導(dǎo)語

一滴水，在沸騰前的那一刻，內(nèi)部正醞釀著劇烈而無聲的變革。一根樹枝，在被壓斷前的瞬間，承受著即將崩塌的張力。我們的地球，在溫室氣體持續(xù)累積的今天，也正悄然逼近某個(gè)未知的“引爆點(diǎn)”。

這，就是“臨界點(diǎn)”——一個(gè)系統(tǒng)從一種狀態(tài)向另一種狀態(tài)發(fā)生劇變的門檻。它無處不在，既是宇宙中最基本的法則之一，也是我們這個(gè)時(shí)代最緊迫的挑戰(zhàn)。為了深入理解這一橫跨多個(gè)尺度的深刻概念，我們將開啟一段三部分的探索之旅，從物質(zhì)的微觀世界出發(fā)，途經(jīng)數(shù)學(xué)的抽象王國，最終抵達(dá)我們賴以生存的藍(lán)色星球。

第一部分，我們將回歸物理學(xué)的基石，探尋《楊振寧的統(tǒng)計(jì)物理遺產(chǎn)：相變與臨界現(xiàn)象》。 在這里，我們將了解科學(xué)家如何描述物質(zhì)“集體行為”的突變——從水結(jié)冰到磁鐵失磁。我們將理解什么是相變潛熱，什么是連續(xù)相變，并領(lǐng)會楊振寧等物理學(xué)巨匠如何為我們搭建起理解臨界現(xiàn)象的理論框架。這是我們的“語言”，是我們描述變化的基礎(chǔ)。

第二部分，我們將視角轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)的抽象世界，探索《數(shù)學(xué)分岔與物理相變：不同領(lǐng)域的平行敘事與統(tǒng)一》。 我們會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家們用一套名為“分岔理論”的工具，描繪出了與物理相變驚人相似的幾何圖景。滯后分岔、對稱破缺分岔……這些數(shù)學(xué)概念并非空中樓閣，它們?yōu)槲锢憩F(xiàn)象提供了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)和深刻的洞見。我們將見證，物理的“是什么”與數(shù)學(xué)的“怎么樣”在此交匯，共同揭示出臨界現(xiàn)象的普適性。

第三部分，我們將這些理論投射到現(xiàn)實(shí)世界，聆聽《地球的脈搏：氣候臨界點(diǎn)及其預(yù)警》。 冰蓋的消融、亞馬遜雨林的退化、大西洋環(huán)流的崩潰……這些不再是遙遠(yuǎn)的科學(xué)假說，而是可能由人類活動觸發(fā)的真實(shí)臨界點(diǎn)。我們將運(yùn)用前兩部分建立的知識，去理解氣候系統(tǒng)為何如此脆弱，并探討科學(xué)家們?nèi)绾螌ふ遗R界點(diǎn)來臨前的早期預(yù)警信號，為我們共同的未來爭取寶貴的時(shí)間。

通過這段旅程，我們將發(fā)現(xiàn)，無論是物質(zhì)的相變、數(shù)學(xué)的分叉，還是地球的未來，都在“臨界”和結(jié)構(gòu)失穩(wěn)這一概念下被統(tǒng)一起來。理解它，就是理解變化本身，也是為我們這個(gè)時(shí)代最嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)尋找答案?，F(xiàn)在，讓我們從第一部分開始，深入物質(zhì)世界的核心。后面兩篇會陸續(xù)發(fā)布。

邱仲普丨作者

樊京芳｜審核

2025年10月18日，一個(gè)消息牽動了全球科學(xué)界與華人的心：諾貝爾物理學(xué)獎得主、中國科學(xué)院院士、世紀(jì)物理學(xué)家楊振寧先生在北京逝世，享年103歲。

當(dāng)我們回望楊先生波瀾壯闊的科學(xué)生涯，宇稱不守恒的顛覆性洞察與楊-米爾斯規(guī)范場的宏偉基石，如同兩座最耀眼的燈塔，定義了現(xiàn)代物理學(xué)的格局。然而，在這兩座豐碑之外，楊先生的工作中還隱藏著一片同樣深邃、卻較少被公眾所知的學(xué)術(shù)大陸——統(tǒng)計(jì)物理中的相變與臨界現(xiàn)象。它所揭示的，是宇宙萬物從無序到有序的變遷規(guī)律，也為解讀我們星球的命運(yùn)埋下了深刻的伏筆。

楊振寧先生曾坦言：“我一生三分之一的工作在統(tǒng)計(jì)物理。” 這看似一句輕描淡寫的自述，其實(shí)是這位科學(xué)巨匠對自己學(xué)術(shù)生涯版圖的宣告。楊振寧90歲壽辰時(shí)，清華大學(xué)送給他一塊4個(gè)側(cè)面刻滿其13項(xiàng)主要物理學(xué)貢獻(xiàn)的黑色大理石立方體作為壽禮。其中一面展示了楊先生在統(tǒng)計(jì)物理領(lǐng)域方面的貢獻(xiàn)，第一項(xiàng)便是“相變”，如圖1所示。

圖1：清華大學(xué)贈予楊振寧的“科學(xué)立方”（來源：施郁. "物理學(xué)之美: 楊振寧的 13 項(xiàng)重要科學(xué)貢獻(xiàn)." 物理 43.01 (2014): 57-62.）

水在寒冷的冬天會結(jié)冰、被加熱后會發(fā)生汽化，這是人們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷默F(xiàn)象。物質(zhì)的狀態(tài)在物理學(xué)中被稱為“相”，比如水有固相、液相和氣相等，而物質(zhì)從一種相轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N相的過程就是“相變”。

其實(shí)不只是水，自然界中絕大多數(shù)物質(zhì)都存在相變現(xiàn)象。為了更系統(tǒng)地梳理紛繁復(fù)雜的相變現(xiàn)象，奧地利物理學(xué)家保羅·埃倫費(fèi)斯特（Paul Ehrenfest）提出了一套基于熱力學(xué)勢的分類方案，用熱力學(xué)勢在相變點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)（隨參數(shù)變化的“光滑程度”）來區(qū)分不同的相變。如果在相變點(diǎn)，熱力學(xué)勢的一階導(dǎo)數(shù)（對應(yīng)著體積、熵等物理量）出現(xiàn)一個(gè)明顯的臺階，這就是一級相變。這意味著系統(tǒng)會吸收或放出大量熱量（即相變潛熱），體積也會發(fā)生突變。我們熟悉的水結(jié)冰或沸騰，就是最典型的一級相變；而如果一階導(dǎo)數(shù)本身是連續(xù)的，沒有臺階，但其二階導(dǎo)數(shù)（對應(yīng)著比熱容、壓縮率等物理量）出現(xiàn)了一個(gè)尖點(diǎn)或趨向無窮，這就是連續(xù)相變。這種相變沒有潛熱，體積變化也是平滑的。如水在臨界溫度和臨界壓強(qiáng)之上，會變成超臨界水，這個(gè)過程沒有潛熱產(chǎn)生，屬于二級相變。

在現(xiàn)代物理學(xué)中，我們更常用連續(xù)相變這個(gè)更廣義的詞來概括這類沒有潛熱、狀態(tài)連續(xù)變化的相變，它包含了埃倫費(fèi)斯特定義的二級相變以及更高階的相變。因此，區(qū)分一個(gè)相變是一級相變還是連續(xù)相變，往往是相變研究中的首要問題。

與水的三態(tài)之間的相變相比，還有一些相變更令人著迷：磁鐵在加熱到一定溫度時(shí)，會突然失去鐵磁性，即從鐵磁相轉(zhuǎn)變?yōu)?strong>順磁相，稱為順磁-鐵磁相變。1895年，居里夫人的先生——皮埃爾·居里在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，磁鐵加熱到一定溫度（這后來被稱為“居里溫度”），會突然失去磁性，實(shí)驗(yàn)如圖 2所示。這個(gè)發(fā)現(xiàn)，為理論物理學(xué)家提出了一個(gè)深刻的挑戰(zhàn)：如何從微觀的相互作用出發(fā)，解釋宏觀上這種磁性的的突變？

圖2：居里溫度實(shí)驗(yàn)動畫，當(dāng)鎳周圍溫度達(dá)到居里溫度，會失去磁性。動畫中來回?cái)[動的為鎳塊，蠟燭的左側(cè)為磁鐵。鎳塊在磁鐵磁場作用下產(chǎn)生磁性，向磁鐵運(yùn)動，當(dāng)靠近火焰，達(dá)到居里溫度后，失去磁性，遠(yuǎn)離磁鐵。此過程不斷重復(fù)，鎳塊來回?cái)[動。來源：https://rimstar.org/science_electronics_projects/curie_temperature_ferromagnetism_experiment.htm

面對實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象提出的挑戰(zhàn)，外斯（P. Weiss）在1907年首先嘗試了一種看似“粗糙”卻極為強(qiáng)大的模型——平均場理論。它的核心思想，好比在分析一場大型選舉時(shí)，我們不關(guān)心每個(gè)選民的具體想法，而是假設(shè)每個(gè)人都受到一個(gè)“平均民意”的影響。在磁體中，平均場理論假設(shè)每個(gè)自旋感受到的，并非其鄰居瞬息萬變的真實(shí)磁場，而是一個(gè)由所有其他自旋共同產(chǎn)生的平均的“有效磁場”。

這一近似取得了成功。它成功地從數(shù)學(xué)上定性復(fù)現(xiàn)了磁性的突然消失。物理學(xué)家們似乎找到了解開相變之謎的鑰匙。然而，勝利是短暫的——平均場理論就像一幅印象派畫作，抓住了神韻，卻在細(xì)節(jié)上失了真。它似乎“抹平”了臨界點(diǎn)附近那些至關(guān)重要的、劇烈的漲落。

為了捕捉被平均場理論“抹平”的細(xì)節(jié)，物理學(xué)家需要一個(gè)更忠實(shí)于微觀現(xiàn)實(shí)的模型。這時(shí)，歷史舞臺的聚光燈打向了德國物理學(xué)家威廉·楞次（Wilhelm Lenz）和他的學(xué)生恩斯特·伊辛（Ernst Ising）。楞次在1920年提出了一個(gè)精巧的構(gòu)想，他把鐵磁性材料抽象成由一個(gè)個(gè)原子構(gòu)成的晶格，每一個(gè)原子都有一個(gè)或向上或向下的“自旋”，如圖3所示。自旋之間的相互作用使得相鄰自旋傾向于同向排列，從而使得整個(gè)材料呈現(xiàn)出鐵磁性；另一方面，由于熱運(yùn)動的影響，當(dāng)溫度升高時(shí)自旋的指向會傾向于變得無序。因此，自旋之間的相互作用帶來的有序和溫度帶來的無序便產(chǎn)生了競爭關(guān)系，這種競爭關(guān)系最終導(dǎo)致了鐵磁體的相變。

圖3：伊辛模型示意圖：晶格上的自旋，傾向于與鄰居保持同向

這個(gè)看似簡單的模型，被交給了楞次的學(xué)生伊辛。伊辛在1925年的博士論文中，極其“不幸”地選擇了一維模型求解，并得出結(jié)論：一維伊辛模型在任何有限溫度下都不會發(fā)生相變。這一結(jié)論一度讓人們認(rèn)為，這個(gè)模型在更高維度可能也過于簡單，無法捕捉到相變的精髓。

然而，物理學(xué)的革命往往在不經(jīng)意間發(fā)生。1944年，當(dāng)人們還正在從二戰(zhàn)的陰霾中逐步走出時(shí)，挪威裔美國化學(xué)家、物理學(xué)家拉斯·昂薩格（Lars Onsager）（圖4）發(fā)表了石破天驚的論文。他利用轉(zhuǎn)移矩陣法，給出了二維伊辛模型在零外磁場下的嚴(yán)格解析解。這個(gè)解精確地預(yù)言了系統(tǒng)的相變點(diǎn)，并計(jì)算出了相變點(diǎn)附近的臨界指數(shù)（描述臨界行為的冪指數(shù)）。昂薩格的解法之精妙、數(shù)學(xué)之艱深，在當(dāng)時(shí)被譽(yù)為“神來之筆”，它像一道閃電，照亮了統(tǒng)計(jì)物理最黑暗的角落，開啟了所謂的“昂薩格革命”。更重要的是，昂薩格解的臨界指數(shù)與平均場理論截然不同，它無可辯駁地證明了，在臨界點(diǎn)附近，漲落的作用是決定性的，任何忽略它們的理論都將是錯(cuò)誤。

圖4：昂薩格

然而，昂薩格的解法并未完全解決伊辛模型的問題。他計(jì)算了零外場時(shí)的臨界指數(shù)，卻未給出弱外場時(shí)自發(fā)磁化的臨界指數(shù)。1949年，他在一個(gè)會議上寫下了最終公式，卻未提供證明過程。歷史性的接力棒，交到了當(dāng)時(shí)年僅27歲的楊振寧手中。

1951年，楊振寧發(fā)表了論文《二維伊辛模型的自發(fā)磁化》，給出了自發(fā)磁化強(qiáng)度的完整、嚴(yán)格的推導(dǎo)。這篇論文被譽(yù)為“統(tǒng)計(jì)物理的典范之作”，是楊振寧先生在理論物理學(xué)界的第一個(gè)“成名作”。它不僅補(bǔ)全了昂薩格工作的一塊拼圖，更以其數(shù)學(xué)上的優(yōu)美和物理上的深刻，影響了此后數(shù)十年的研究。

楊振寧的第二個(gè)里程碑式貢獻(xiàn)，是與合作者李政道先生提出的“李-楊相變定理”。他們將目光從配分函數(shù)（一個(gè)描述系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)求和，或者說歸一化因子）的實(shí)數(shù)軸，延拓到了整個(gè)復(fù)平面。他們證明，熱力學(xué)相變的發(fā)生，與復(fù)平面上“單位圓”內(nèi)配分函數(shù)零點(diǎn)的存在和分布密切相關(guān)。這個(gè)定理如同一座橋梁，將統(tǒng)計(jì)物理與復(fù)分析這兩個(gè)看似遙遠(yuǎn)的領(lǐng)域連接起來，為理解相變的本質(zhì)提供了全新的數(shù)學(xué)視角。它揭示了相變不僅僅是物理現(xiàn)象，更是一種深刻的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（更多內(nèi)容可以見于淥 、 郝柏林和陳曉松老師合著的科普著作《邊緣奇跡：相變和臨界現(xiàn)象》，圖5所示）。

圖5：《邊緣奇跡：相變和臨界現(xiàn)象》書影

昂薩格的嚴(yán)格解和楊振寧的推導(dǎo)，這兩項(xiàng)工作共同構(gòu)成了對平均場理論的突破。它們提供的精確“靶點(diǎn)”，迫使物理學(xué)家們重新思考。為什么伊辛模型的臨界指數(shù)與平均場理論不同？為什么不同的物理系統(tǒng)（磁鐵、液體、合金）在相變點(diǎn)附近卻表現(xiàn)出相似的“標(biāo)度行為”？

對這些問題的解答，指向了相變理論的三大核心支柱：標(biāo)度性、普適性與重整化群。卡丹諾夫因前兩者榮獲玻爾茲曼獎，威爾遜則因重整化群理論榮膺1982年諾貝爾物理學(xué)獎（他亦是首屆玻爾茲曼獎得主）。這一系列突破性進(jìn)展，共同構(gòu)成了對平均場理論的超越，而其理論源頭，可追溯至楊振寧等人在“昂薩格革命”中奠定的基石。

而這場革命的余波，至今仍在物理學(xué)界激蕩。伊辛模型作為一個(gè)“思想富礦”，持續(xù)啟發(fā)著后來的諾獎工作：2021年，喬治·帕里西因?qū)o序復(fù)雜系統(tǒng)（自旋玻璃）的開創(chuàng)性研究獲獎，其核心正是伊辛模型的推廣；2024年，約翰·霍普菲爾德因神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型獲獎，其靈感也直接源于伊辛模型。值得注意的是，玻爾茲曼獎仿佛成為諾貝爾物理學(xué)獎的重要風(fēng)向標(biāo)——從威爾遜（1975年）、帕里西（1992年）到霍普菲爾德（2022年），這一脈絡(luò)清晰地標(biāo)示出統(tǒng)計(jì)物理與復(fù)雜系統(tǒng)研究在當(dāng)代物理學(xué)中的日益凸顯的地位。

作者：邱仲普 北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院在讀博士 審核：樊京芳 北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院教授、院長 出品：中國科協(xié)科普部 監(jiān)制：中國科學(xué)技術(shù)出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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