié)果對于兩個(gè)特征值來說是相同的，因?yàn)檎液瘮?shù)關(guān)于 是對稱的。這是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，因?yàn)榉駝t測量結(jié)果將是模糊不清的。還要注意，雖然方程（6）中的算子上的負(fù)號對于量子搜索來說是無關(guān)緊要的，但在幅度估計(jì)中并非如此，其缺失將導(dǎo)致計(jì)算 a 的補(bǔ)數(shù)而不是 a 本身。

文獻(xiàn)[5]中的一個(gè)重要理論結(jié)果表明，以上述方式估計(jì) a 使用次預(yù)言機(jī)查詢，并實(shí)現(xiàn)一個(gè)誤差上界為：

2.3 經(jīng)典算法

我們現(xiàn)在想要將方程（13）與表現(xiàn)最好的經(jīng)典算法進(jìn)行比較。在經(jīng)典方法中，我們通過對原始分布進(jìn)行采樣并評估每個(gè)樣本的函數(shù) f 來估計(jì) a。一個(gè)樣本或函數(shù)評估對應(yīng)于一次查詢。然后我們對這些評估結(jié)果取平均值，以獲得 f(x) 期望值的估計(jì)，即幅度。

因此，公式（13）表示了二次加速：在量子情況下，估計(jì) a 的誤差隨著查詢次數(shù)的增加而呈二次方速度更快地減小。

2.4 替代量子算法

第2.2節(jié)中描述的量子算法為幅度估計(jì)提供了一個(gè)最優(yōu)且直接的解決方案。然而，所需的量子電路既深又復(fù)雜，涉及受控操作的梯子和大量的量子比特。這使得它對于當(dāng)前的量子設(shè)備來說不切實(shí)際，這些設(shè)備受到噪聲的影響，并且與此相關(guān)的是，它們的規(guī)模有限且計(jì)算時(shí)間連續(xù)。

特別是，該算法使用了相位估計(jì)，就像Shor算法一樣——盡管它提供了更小的復(fù)雜性優(yōu)勢（二次方而非指數(shù)級）。這引發(fā)了一個(gè)問題，即相位估計(jì)是否真的是解決這個(gè)問題所必需的。對此給出了否定的回答，其中提出了一種簡化的幅度估計(jì)方法。這種替代算法實(shí)現(xiàn)了與相同的（最優(yōu)的）漸近復(fù)雜度，但用一組更簡單的量子電路以及經(jīng)典處理和控制來替代QPE電路。

這些電路包括與格羅弗量子搜索中使用的相同的放大電路，其中格羅弗算子在初始狀態(tài)上作用m次。這個(gè)參數(shù)化的電路族的輸出分布由方程（9）給出，其中m=0恢復(fù)了經(jīng)典情況。量子情況的額外自由度可以在經(jīng)典處理框架內(nèi)使用，以實(shí)現(xiàn)完整的二次加速。

所使用的唯一量子資源是格羅弗測量。我們可以將量子設(shè)備視為一個(gè)黑盒，它接收一個(gè)整數(shù) m 并根據(jù)方程（9）輸出一個(gè)二進(jìn)制結(jié)果 D。在這種情況下，幅度估計(jì)可以被視為一個(gè)計(jì)量問題。我們可以說 m 是一個(gè)實(shí)驗(yàn)控制，而 D 是一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，或者說是一個(gè)數(shù)據(jù)（或者，也可以將 m 吸收進(jìn) D 中）。

顯然，量子優(yōu)勢源于放大過程，并可以歸結(jié)為這個(gè)基本動機(jī)。然而，如何最好地利用這一點(diǎn)是一個(gè)懸而未決的問題。雖然文獻(xiàn)[11]中的算法具有最優(yōu)復(fù)雜度，但它會產(chǎn)生不切實(shí)際的成本開銷。此外，盡管所使用的電路更簡單，但它們?nèi)员黄谕峭昝赖摹粌H為了結(jié)果的正確性，甚至為了確保算法按提議完成。特別是，需要一定程度的放大來完成算法，這在存在退相干的情況下可能是不可行的。

文獻(xiàn)中提出了其他替代方案，其中大多數(shù)使用了相同的電路族。通常，這些方案由混合量子經(jīng)典算法組成，其中量子電路被嵌入到具有經(jīng)典反饋的迭代方案中。也就是說，指定量子電路的參數(shù) m 在每次迭代中根據(jù)前幾步自適應(yīng)地選擇。圖1展示了這種類型算法的通常工作流程。

經(jīng)典處理部分通常是區(qū)分不同算法的關(guān)鍵因素，也是導(dǎo)致算法性能差異的原因。最常用的成功度量標(biāo)準(zhǔn)是復(fù)雜度優(yōu)勢，這可以通過理論或/和數(shù)值研究進(jìn)行分析。然而，在實(shí)踐中，其他特性也可能相關(guān)——即最大電路深度、經(jīng)典處理成本、量子成本偏移、抗噪聲能力、在線處理成本和并行性。

遵循這種結(jié)構(gòu)的一些值得注意的算法包括無相位估計(jì)的幅度估計(jì)，或最大似然幅度估計(jì)（MLAE）、更快的幅度估計(jì)（FAE）、迭代幅度估計(jì)和魯棒幅度估計(jì)（RAE）。第2.6節(jié)提供了這些算法的概述。

2.5 量子增強(qiáng)估計(jì)

在考慮QAE的替代算法時(shí)，將其問題視為起源于計(jì)量學(xué)是有用的，以便正確評估它們的優(yōu)劣。在本節(jié)中，我們簡要討論量子增強(qiáng)估計(jì)。

對于本工作的范圍，我們感興趣的是將估計(jì)誤差與資源計(jì)數(shù)相關(guān)聯(lián)的表達(dá)式，分別稱為 ε 和。前者是均方根誤差，它量化了不確定性，可以通過標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)。后者量化了成本；例如，測量次數(shù)、探測次數(shù)或查詢次數(shù)，或（累積）演化時(shí)間。

在經(jīng)典情況下，對于幅度估計(jì)的誤差在最優(yōu)策略下的行為的基本限制由標(biāo)準(zhǔn)量子極限（SQL）給出：

這個(gè)限制是由于采樣噪聲：任何測量的分辨率都受到測量次數(shù)或重復(fù)次數(shù)的限制。因此，這也被稱為射擊噪聲限制。盡管它被稱為“噪聲”，我們在整篇論文中并不將其視為噪聲，而是用“噪聲”來指代與理想行為的偏差（外在噪聲）。

雖然這是在獨(dú)立測量下可達(dá)到的最佳性能，但人們可以利用量子效應(yīng)來改進(jìn)方程（16），以表征量子力學(xué)性質(zhì)的系統(tǒng)。可以在空間（糾纏）和/或時(shí)間（適應(yīng)性）中引入測量之間的相關(guān)性，以提高估計(jì)精度。

更具體地說，量子控制允許達(dá)到海森堡極限：

方程（17）代表了計(jì)量學(xué)的最終界限，也是估計(jì)任務(wù)的黃金標(biāo)準(zhǔn)。

當(dāng)使用不一定是最優(yōu)的算法時(shí)，這些界限提供了對性能的洞察，即它們保留了多少量子優(yōu)勢。這可以觀察為介于經(jīng)典和量子界限（分別是方程16和17）之間的一個(gè)縮放比例。

2.6 文獻(xiàn)概述

如第2.4節(jié)所述，第一個(gè)不使用QFT的QAE算法是在2019年由Aaranson和Rall提出的，他們用純幅度放大的順序方案替代了QFT——即格羅弗型電路，其中唯一的變量是格羅弗迭代的次數(shù)。他們將該算法稱為“量子計(jì)數(shù)，簡化版”；更普遍地，我們使用術(shù)語“幅度估計(jì)，簡化版”（AES）。

盡管這個(gè)算法實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的加速，但涉及了一個(gè)較大的常數(shù)因子；這意味著盡管幅度的不確定性按預(yù)期速度縮小，但它的起始值不利。更重要的是，該算法需要精確的測量結(jié)果才能按預(yù)期工作，使其特別容易受到噪聲的影響。

同年，其他作者提出了他們自己的替代方案，以實(shí)用性換取嚴(yán)謹(jǐn)性。在中，Suzuki及其合作者提出了一種最大似然幅度估計(jì)（MLAE）方法。他們的策略依賴于簡單的格羅弗電路的啟發(fā)式序列，并基于從中提取的測量數(shù)據(jù)推斷幅度。

提出了兩種啟發(fā)式方法：LIS和EIS；其中m分別線性和指數(shù)增加。作者證明了估計(jì)誤差的下界，但沒有證明上界。EIS的下界是海森堡極限，而LIS在最佳情況下表現(xiàn)更差（但仍然是量子增強(qiáng)的）。數(shù)值分析顯示了良好的性能，盡管這兩種策略都沒有達(dá)到下界。

一些作者研究了該算法在噪聲存在下的行為，并提出了改進(jìn)。

兩年后，考慮從另一個(gè)角度重新設(shè)計(jì)這個(gè)最大似然算法，通過定期用變分量子近似替換部分格羅弗迭代來減少電路深度。盡管由于變分量子電路優(yōu)化而產(chǎn)生了成本開銷，但他們展示了有趣的數(shù)值結(jié)果。

同年，重新設(shè)計(jì)了的方案，以涵蓋經(jīng)典和量子方法之間的領(lǐng)域——目標(biāo)是明智地利用近期設(shè)備的有限量子性。除此之外，作者還開發(fā)了另一種算法，實(shí)現(xiàn)了相同的目標(biāo)，同時(shí)提供了更強(qiáng)的形式保證。這兩種方法都展示了穩(wěn)健的數(shù)值性能。

在之后不久，引入了一種基于哈達(dá)瑪測試的簡單方法，作者稱之為更簡單的量子計(jì)數(shù)（或更簡單的幅度估計(jì)，SAE）。經(jīng)過幾次執(zhí)行后，通過反轉(zhuǎn)結(jié)果分布模型來獲得感興趣的參數(shù)。然而，理論和數(shù)值分析并沒有直接涉及感興趣的性能指標(biāo)。

不久之后，提出了迭代幅度估計(jì)（IAE），這是一種結(jié)合了形式嚴(yán)謹(jǐn)性、堅(jiān)實(shí)的數(shù)值性能和適度成本偏移的算法。盡管它未能達(dá)到理想的漸近復(fù)雜度，但它接近了，兩者之間只有一個(gè)雙對數(shù)因子的差距。更重要的是，（無噪聲）實(shí)驗(yàn)表明它的競爭力，沒有被任何其他考慮的算法超越。

這個(gè)算法引起了其他作者的注意，促使他們修改版本。特別是，通過在迭代過程中重新排列其失敗概率來增強(qiáng)它——成功地消除了不需要的對數(shù)因子，以獲得最優(yōu)的漸近性能。這一發(fā)展進(jìn)一步鞏固了該算法作為既嚴(yán)謹(jǐn)又實(shí)用方法的重要性。然而，它對噪聲的無視可能使其在近期使用中不切實(shí)際，更謹(jǐn)慎的策略可能會帶來優(yōu)勢。

后來在中提出了另一種算法。它同樣未能實(shí)現(xiàn)海森堡縮放，但同樣接近，差異再次是一個(gè)雙對數(shù)因子。它依賴于直接反轉(zhuǎn)電路，直到被冗余阻止；在這一點(diǎn)上，它轉(zhuǎn)變?yōu)樾枰~外測量以消除歧義的更復(fù)雜的反轉(zhuǎn)。與一樣，數(shù)值測試顯示了相當(dāng)滿意的結(jié)果，盡管偏移不太有利。

所有這些算法都被認(rèn)為是硬件友好的——在所需電路比原始算法更淺的意義上——但假設(shè)了容錯計(jì)算。換句話說，電路更簡單，但仍然期望在執(zhí)行時(shí)產(chǎn)生理想的結(jié)果。

這不僅支撐了大多數(shù)或所有正確性證明，而且在構(gòu)建測量時(shí)間表時(shí)也被假設(shè)。更具體地說，為了提高知識，算法通常依賴于深度逐漸增加的電路。如果這種情況無限期地持續(xù)下去，那么執(zhí)行所需的時(shí)間超過設(shè)備的相干時(shí)間是不可避免的，這在實(shí)踐中總是有限。

因此，我們最終將在輸出端測量經(jīng)典噪聲；顯然，在這種嘈雜的狀態(tài)下，不太雄心勃勃的測量可能更有信息量。更重要的是，對精確結(jié)果的過度依賴使對噪聲無視的算法無法從異常測量中恢復(fù)。

這些要點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了需要能夠適應(yīng)嘈雜場景的幅度估計(jì)算法。2021年，朝這個(gè)方向邁出了一步，提出了一種名為魯棒幅度估計(jì)（RAE）的算法。它不依賴于由精心制作的分析基礎(chǔ)支撐的嚴(yán)格時(shí)間表和細(xì)致計(jì)算，而是依賴于基于貝葉斯推斷的更靈活框架。這個(gè)框架不僅能夠減輕噪聲，這些能力還可以與互補(bǔ)技術(shù)結(jié)合或增強(qiáng)。這種豐富性立即開辟了許多有趣的途徑，試圖使QAE更接近實(shí)際應(yīng)用。

RAE依賴于具有工程化似然函數(shù)的貝葉斯推斷，這是通過推廣格羅弗算子實(shí)現(xiàn)的。在中提出了類似的想法，以使格羅弗搜索確定性。在這種情況下，目標(biāo)是進(jìn)一步定制用于數(shù)據(jù)收集的電路模型。此外，一個(gè)簡單的噪聲模型被納入似然中，這進(jìn)一步增強(qiáng)了算法的能力。

這種方法的主要缺點(diǎn)是計(jì)算成本和可擴(kuò)展性之間的權(quán)衡。為了使問題可處理，作者在高斯假設(shè)下工作。這被證明對于他們測試的案例不會顯著影響數(shù)值結(jié)果。雖然這種近似對于幾個(gè)參數(shù)（如本例）通常是靈活的，但它們對于更高維度的情況并不具有良好的擴(kuò)展性，這在考慮更復(fù)雜的噪聲模型時(shí)會出現(xiàn)。統(tǒng)計(jì)表示可以說是貝葉斯推斷中最關(guān)鍵的實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)。因此，找到既高效、通用又可擴(kuò)展的方法是很重要的。如果做不到這一點(diǎn)，肯定會阻礙推斷過程，不僅影響最優(yōu)性的準(zhǔn)確性，還會影響正確性本身。

此外，RAE需要將格羅弗算子（6）的反射推廣到任意旋轉(zhuǎn)，而原本它們是固定的，等于π。這增加了經(jīng)典優(yōu)化成本，因?yàn)楝F(xiàn)在我們處理的是2m個(gè)參數(shù)（其中m是電路層數(shù)/格羅弗算子的應(yīng)用次數(shù)），而不是1個(gè)（m本身）。

此外，與單個(gè)由兩個(gè)反射組成的常數(shù)算子相比，使用由兩個(gè)連續(xù)旋轉(zhuǎn)組成的m個(gè)不同的算子為實(shí)驗(yàn)設(shè)置帶來了額外的復(fù)雜性。這種定制使得電路更難實(shí)現(xiàn)、校準(zhǔn)，甚至可能更難編譯；應(yīng)用錯誤校正變得更加昂貴。

由于這些原因，定制格羅弗算子可以被認(rèn)為是與其他混合QAE方案相比的一個(gè)劣勢。

在本文中，我們提出了一種不推廣格羅弗算子的方法，而是使用標(biāo)準(zhǔn)的固定算子幅度放大。我們利用QAE特定的洞察來減輕經(jīng)典處理成本，同時(shí)保留量子優(yōu)勢，并采用在嘈雜場景中表現(xiàn)良好的成本效益高的統(tǒng)計(jì)方法。

表1提供了所討論算法的簡要概述。

3 貝葉斯幅度估計(jì)

我們提出貝葉斯幅度估計(jì)（BAE），這是一種基于貝葉斯推斷的算法，遵循圖1中的混合方案。在每次迭代中，經(jīng)典地選擇一定數(shù)量的格羅弗步驟m，然后執(zhí)行相應(yīng)的量子電路。測量結(jié)果被送入經(jīng)典處理單元，并且根據(jù)需要重復(fù)此循環(huán)以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的不確定性。

貝葉斯框架允許我們通過概率分布來完善我們對幅度的（可能為零的）初始知識。這種描述允許我們以預(yù)期效用（方差）的方式評估任何m的前瞻性，并因此優(yōu)化m或m序列。我們選擇一種貪婪算法——單元前瞻，一次優(yōu)化一個(gè)m——以最小化優(yōu)化成本。出于相關(guān)原因，我們在信息稀缺的初始階段執(zhí)行經(jīng)典預(yù)熱階段。

工作流程在圖2b中以圖示表示，算法1中提供了偽代碼。貝葉斯推斷和貝葉斯實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的概述分別在附錄A和C中提供。貝葉斯更新和估計(jì)器計(jì)算是我們基于推斷的協(xié)議的支柱；為了有效地表示概率分布，我們使用帶有馬爾可夫鏈蒙特卡洛轉(zhuǎn)換的序貫蒙特卡洛（SMC），詳見附錄B。

算法的關(guān)鍵部分是選擇m的子程序。貪婪策略將涉及對無限域的離散優(yōu)化，因?yàn)閙是無上界的。為了解決這個(gè)問題，我們開發(fā)了一種啟發(fā)式策略，根據(jù)窗口擴(kuò)展（附錄C.1）自適應(yīng)地定義搜索范圍。我們從一個(gè)較低的搜索范圍上限開始；每次在優(yōu)化中選擇窗口允許的最高可能控制之一時(shí)，我們記錄一次命中。當(dāng)命中次數(shù)達(dá)到預(yù)定閾值時(shí)，就會觸發(fā)窗口擴(kuò)展：前者的上限成為新的下限，而上限加倍。然后我們將命中計(jì)數(shù)器重置為零，并重新開始。

這依賴于海森堡極限QAE算法的放大計(jì)劃，其中m隨著迭代次數(shù)呈指數(shù)增長。雖然窗口寬度仍然呈指數(shù)增長，但我們通過在其中的評估呈指數(shù)稀疏來實(shí)現(xiàn)恒定成本。

重要的是，這個(gè)貝葉斯框架可以很容易地適應(yīng)嘈雜的場景，通過調(diào)整生成模型。我們將貝葉斯框架擴(kuò)展到學(xué)習(xí)幅度之外的噪聲參數(shù)，獲得一個(gè)可以實(shí)時(shí)表征設(shè)備噪聲并適應(yīng)的算法。關(guān)于噪聲定制的詳細(xì)信息在附錄D中提供。

我們的算法能夠利用先驗(yàn)知識，例如如果幅度已知很?。ǜ戒汚）；可以以微不足道的額外成本評估噪聲模型（附錄B.4）；非常適合并行執(zhí)行，具有可以分布在量子和經(jīng)典設(shè)備上的任務(wù)（附錄I）；并且具有可調(diào)參數(shù)，可以根據(jù)實(shí)際權(quán)衡進(jìn)行調(diào)整（附錄J）。

3.1 退火貝葉斯幅度估計(jì)

BAE是一種貪婪地最小化方差的推斷算法。在本節(jié)中，我們提出一種不同的方法——退火B(yǎng)AE（aBAE），借鑒自退火重要性采樣，這是統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)中一種著名的算法。

分布的連續(xù)冪形成了可以使用序貫蒙特卡洛采樣的分布序列。注意，以前，分布序列由累積數(shù)據(jù)集給出，數(shù)據(jù)集的大小逐漸增加。

SMC算法可以應(yīng)用于任何分布序列。有關(guān)詳細(xì)信息，請參閱附錄B.1。

系數(shù)序列的選擇決定了算法的性能。一種選擇是自適應(yīng)地選擇系數(shù)以保持有效樣本大小（ESS）在目標(biāo)值附近。ESS是SMC中粒子退化的度量。一組K個(gè)樣本可能對應(yīng)于少于K個(gè)有效樣本，這是由于相關(guān)性；如果處理加權(quán)“網(wǎng)格點(diǎn)”，如在SMC中，不均勻的權(quán)重意味著代表性低。ESS量化了一組加權(quán)樣本對應(yīng)于多少均勻樣本。

因此，保持ESS在目標(biāo)值附近有助于確保穩(wěn)定的表示。直觀上，確保ESS不太低保證了信息被正確捕獲；而確保它不太高則保證了攝取了大量信息。

在標(biāo)準(zhǔn)BAE中，我們通過在ESS低于某個(gè)閾值時(shí)刷新點(diǎn)位置來控制ESS。對于退火B(yǎng)AE，我們反而在每次迭代中選擇實(shí)驗(yàn)控制，以最小化與目標(biāo)ESS的預(yù)期距離。注意，貝葉斯和SMC框架保持不變，除了效用函數(shù)的選擇。ESS的期望可以像方差或其他效用函數(shù)一樣以前瞻性方式計(jì)算。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)隨后承擔(dān)了選擇系數(shù)的角色。雖然它們的行為不如前者，但由于似然函數(shù)的結(jié)構(gòu)，它們可以實(shí)現(xiàn)類似的效果。

這種方法的優(yōu)勢是統(tǒng)計(jì)魯棒性，我們期望在更高維度中尤其顯著，在那里充分探索空間更具挑戰(zhàn)性。此外，在多維估計(jì)中，方差成本函數(shù)必須推廣到協(xié)方差的標(biāo)量表示。這引發(fā)了新的考慮點(diǎn)，如參數(shù)的相對尺度。使用ESS消除了這些問題。最后，計(jì)算與協(xié)方差相關(guān)的度量復(fù)雜性隨著維度的增加而增加，而計(jì)算ESS的復(fù)雜性則不會。

4 方法 4.1 處理和基準(zhǔn)測試

為了評估QAE算法的優(yōu)點(diǎn)，必須找到結(jié)果相對于計(jì)量學(xué)基本限制的位置。

為了圖形化地描述這種評估，我們將根均方誤差（RMSE）表示為查詢次數(shù)的函數(shù)。在先前的QAE提議中，測試是針對作者選擇的固定幅度進(jìn)行的。這樣的選擇可能導(dǎo)致評估有偏見，以及過擬合。

相反，我們以一種與問題無關(guān)且通用的方式來測試這些算法，通過隨機(jī)采樣幅度，并取歸一化后的RMSE值的歸一化平均值，即NRMSE：

同樣，我們使用平均標(biāo)準(zhǔn)差的歸一化版本。這允許進(jìn)行更徹底的性能評估，揭示某些算法中的行為不規(guī)則性，并允許對算法的超參數(shù)進(jìn)行通用調(diào)整。

請注意，算法的成本計(jì)算為其執(zhí)行過程中使用的查詢次數(shù)的總和。這些查詢可能分布在多個(gè)電路中。這種全面的成本定義允許與量子計(jì)量學(xué)的限制（第2.5節(jié)）進(jìn)行直接比較，后者不涉及資源分配的具體細(xì)節(jié)。

盡管如此，這種劃分會影響算法的行為，因?yàn)殡娐分械牟樵兇螖?shù)與它的深度成正比，這決定了結(jié)果受退相干影響的程度。這反映在算法在噪聲存在下的性能上。

這結(jié)束了對要繪制的數(shù)量的討論?，F(xiàn)在我們討論如何繪制它們。首先，我們將使用雙對數(shù)刻度。我們表示方程（16）和（17）中的極限以供參考；它們分別以-0.5和-1的斜率呈現(xiàn)為直線，便于視覺評估。

其次，我們根據(jù)數(shù)據(jù)集自定義y截距，以便于視覺分析。詳細(xì)信息在附錄G中提供。注意，仍然需要注意垂直比例偏移：在實(shí)踐中，它是相關(guān)的成本度量，取決于精度范圍?？赡懿幌Ｍ麖囊婚_始就要求算法需要更高的量子資源數(shù)量，即使其擴(kuò)展是海森堡限制的。最終，這樣的算法的性能將超過另一個(gè)具有較小偏移但擴(kuò)展速度不利的算法，但這種情況是否發(fā)生取決于目標(biāo)分辨率。

另一個(gè)挑戰(zhàn)來自于適應(yīng)性的應(yīng)用。在量子計(jì)量學(xué)中，由于統(tǒng)計(jì)噪聲，性能指標(biāo)傾向于尊重平均結(jié)果。對于確定性算法，這些平均值是直接的，但對于自適應(yīng)算法則不是。在這種情況下，由于x坐標(biāo)不匹配，粗暴的平均將需要丟棄大多數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)，并使用與最大查詢數(shù)成指數(shù)增長的不成比例的執(zhí)行次數(shù)。為了避免這種情況，我們找到并采用了一種良好的近似方法，允許我們使用所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，同時(shí)仍然可靠地描繪統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。我們分析了多種可能的策略，并發(fā)現(xiàn)表現(xiàn)最好的是按照它們的x坐標(biāo)對點(diǎn)進(jìn)行分組，并獨(dú)立地平均它們的坐標(biāo)。模擬數(shù)據(jù)的結(jié)果在圖3中顯示。這些數(shù)據(jù)被生成以再現(xiàn)理想的海森堡限制行為，以便可以驗(yàn)證結(jié)果。通過上述策略，每個(gè)組中相同顏色的點(diǎn)由一個(gè)點(diǎn)總結(jié)：星形標(biāo)記。理想的處理將使這些標(biāo)記無偏地位于虛線上。詳細(xì)信息可以在附錄E中找到；附錄F顯示了使用其他策略的結(jié)果，證明了我們的結(jié)果對于任何對虛擬數(shù)據(jù)表現(xiàn)良好的處理策略都是成立的。

4.2 量子模擬

我們希望數(shù)值模擬BAE、其他混合QAE方法以及經(jīng)典QAE算法（用作參考）。為了測試目的，這些算法的量子部分可以通過解析計(jì)算和多項(xiàng)式采樣高效地模擬。這并不意味著這些電路可以由經(jīng)典計(jì)算機(jī)高效模擬，因?yàn)樯蛇@些數(shù)據(jù)需要知道 a 的值。更多細(xì)節(jié)參見附錄H。

除了理想行為外，我們還想觀察算法在外部噪聲（即非射擊噪聲）影響下的行為。因此，我們在方程9中增加了一個(gè)額外的參數(shù) T —— 相干時(shí)間 —— 并假設(shè)一個(gè)指數(shù)衰減同樣影響基態(tài)。獨(dú)立于 θ 的因子確保了這種對稱性（和適當(dāng)?shù)臍w一化）。結(jié)果是表達(dá)式4.2。

這個(gè)模型已在其他工作中使用過，并且在考慮量子設(shè)備中的常見噪聲源時(shí)會出現(xiàn)類似的指數(shù)衰減：去極化、去相位、能量弛豫和門失調(diào)。

為了實(shí)用性，我們將一個(gè)時(shí)間單位定義為應(yīng)用一次格羅弗算子所需的時(shí)間。然后可以使用這些單位來表示 T。

有了由方程4.2給出的封閉表達(dá)式，就可以像往常一樣引入采樣噪聲。

5 結(jié)果

本節(jié)以圖形方式展示了根據(jù)第4節(jié)描述測試我們的BAE算法的結(jié)果。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是基于100次執(zhí)行取的。在比較圖中，我們考慮了中位誤差的演變，以便于視覺分析。為了完整性，平均結(jié)果在附錄F中提供。

所有測試中都存在射擊噪聲；在小節(jié)5.1中不考慮其他噪聲源，而在第5.2節(jié)中施加了有限的相干時(shí)間。第5.3節(jié)提供了一個(gè)比較分析，將BAE與最新技術(shù)進(jìn)行基準(zhǔn)測試。

用于這些模擬的代碼和數(shù)據(jù)集在GitHub上公開可用，以及一個(gè)演示筆記本。

5.1 BAE的無噪聲性能

圖4a顯示了BAE的數(shù)值模擬結(jié)果。我們可以看到誤差的演變是平滑的，并且與海森堡極限平行。

圖4b顯示了采用附錄C中提到的節(jié)省成本措施的結(jié)果：序貫蒙特卡洛的重采樣步驟在效用計(jì)算中被抑制，并且每個(gè)m實(shí)現(xiàn)了10次射擊。偏移量僅略有變差，我們?nèi)匀挥^察到海森堡極限估計(jì)。經(jīng)典處理的運(yùn)行時(shí)間減少了5倍。在所有其他模擬中，我們采用這些節(jié)省成本的措施。

請注意，通過減少預(yù)熱射擊次數(shù)和每次測量的射擊次數(shù)，或放寬觸發(fā)窗口擴(kuò)展的標(biāo)準(zhǔn)（附錄C和J），可能會獲得稍微更好的成本偏移，但行為可能不太規(guī)律。

我們還根據(jù)小節(jié)3.1測試了退火B(yǎng)AE。圖5顯示了結(jié)果，估計(jì)仍然與海森堡極限平行。在相同情況下，對于單維估計(jì)，成本偏移與BAE相似。這是有希望的，因?yàn)轭A(yù)計(jì)其優(yōu)勢將在更高維度的問題中顯現(xiàn)。例如，多參數(shù)噪聲模型可能會產(chǎn)生多模態(tài)，在這種情況下，這種方法預(yù)計(jì)將優(yōu)于基于方差的原始BAE。

5.2 BAE在退相干情況下的性能

為了展示BAE在噪聲存在下的估計(jì)潛力，我們進(jìn)行了相同的模擬，考慮了一個(gè)具有有限相干時(shí)間的去極化信道。在這些測試中，我們假設(shè)隨機(jī)的相干時(shí)間在區(qū)間 [2000, 5000[ 內(nèi)，時(shí)間單位如第4.2節(jié)所述。每次運(yùn)行時(shí)隨機(jī)選擇時(shí)間，并假定在此過程中保持不變。BAE使用500次射擊來估計(jì)相干時(shí)間。

圖6顯示了估計(jì)過程。我們可以看到，演變最初與海森堡極限平行，隨著查詢次數(shù)的增加而減緩，達(dá)到了介于量子和經(jīng)典極限之間的中間斜率。

在無噪聲的情況下，隨著誤差的縮小，選擇更深的電路以最佳方式改善估計(jì)誤差。在這種情況下，由于相干性受到限制，存在一個(gè)權(quán)衡：更深的電路更容易受到退相干的影響。因此，BAE選擇電路深度，以在這兩者之間實(shí)現(xiàn)最佳平衡，盡管存在噪聲，仍然保留了部分量子優(yōu)勢。

5.3 比較分析

最后，我們測試了文獻(xiàn)中提出的其他算法，并將它們與BAE進(jìn)行比較。結(jié)果在圖7中展示。

從理想情況（圖7a）開始，我們觀察到BAE在復(fù)雜度和偏移量方面都具有競爭力：其學(xué)習(xí)速率（斜率）與表現(xiàn)最佳的方法相匹配，而其偏移量優(yōu)于其他所有方法。BAE不僅達(dá)到了海森堡極限，而且還能隨著資源數(shù)量的增加，比其他任何算法更快地縮小誤差。這表明，盡管它可以適應(yīng)嘈雜的設(shè)備，BAE并不僅僅是一個(gè)NISQ算法：它能夠在容錯場景中實(shí)現(xiàn)完整的量子優(yōu)勢。

轉(zhuǎn)向嘈雜的情況（有限相干性 - 圖7b），BAE仍然是表現(xiàn)最佳的算法，與其他算法的差距更大。在所有測試的算法中，BAE在給定查詢次數(shù)下實(shí)現(xiàn)了最低的估計(jì)誤差。事實(shí)上，無論成本如何，它都實(shí)現(xiàn)了最低的估計(jì)誤差，因?yàn)槠渌惴ㄋ坪跤捎趯W(xué)習(xí)速率的停滯，無法將誤差降低到 以下。即使對于更高的查詢次數(shù)，BAE也能可靠地執(zhí)行，這對應(yīng)于更長的執(zhí)行時(shí)間和更高的精度，而其他具有類似成本的算法則因噪聲而停滯或表現(xiàn)出不穩(wěn)定的行為。

在其他算法中，有些只有在查詢次數(shù)較高時(shí)才顯示出這種趨勢：FAE、SAE和MLAE（LIS）。這是由于它們的偏移量更大和/或?qū)W習(xí)速率更慢；它們使用的電路比最優(yōu)電路短，這增加了量子成本并延遲了退相干的影響。這并不構(gòu)成優(yōu)勢：我們感興趣的是給定誤差幅度下的噪聲影響，而不是成本。（否則，人們可能通過無益地增加成本來“改善”算法的抗噪聲能力，導(dǎo)致圖中向右移動。）

出于類似原因，MLAE-LIS在高查詢次數(shù)時(shí)由于涉及大量小項(xiàng)（數(shù)萬個(gè)電路的可能性）的產(chǎn)品優(yōu)化而遇到運(yùn)行時(shí)和數(shù)值穩(wěn)定性問題。

同樣，我們注意到查詢總數(shù)可能與退相干的影響沒有直接關(guān)系，也不是存在噪聲時(shí)不穩(wěn)定行為的唯一預(yù)測指標(biāo)。這些查詢是累積的，并不一定與最大電路深度成正比（盡管對于某些算法來說大約如此，例如MLAE-EIS的幾何級數(shù)電路）。

這些是我們工作的主要結(jié)果。我們已經(jīng)證明BAE：

1. 在無噪聲的情況下實(shí)現(xiàn)了海森堡極限估計(jì)，斜率與最佳算法一樣好；

2. 與所有其他測試算法相比，偏移量更??；

3. 與其他算法不同，能夠適應(yīng)嘈雜的場景。

最后一點(diǎn)與來自靈活且廣泛框架的其他優(yōu)點(diǎn)有關(guān)：BAE能夠適應(yīng)實(shí)驗(yàn)限制或偏好，評估噪聲模型的優(yōu)點(diǎn)，利用先前可用的信息，并利用各種權(quán)衡。

6 結(jié)論和未來工作

我們提出了BAE，這是一種QAE算法，能夠?qū)崿F(xiàn)海森堡極限估計(jì)；高度可定制，能夠在涉及的多重成本之間進(jìn)行權(quán)衡；可并行化和可擴(kuò)展；并且對噪聲具有彈性。數(shù)值模擬顯示，我們的算法與最先進(jìn)的算法相比具有穩(wěn)健的性能，無論是在有噪聲還是沒有噪聲的情況下。這使得它在NISQ和容錯時(shí)代之間的過渡中特別有趣，因?yàn)樗梢栽谶@些體制之間進(jìn)行插值。

特別是，BAE能夠表征噪聲并相應(yīng)地自我適應(yīng)。這使得它比未能考慮外部噪聲源的算法更適合有缺陷的量子設(shè)備。雖然噪聲仍然可以減慢學(xué)習(xí)速率，但正確處理它可以在保障正確性的同時(shí)最小化這種減速。我們觀察到，即使在其他算法因噪聲而飽和后，我們的算法仍然繼續(xù)學(xué)習(xí)。

我們還提出了aBAE，這是BAE的一個(gè)退火版本，它僅基于統(tǒng)計(jì)簡并性的度量來指導(dǎo)推斷。這使得評估效用函數(shù)的成本與參數(shù)數(shù)量無關(guān)，并有助于在多維場景中確保穩(wěn)定的數(shù)值表示，如詳細(xì)描述噪聲時(shí)所帶來的場景。

相關(guān)的，未來工作的一個(gè)有趣方向是使用更復(fù)雜的噪聲模型來測試算法。這樣的模型預(yù)計(jì)將從所提出方法的魯棒性中獲益最多，即高效的多維采樣和BAE的退火變體。這一改進(jìn)是未來工作目標(biāo)的關(guān)鍵一步：在真實(shí)的量子設(shè)備上執(zhí)行量子幅度估計(jì)，而不是依賴數(shù)值模擬。

其他可能的研究方向包括對BAE算法特定部分的修改，即效用函數(shù)、控制優(yōu)化程序和數(shù)值表示。這可能進(jìn)一步提高性能或降低經(jīng)典成本。

最后，BAE算法可以直接應(yīng)用于介紹中提到的表征任務(wù)，在量子技術(shù)中有許多潛在應(yīng)用——即超導(dǎo)和光子量子計(jì)算以及傳感。

原文鏈接：https://www.researchgate.net/publication/395424691_Bayesian_Quantum_Amplitude_Estimation