幾個(gè)方程和函數(shù)單調(diào)性凸凹性等性質(zhì)解析（12）

內(nèi)容目錄：

1.求函數(shù)y=sin(2x+π/3)在[0,2π]上的單調(diào)區(qū)間

2.函數(shù)y=ln(46+40sinx)的單調(diào)凸凹性質(zhì)歸納

3.曲線(xiàn)方程y=e^(3x+4y)的主要性質(zhì)

4.函數(shù)y=ln[(84+x)/(197-x)]的單調(diào)和凸凹區(qū)間

1.求函數(shù)y=sin(2x+π/3)在[0,2π]上的單調(diào)區(qū)間

主要內(nèi)容：

本文根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx的單調(diào)性質(zhì)，求解函數(shù)y=1sin(2x+π/3)在給定區(qū)間[0,2π]上的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間。

詳細(xì)步驟：

解：對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx，

其單調(diào)增區(qū)間為：[2kπ-π/2,2kπ+π/2],

其單調(diào)減區(qū)間為：(2kπ+π/2,2kπ+3π/2)，k∈Z。

對(duì)于本題，y=sin(2x+π/3)，有：

(1)當(dāng)2kπ-π/2≤2x+π/3≤2kπ+π/2時(shí)，

即:2kπ-5π/6≤2x≤2kπ+π/6,

2kπ/2-5π/12≤x≤2kπ/2+π/12，

此時(shí)結(jié)合x(chóng)給定區(qū)間[0,2π]，并對(duì)k取值，求得：

取k=0時(shí)，增區(qū)間為[0，π/12],

取k=1時(shí)，增區(qū)間為[7π/12，17π/12]，

取k=2時(shí)，增區(qū)間為[19π/12，25π/12]，

取k=3時(shí)，增區(qū)間為[31π/12，37π/12]。

(2)當(dāng)2kπ+π/2≤2x+π/3≤2kπ+3π/2時(shí)，

即：2kπ+π/6≤2x≤2kπ+7π/6,

2kπ/2+π/12≤x≤2kπ/2+7π/12，

此時(shí)結(jié)合x(chóng)給定區(qū)間[0,2π]，并對(duì)k取值，求得：

取k=0時(shí)，減區(qū)間為[π/12，7π/12],

取k=1時(shí)，減區(qū)間為[17π/12，19π/12]，

取k=2時(shí)，減區(qū)間為[25π/12，31π/12]，

取k=3時(shí)，減區(qū)間為[37π/12，43π/12]。

2.函數(shù)y=ln(46+40sinx)的單調(diào)凸凹性質(zhì)歸納

主要內(nèi)容：

本文主要介紹三角與對(duì)數(shù)的復(fù)合函數(shù)y=ln(46+40sinx)的定義域、單調(diào)性和凸凹性，并用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凸凹區(qū)間。

※.函數(shù)定義域：

因?yàn)?1≤sinx≤1，

所以-40≤40sinx≤40，則有：

0＜6=46-40≤46+40sinx≤40+46=86，

則函數(shù)y=ln(46+40sinx)的真數(shù)部分為正數(shù)，符合定義要求，所以該函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，即定義域?yàn)椋?-∞，+∞)。

※.函數(shù)單調(diào)性：

由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)求解和判斷。

∵y=ln(46+40sinx)，

∴dy/dx=40cosx/(46+40sinx),

令dy/dx=0,則cosx=0，此時(shí)x=kπ+π/2,k∈Z.

函數(shù)的單調(diào)性為：

(1)當(dāng)cosx＞0,即x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]時(shí)，dy/dx＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；

(2)當(dāng)cosx＜0,即x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]時(shí)，dy/dx＜0，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)。

※.函數(shù)凸凹性：

因?yàn)閐y/dx=bcosx/(46+40sinx)，

所以d^2y/dx^2

=40[-sinx(46+40sinx)-40cosxcosx]/(46+40sinx)^2,

=-40(46sinx+40sin^2x+40cos^2x)/(46+40sinx)^2

=-40(46sinx+40)/(46+40sinx)^2.

(1)當(dāng)-(46sinx+40)≥0時(shí)，即46sinx+40≤0，則：

[2kπ+π+arcsin(20/23),2kπ+2π-arcsin(20/23)],此時(shí)d^2y/dx^2≥0，函數(shù)為凹函數(shù)，該區(qū)間為函數(shù)的凹區(qū)間。

(2)當(dāng)-(46sinx+40)＜0時(shí)，即46sinx+40＞0，則：

[2kπ-arcsin(20/23),2kπ+π+arcsin(20/23)],此時(shí)d^2y/dx^2＜0，函數(shù)為凸函數(shù)，該區(qū)間為函數(shù)的凸區(qū)間。

3.曲線(xiàn)方程y=e^(3x+4y)的主要性質(zhì)

※.曲線(xiàn)方程的定義域

曲線(xiàn)方程表達(dá)式為y=e^(3x+4y),即y>0,且lny=3x+4y，

則：3x=lny-4y.設(shè)3x=F(y)=lny-4y,把y看成自變量，求導(dǎo)得：

F＇(y)=(1/y)-4=(1-4y)/y，令F＇(y)=0，則y=1/4.

當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)＇(y)>0;當(dāng)y>1/4時(shí)，F(xiàn)＇(y)<0.

所以，當(dāng)y=1/4時(shí)，F(xiàn)(y)有最大值，即：

3x=F(y)≤F(y)max=-(1+ln4)

x≤-(1+ln4)/3≈-0.80,

即曲線(xiàn)方程的定義域?yàn)椋?-∞，-0.80]。

※.曲線(xiàn)方程的單調(diào)性

對(duì)方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得：

y=e^(3x+4y)

y＇=e^(3x+4y)(3+4y＇)

y＇=3e^(3x+4y)/[1-4e^(3x+4y)]

即：y＇=3y/(1-4y).

導(dǎo)數(shù)y＇的符號(hào)與(1-4y)的符號(hào)一致。

曲線(xiàn)方程的單調(diào)性為：

(1).當(dāng)y∈(0,1/4]時(shí)，y＇＞0，此時(shí)曲線(xiàn)方程y隨x的增大而增大；

(2).當(dāng)y∈(1/4,+∞）時(shí)，y＇＜0，此時(shí)曲線(xiàn)方程y隨x的增大而減小。

※.曲線(xiàn)方程的凸凹性

∵y＇=-3y/(4y-1)，

∴y＂=-3[y＇(4y-1)-4yy＇]/(4y-1)^2

=-3y＇/(4y-1)^2

=3^2y/(1-4y)^3

則y＂的符號(hào)與(1-4y)的符號(hào)一致。

曲線(xiàn)方程的凸凹區(qū)間為：

(1).當(dāng)y∈(0,1/4]時(shí)，y＂＞0，此時(shí)曲線(xiàn)方程為凹曲線(xiàn);

(2).當(dāng)y∈(1/4,+∞）時(shí)，y＂＜0，此時(shí)曲線(xiàn)方程為凸曲線(xiàn)。

4.函數(shù)y=ln[(84+x)/(197-x)]的單調(diào)和凸凹區(qū)間

主要內(nèi)容：

在函數(shù)的定義域要求的前提下，通過(guò)計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，得函數(shù)的駐點(diǎn)和拐點(diǎn)，進(jìn)而求解函數(shù)y的單調(diào)性和凸凹性。

步驟一：求解定義域

∵(84+x)/(197-x)>0

∴(x+84)(x-197)<0,則：

-84197,即函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

(-84,197)。

步驟二：求解單調(diào)區(qū)間

∵y=ln[(84+x)/(197-x)]

∴dy/dx

=[(197-x)/(84+x)]*[(197-x)-(84+x)*(-1)]/(197-x)2

=281/[(x+84)(197-x)]，結(jié)合定義域，可知dy/dx>0，

即函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)的增區(qū)間為：

(-84,197)。

步驟三：求函數(shù)的凸凹性區(qū)間

∵dy/dx=281/[(x+84)(197-x)],

∴d2y/d2x

=-281*[(197-x)+(x+84)*(-1)]/[(x+84)(197-x)]2

=281(2x-113)/[(x+84)(197-x)]2。

令d2y/d2x=0,則：2x-113=0，得x=113/2。

（1）.當(dāng)x∈[113/2,197)時(shí),d2y/d2x>0,則函數(shù)為凹函數(shù)，該區(qū)間為凹區(qū)間。

（2）.當(dāng)x∈(-84,113/2)時(shí),d2y/d2x<0,則函數(shù)為凸函數(shù)，該區(qū)間為凸區(qū)間。