10月1日是中國的國慶節(jié)。如果把10月1日記為1001，則國慶節(jié)就與趣味數(shù)學(xué)直接掛鉤了。

先整理一下若干數(shù)的整除性判定，簡單且容易記住的法則是：一個數(shù)的末尾能被2、5整除的，則原數(shù)能被2整除；一個數(shù)的數(shù)字和能被3、9整除的，原數(shù)能被3、9整除；一個數(shù)的末兩位或者末三位能夠被4或者8整除，原數(shù)能被4或者8整除；一個偶數(shù)的數(shù)字和能被6整除，原數(shù)能被6整除。

現(xiàn)在輪到被7整除的判定法則了，1001這個數(shù)將派上用場。

在數(shù)論中，1001是一個具有特殊意義的數(shù)，其因數(shù)分解為 7×11×13。這三個質(zhì)數(shù)兩兩互質(zhì)，使得1001成為它們的最小公倍數(shù)。基于這一特性，數(shù)學(xué)家總結(jié)出一種高效的整除判定法則——三位截斷法，用于快速判斷一個數(shù)是否能被7、11或13整除。

一、1001的數(shù)論性質(zhì)

1. 因數(shù)分解與質(zhì)數(shù)特性

1001的唯一質(zhì)因數(shù)分解為 7×11×13，這三個質(zhì)數(shù)均為奇質(zhì)數(shù)，且互質(zhì)。因此，1001是它們的最小公倍數(shù)，任何能被1001整除的數(shù)必然同時能被7、11、13整除，反之亦然。

2. 模運算中的關(guān)鍵性質(zhì)

由于 103 = 1000 = 1001 - 1，可得：

103 ≡?1(mod7),103 ≡?1(mod11),103 ≡?1(mod13)

這一性質(zhì)是三位截斷法的核心依據(jù)，它表明每三位截斷后的數(shù)與原數(shù)之間存在特定的同余關(guān)系。

二、三位截斷法的原理與推導(dǎo)

1. 法則內(nèi)容

對于任意正整數(shù) N，將其十進制表示從右向左每三位分一組（不足三位補零），設(shè)各組數(shù)值從右到左依次為 b?, b?, b?, ..., b?，則：

若該交替和能被7、11或13整除，則原數(shù)也能被對應(yīng)的數(shù)整除。

2. 數(shù)學(xué)證明

以 N = abcdef（六位數(shù)）為例，其十進制展開為：

利用 103 ≡ -1 mod 7,11,13，可將高階項化簡：

? 103 ≡ -1, 10? ≡ -10, 10? ≡ -102

代入后得：

即：

這表明，原數(shù)可分解為末三位 (def) 與前三位 (abc) 的交替和。

推廣至任意位數(shù)，每三位截斷后的交替和即為模運算的簡化形式。

三、應(yīng)用實例與驗證

1. 基礎(chǔ)驗證

例1：判斷1001的整除性

? 分組：001 | 001 → b?=1, b?=1

? 交替和：1 - 1 = 0

? 結(jié)論：0是7、11、13的公倍數(shù)，故1001能被三者整除。

例2：判斷123456的整除性

? 分組：456 | 123 → b?=456, b?=123

? 交替和：456 - 123 = 333

? 驗證：

? 333 ÷ 7 = 47余4 → 不被7整除

? 333 ÷ 11 = 30余3 → 不被11整除

? 333 ÷ 13 = 25余8 → 不被13整除

2. 復(fù)雜案例

例3：判斷大數(shù)9886419543的整除性

? 分組：543 419 886 009

? 交替和：543 - 419 + 886 - 9 = 1001

? 結(jié)論：1001是7、11、13的公倍數(shù)，故原數(shù)能被三者整除。

例4：判斷隨機數(shù)1234567890123的整除性

? 分組：123 890 567 234 001

? 交替和：123 - 890 + 567-234 + 1 = -433

? 驗證：

-433 不被7整除 ； -433 不被11整除 ；-433 不被13整除

因此原數(shù)不能被7、11和13整除。

四、總結(jié)

三位截斷法通過模運算的同余性質(zhì)，將復(fù)雜的大數(shù)整除問題轉(zhuǎn)化為簡單的分組計算。其核心在于利用 103 ≡ -1 mod 7,11,13 的關(guān)系，將原數(shù)分解為可操作的小組合。該方法不僅適用于7、11、13的判定，還可推廣至其他由質(zhì)因數(shù)組合的數(shù)（如77=7×11、91=7×13等），成為數(shù)論中兼具理論深度與實用價值的工具。

關(guān)鍵要點：

? 1001的質(zhì)因數(shù)分解是三位截斷法的理論基礎(chǔ)。

? 交替和的計算本質(zhì)是模運算的簡化形式。

? 該方法可快速驗證大數(shù)的整除性，避免繁瑣的除法運算。