剛入小學的孩子們幾乎都喜歡算術。算術 非常單純 ，“對與錯”的 界限 清晰， 這 恰好符合 孩子 的心性。但是隨著年齡漸長，恐懼數(shù)學的人越來越多。這是為什么？日本數(shù)學家、數(shù)學教育巨匠遠山啟給出了一個論斷：問題出在算術和數(shù)學的教學方法上。

在本文中，遠山啟剖析了到底什么是數(shù)學？數(shù)學是一種什么語言？數(shù)學與客觀世界的關系究竟怎樣？并由此駁斥了一些盛行的觀念。

日本著名數(shù)學家、菲爾茨獎得主森重文曾盛贊遠山啟：我高中時讀了遠山啟先生的書，并深受其影響，他的著作讓我明白了數(shù)學的“語言”究竟是什么。

撰文|遠山啟

編譯 | 圖靈出版公司

被制造出的“數(shù)學恐懼”

在 學校的 眾多學科中， 孩子的 父母最為關心的恐怕是算術。 算術的對與錯涇渭分明， 孩子 一旦不會，絲毫無法掩飾。

有研究曾 調(diào)查 過孩子的生活環(huán)境與學習成績之間的關系，結果顯示，算術幾乎不受生活條件的影響。換句話說，貧困家庭的孩子依然可能學好算術，而富裕家庭的孩子也可能學不好。這與 社會科學類的科目 形成了鮮明對比。 社科類科目 往往是家庭寬裕、 能接觸到大量圖書雜志 的孩子成績更佳，而貧困家庭的孩子則表現(xiàn)較差。

可以說 ，算術堪稱最為公平、最具平民氣質(zhì)的學科。數(shù)學 這 門學問也 有同樣的傾向 。如果要舉出歷史上三位最偉大的數(shù)學家，人們幾乎都會提到阿基米德、牛頓和高斯。追溯他們的出身 ，會發(fā)現(xiàn) 頗為有趣 之處 ：阿基米德出身貴族， 牛頓來自 農(nóng)家，高斯則是瓦匠之子。三人之中有兩位出身平民，這無疑證明了數(shù)學是一門公平而民主的學科。

算術的原理極其簡單。只要理解這些簡單的原理，并能有系統(tǒng)地加以運用，就能夠?qū)W好算術。它既不需要大量的閱讀積累，也不依賴廣博的知識。只要孩子 誠實、有韌性 ，就能掌握。

因此，剛入小學的孩子幾乎都喜歡算術。算術 非常單純 ，“對與錯”的 界限 清晰， 這 恰好符合 孩子 的心性。即使是平日被視為“不行”的孩子，只要答對題目，就能得到滿分。老師若算錯了，也只能向?qū)W生承認錯誤——這就是算術的魅力。

然而，隨著年級的升高，討厭算術的孩子卻逐漸增多。甚至許多人長大后 仍然會被“ 在數(shù)學考試中答不出題 ”的 噩夢 纏身 ， 在深夜的驚恐中醒來 。這究竟 是為什么 ？

問題恐怕出在算術和數(shù)學的教學方法上。因此，即便成年后 認為自己 數(shù)學 不行 ，也無需過度自責。事實上，正是過度強調(diào)那些并非必要的難題，才人為地制造出 了 “數(shù)學恐懼”。

小學階段的復雜應用題，大概是最早導致孩子厭惡算術的根源。那些題目本該借助代數(shù)工具解決， 教學中 卻偏要用算術來做，結果只能依賴一些技巧性的“解謎”方法。某些智力不差，卻厭惡繞彎思維的孩子，一旦被迫解答這種題目，往往因此疏遠算術。

人們常以為“解復雜的應用題能讓人更聰明”，其實未必。

進入中學后，學生會遇到因式分解。它同樣被認為“做得多就能變聰明”，但這恐怕也是一種迷信。而且，因式分解的技巧在數(shù)學體系中并沒有那么重要。

這些冗余之所以長久存在于教育中，大多 因為 入學考試。考試題目往往故意被設計得刁鉆古怪，以便淘汰、篩選考生。于是學生不得不反復練習這種題目，考試也愈加困難， 以此 形成惡性循環(huán)，難以停止。

正是這樣，算術恐懼 者 、數(shù)學恐懼 者 被大量制造出來。然而，數(shù)學的本質(zhì)其實遠為單純、直率。真正應用于現(xiàn)實的，恰恰是這些單純直率的部分。那些需要曲折思維的問題，往往是人為設下的考題；而 數(shù)學中 自然 出現(xiàn) 的問題，多數(shù)卻更為簡明、清晰。

數(shù)學是一種特殊的語言

有關 大學 入學考試的一則消息 曾 引發(fā)議論。有人說， 之前 有一位考生數(shù)學滿分卻未能 被 錄取。按理說，數(shù)學在總分中占比很高，只要其他科目發(fā)揮正常，合格毫無懸念。然而，這名考生的其他科目糟糕透頂，以至于即便數(shù)學完美無缺，仍無力回天。

由此 有人 提出一個問題：這樣的學生將來是否會有所成就？ 對于此問題，各路學者 意見紛紜，但 最終大致的 結論是—— 其 前途不容樂觀。 特別 是語言 能力較 差 的人 ，在數(shù)學上也難有大作為。

回顧歷史，真正卓越的數(shù)學家鮮 有不擅長 語言 之人 。當然，在實驗科學或工學領域，即便語言 能力 不足，依然能夠涌現(xiàn)出優(yōu)秀人才；但數(shù)學似乎有所不同。

大體而言，人類可分為兩類：一類偏好觀念的推演，一類偏愛 物體 的操作。熱愛數(shù)學的人大多屬于前者，因此在語言這種“觀念的游戲”中也往往游刃有余；而實驗科學家與工學者偏屬后者，即便語言不精，也并不意外。歸根結底，這是 一種能力類型的差異。

數(shù)學與語言的確存在某種相似之處。從人的認知能力來看，它們在深層處往往相通。

隨著電子計算機的發(fā)展，“模式識別”逐漸成為重要課題。若將最新的計算機與兩三歲的幼兒相比較，幼兒在模式識別方面的能力遠遠超出機器。孩子一旦學會“腳”這個詞，便能將自己的腳、母親的腳、玩偶的腳一并識別為同類。這種能力幾乎只能以“靈妙”來形容，即便是最先進的計算機也望塵莫及。

這種驚人的模式識別能力，與語言能力緊密相關。 模式識別的 原理 在于 “ 相似 ”而 非 “ 相同 ” ，即做出“并非 完全相同，而是相似”的判斷。語言依賴這種能力，而沒有這種能力，語言也無法成立。正如萊布尼茨所言，世上從無完全相同的兩物。若不能以同一名稱稱呼相似之物，語言便需要與世間萬物等量的名詞，人類將難以承受。語言的根本原理即在于相似性。而數(shù)學，同樣立足于這一原理。

近年來，“結構”一詞 在數(shù)學中 流行起來， 它 對應 的 英語 單詞是 S tructure， 當然它也 與“結構主義”密切相關。 德國人甚至 將 現(xiàn)代 數(shù)學定義為“結構的科學”（ Strukturwissenschaft ）。 這種說法對于現(xiàn)代數(shù)學而言非常 貼切， 不過由于大部分人在學校只會接觸到近代數(shù)學之前的知識，對現(xiàn)代數(shù)學并不了解，這里還是簡單說明一下“結構” 。

所謂“結構”，并非關心“ 具體的 對象是什么”，而是探究“對象 之間 如何相互作用”。例如“ 三方互克 ” 關系 ——“石頭、剪刀、布”或“ 蛇、青蛙、蛞蝓 ”，其本質(zhì)是三者之間形成的一種關系模式，這就是一種結構。無論稱之為模型、范式還是圖式，本質(zhì)并無區(qū)別。 現(xiàn)代 數(shù)學世界的根基，正是這類結構。所謂“結構的科學”， 說的就是對這些“結構”的研究 。

“三方互克”關系

結構也存在于其他完全不同的事物之中 。 比如人的血型 大致有O、A、B、AB。 這四種血型并非獨立存在的，它們之間存在某種關系，即某血型可以向某血型輸血的關系。我們將可以向其他血型輸血的血型寫在上方，可以接受其他血型輸血的血型寫在下方。這 就 是一個 新的 結構。這種結構也存在于其他完全不同的事物之中。比如6 這個整數(shù)，我們把它的正因數(shù)都寫出來，可以得 {1,2,3,6} 此時，這四個數(shù)之間也存在“可被某數(shù)整除，不可被某數(shù)整除”的相互關系。我們將可以整除其他數(shù)的數(shù)寫到上方，可以被整除的數(shù)寫到下方，則可以得到 一個結構 。1可以整除2，2可以整除6，3可以整除6。雖然這些數(shù)和人的血型是完全不同的東西，但二者內(nèi)部元素之間的關系是同構的。

同構

如果從廣義上來思考結構，我們還會發(fā)現(xiàn)，在其他領域也存在許多結構，比如音樂的樂譜也是一種結構。樂譜中的Do、Re、Mi、Fa 等音符按照一定的順序排列，而非僅僅將音符聚集在一起。樂譜中的音符具有結構，并按照這種結構排列，所以我們無法否認這是一種結構。再比如，繪畫中的各種色彩也并非雜亂地聚集在一起，而是按照某種結構排列的，畫畫就是在發(fā)現(xiàn)色彩的這些結構；作曲家的作曲其實就是在創(chuàng)造音的結構；圍棋高手則是在創(chuàng)造圍棋的結構。像這樣，將結構在廣義上推廣開來的話，我們能看到人類所有的創(chuàng)造性活動都必然與結構有關系。創(chuàng)造出新結構的能力就是我們通常所說的創(chuàng)造力 。

大學的數(shù)學專業(yè)被放到理學系中，這在現(xiàn)代數(shù)學之前是沒問題的，之前的數(shù)學研究的主要內(nèi)容確實與自然現(xiàn)象相關。但是，到了現(xiàn)代數(shù)學的階段，數(shù)學也與 社會現(xiàn)象產(chǎn)生了種種關系。也就是說，社會現(xiàn)象中存在相同的結構（模式），而這些結構能在其他眾多適用的社會現(xiàn)象中使用。

但是，如果把結構推廣到這么廣的范圍，那萬事萬物就都成為數(shù)學了。數(shù)學家可能也不得不去學作曲或?qū)W畫畫，這聽上去可不太妙。雖然結構可以推廣到萬事萬物，但這樣也無法對它進行研究了。因此，數(shù)學這門學問也是對“結構”的限定，可以讓人集中研究結構。

棋藝高手因熟知無數(shù)定式，能在對局中迅速應變；數(shù)學家亦然，因腦中儲存大量 的 “結構”，方能輕松破解難題。 對于 那些把數(shù)學僅視為計算的人來說，“數(shù)學是結構的科學” 的說法 或許 會讓他們感到意外 。

然而，人類精神活動本非涇渭分明。 如果將重點放在 “相似”而非“ 相同 ” 上 ， 那么 數(shù)學與藝術 等精神活動本就非常接近 。詩人的象征與比喻， 其原理也基于 相似性；小說家的 對 人物 性格的 塑造，也是 對模式 的建構 ，并會 預設讀者具備識別相似性的能力。

數(shù)學與藝術雖同樣依賴 “ 相似 ” ，但 其“性格”有些不同 。數(shù)學的相似是邏輯性的，幾乎不依賴感性 。 藝術的相似 則以 感性為主，卻 也蘊含 邏輯。若承認藝術中也蘊含邏輯，那么二者之間的距離或許遠比想象的要近。

尤其是數(shù)學與語言，其距離極為接近。與其說數(shù)學與語言相似，不如說 “ 數(shù)學本身就是一種特殊的語言 ” 。

例如， 近代數(shù)學的核心概念 —— 函數(shù) ， 它 同時也與 語言中的 命題密切相關。式子 y=f(x) 的意義在于：對象 x 經(jīng)過作用 f ，生成結果 y 。在符號邏輯學中，這被解釋為：主語 x 與謂語 f 結合，生成命題 y=f(x) 。

由此可見，數(shù)與命題可用同一公式來表達。數(shù)的世界與語言的世界，并非遙遠分立，毋寧說，它們在某些層面上早已重疊。

數(shù)學與其他學科的關聯(lián)

數(shù)學究竟是一門怎樣的科學？首先必須指出的，便是它的普遍性。數(shù)學的命題對于全世界任何人都同樣可以理解，不存在差別。這種普遍性，正是人類理性能夠超越民族與習俗差異而具有共通性的最佳證明，也是對狹隘的民族主義和種族偏見最有力的反駁。

這種普遍性還體現(xiàn)在另一個方面：數(shù)學作為一門學科，并非由某一民族獨力創(chuàng)造，而是全人類共同合作的產(chǎn)物。誠然，進入近代以后，歐洲人的貢獻極為突出；但在古代與中世紀，亞洲人留下的功績同樣巨大。

因此可以說，數(shù)學是一門全人類的科學。在教授數(shù)學時，若能在各種機會中提醒學生這一點，就再好不過。因為在所有科學中，與種族歧視最無緣的，正是數(shù)學。

與普遍性同樣重要的，是數(shù)學的歷史性。數(shù)學和天文學一樣，是最古老的科學之一。雖然難以舉出確鑿證據(jù)，但大概可以認為，作為學科的數(shù)學，是在新石器時代開始后不久便已萌芽。換言之，數(shù)學并非從天而降，而是在人與人組成的社會中，歷史性地形成與發(fā)展的。

如果數(shù)學是人類和社會共同的智慧活動的歷史產(chǎn)物，那么它 當然不是孤立的，而是整個文化的有機組成部分，必然與文化的其他領域保持緊密的聯(lián)系。尤其在今天，更要強調(diào)這種聯(lián)系。因為數(shù)學在其本性中，始終潛藏著學術孤立化的危險。對于現(xiàn)代數(shù)學而言，這一點更為重要。自1899年希爾伯特發(fā)表《幾何基礎》以來，現(xiàn)代數(shù)學在“公理主義”的旗幟下逐漸成形。

公理主義初興時，確曾傳播過這樣一種過于急切的想法：只要建立起一個不含矛盾的公理體系，它就可以獲得作為“另一種數(shù)學”的合法地位。確實，無矛盾是必要條件 。 若有矛盾，數(shù)學體系必然崩潰。但這是否足以構成充分條件？

《幾何基礎》表明，除了歐幾里得幾何學之外，還存在無數(shù)種幾何學。那么，為何歐幾里得幾何學會最早受到深入研究？原因不言而喻 ， 因為歐幾里得的空間最接近于現(xiàn)實的空間。 對 公理主義 的淺薄 理解，曾一度將許多無聊的數(shù)學結構引入學科之中。

法國布爾巴基學派喜歡將數(shù)學結構比作建筑物。那么，在這個比喻下，公理體系便是建筑的設計圖。建筑師只要遵循力學的法則，便可以自由繪制各種設計圖，并建造相應的 建筑 。同樣，數(shù)學家只要遵循邏輯的法則，便可自由設立公理體系。

然而，某個建筑究竟是“好建筑”還是“壞建筑”，并非力學定律所能判定，而是另一個層面的問題 ，即 取決于建筑與人類、社會的關系。因為 建筑 終究是人類與社會來使用的。數(shù)學也完全一樣。數(shù)學是為人類而存在，而非反之。某個數(shù) 學結構若能幫助人類探索自然與社會的規(guī)律，進而改造自然與社會，使之造福人類，那它便是“好的數(shù)學結構”。倘若失去了這一視角，數(shù)學便會淪為 赫爾 曼 · 外爾 所說 的“類似 象棋 的智力游戲”。

當然，這并不意味著要陷入目光短淺的實用主義。 數(shù)學以及 科學的偉大，從來不僅在于它能帶 來物質(zhì) 上的幸福。即使沒有直接應用，它仍能拓展人類的視野，消除無謂的恐懼，這同樣是它的偉大所在。

因此，我們必須時刻銘記：數(shù)學不是孤立的學科，而是在與其他學科、其他文化領域的聯(lián)系中發(fā)展而來。這一點尤其重要。因此，在推進數(shù)學教育改革的過程中，必須牢記這一點。我們期待有更多數(shù)學家參與教育建設的運動，尤其在引入現(xiàn)代數(shù)學方法之時，更需要學習第一線研究者的思維方式。但與此同時，盲從始終不可取。數(shù)學的根本特性之一，便是它始終潛藏著學術孤立化的危險；也正因如此，我們才要不斷強調(diào)它與其他學科的聯(lián)系。

這并非什么高深的學術議論，而是連小學算術中都能遇到的現(xiàn)實問題。比如，近來興起的“集合熱”便產(chǎn)生了許多怪現(xiàn)象。有不少孩子說：“集合一開始很難懂，但一旦懂了，就發(fā)現(xiàn)沒什么大不了的東西。為什么老師要一本正經(jīng)地把它當寶貝似的教呢？”這種批評非常中肯，也一針見血地指出了 “ 集合熱 ” 的缺陷。

集合論確實是現(xiàn)代數(shù)學的出發(fā)點，卻絕不是終點?？低袪柕募险摚康恼谟趯⒓扔薪Y構盡量粉碎到最小的原子層次。但如果數(shù)學停留在康托爾集合論的層面，它就會成為一片荒涼的沙漠。幸運的是，數(shù)學并未止步于此 ，康托爾的集合論讓數(shù)學家能以原子層次進行分析 ， 希爾伯特的公理主義又讓數(shù)學家能 通過公理體系 重新 將這些 元素 聯(lián)系起來，創(chuàng)造出豐富多彩的結構。由此可見，集合論不過是一次必須回歸的再出發(fā)點。

數(shù)學教育亦然。若不能從集合進一步發(fā)展到量、邏輯、空間等更廣闊的世界， 那么 它便毫無意義，只會讓孩子們感到枯燥與乏味。

數(shù)學是客觀世界的反映

關于數(shù)學流傳著一種普遍的觀點，大意是：

“數(shù)學是由若干公理體系演繹推導而成的自律性知識體系，與以歸納為基礎 的其他自然科學有著本質(zhì)區(qū)別。”

由這種數(shù)學觀衍生出兩種截然相反的教育態(tài)度：一種是數(shù)學無用論，另一種是“為數(shù)學而數(shù)學”主義。

如果數(shù)學真的是“自上而下給定的公理體系所演繹出來的知識”，那么它的確不過是與現(xiàn)實社會毫無關系的“無聊人的玩物”罷了。若真如此，數(shù)學無用論就有其道理。戰(zhàn)后日本教育界曾盛行的“生活單元主義” 大致便 立足于這種數(shù)學觀。1951年 日本的 中學《學習指導要領》中甚至寫道：“我們并不是要教數(shù)學?！逼浔澈鬂摬刂鴮?shù)學的輕蔑。

然而，從“數(shù)學是自律的知識體系”這一前提，又能得出另一種結論：

“數(shù)學獨立存在，不依賴其他學科，因此學習數(shù)學是訓練思維、培養(yǎng)邏輯能力所必需的?！?/p>

這就是所謂“為數(shù)學而數(shù)學”的立場，正如“為藝術而藝術”的藝術至上主義。

誠然，數(shù)學在鍛煉思維能力方面確實有用。但若僅僅為了這一點，圍棋、 象棋 同樣也能起作用 ， 并非數(shù)學不可替代。而若是為了培養(yǎng)邏輯推理能力，直接教授形式邏輯或許更為直接有效。

近年來，高中教材中已經(jīng)出現(xiàn)了強調(diào)形式邏輯的傾向。邏輯固然重要，但過分強調(diào)形式主義，反而可能扼殺學生對幾何圖形與代數(shù)式所蘊含深刻規(guī)律的興趣。邏輯不應脫離圖形與公式而孤立存在。

于是，數(shù)學無用論與數(shù)學至上主義，雖然看似對立，卻共享著同一種錯誤的數(shù)學觀。

我反對把數(shù)學看作是“由若干公理體系演繹而成的自律性體系”。與此相反，我主張 “ 數(shù)學是自然與社會的客觀反映 ” 。因此，它既非完全自律，也不是純粹演繹而無歸納的學問。

數(shù)學史為這一點提供了確鑿的證據(jù)。數(shù)學史表明，數(shù)學是在與其他科學復雜互動的過程中發(fā)展起來的。有時是被動地受到外部推動，有時則是主動地開拓。

在開普勒、伽利略的時代，力學處于科學的最前沿。然而，當時力學所需要的數(shù)學——微積分——尚未誕生。真正創(chuàng)造出微積分的，是下一個時代的牛頓與萊布尼茨。在這個階段，數(shù)學的發(fā)展顯然是受到外部刺激而產(chǎn)生的。

但情況并非總是如此。譬如，高斯在土地測量問題中建立了曲面理論，后來由黎曼發(fā)展為空間曲率理論。在黎曼的時代，這一理論不過是沒有應用價值的假設，直到愛因斯坦將其用于相對論才真正發(fā)揮作用。同樣，振動弦問題中發(fā)展出的微分方程特征值理論，早在19世紀便已建立，但直到20世紀才在量子力學中找到應用。

數(shù)學的發(fā)展，就像裁縫的工作。若顧客上門量身訂制，他按尺寸做衣服——這是被動的。若顧客不來，他仍會設計新款衣服陳列櫥窗，等待有人來買——這是主動的?？此啤白月伞?，實則背后依然受制于“普通人能穿”的現(xiàn)實目的。這種所謂的“自律”，其實只是一種相對的自律。

黎曼在沒有物理學家需求的情況下提出空間理論，看似自律，然而他仍然是“為了反映自然”而創(chuàng)造的。

數(shù)學確實是自然的反映，但這種反映方式并不簡單直接。它有時像平面鏡，有時像凹面鏡，有時像透鏡。盡管數(shù)學相較于其他自然科學更多地以間接方式反映自然，但其根源在自然這一點毫無疑問。無論公理體系如何整然有序，它們之所以被選擇，正是因為能夠深刻反映自然。

因此，數(shù)學絕非純粹的形式，而是形式與內(nèi)容的統(tǒng)一體。數(shù)學不能被隔離于自然科學之外。基于錯誤的立場，將數(shù)學與理科完全分割為質(zhì)上不同的學科的教育理論，理應受到批判。這正是當今教育面臨的任務之一。

最后，數(shù)學絕不是單純的演繹學科，它的重要組成部分仍是歸納。這一點與其他自然科學并無根本區(qū)別，且更應被強調(diào)。

注：本文由圖靈出版公司根據(jù)圖書《數(shù)學與生活5》及若干其他文獻資料綜合編譯。全系列在中國熱銷10年，累計銷售20萬冊

作者簡介

遠山啟，日本當代著名數(shù)學教育家，日本數(shù)學教育議會創(chuàng)辦人。1938年日本東北大學理學部代數(shù)學專業(yè)畢業(yè)。倡導改革傳統(tǒng)的應試數(shù)學教育方式，創(chuàng)立“水管式教學法”“磁磚指導法”等新式的數(shù)學教學方法，其數(shù)學著作影響了森重文、森毅、上野健爾、銀林浩、小島寬之等幾代數(shù)學家。他在學術方面造詣很深，著述頗豐，“數(shù)學與生活”系列深受中國讀者好評。

遠山啟在數(shù)學與教育上對“人”的探索，為日本戰(zhàn)后的數(shù)學教育打開了科學化與現(xiàn)代化的窗口。同時，他通過著作留下的理念與思想，源源不斷地賦予當前教育工作者應對新問題的根源性力量，也讓更多的學習者獲得了精神上的自由。

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