元超圖、元超超圖與迭代元圖：圖之圖、超圖之超圖、超超圖之超超圖及其擴(kuò)展建模

MetaHyperGraphs, MetaSuperHyperGraphs, and Iterated MetaGraphs: Modeling Graphs of Graphs, Hypergraphs of Hypergraphs, Superhypergraphs of Superhypergraphs, and Beyond

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摘要

圖論研究由頂點(diǎn)和邊組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用于對關(guān)系和連通性進(jìn)行建模 [1, 2]。超圖通過允許超邊同時連接兩個以上的頂點(diǎn)，從而擴(kuò)展了傳統(tǒng)圖 [3]。超超圖通過引入迭代冪集層進(jìn)一步豐富了這一概念，實(shí)現(xiàn)了超邊之間的層級和自指連接 [4, 5]。元圖是一種頂點(diǎn)本身就是圖的圖，其邊表示這些圖之間的特定關(guān)系。在本文中，我們正式定義了元圖的超圖對應(yīng)概念（元超圖）和超超圖對應(yīng)概念（元超超圖），并簡要討論了它們的特性和示例應(yīng)用。我們還引入了迭代構(gòu)造，例如迭代元圖，它表示“圖的圖……的圖”，并簡要探討了它們的性質(zhì)和潛在用途。

關(guān)鍵詞：超超圖，超圖，元超圖，元超超圖，元圖。

1. 預(yù)備知識

   本節(jié)匯總了整篇論文中使用的基本概念。

1.1. 超超圖

圖使用頂點(diǎn)和邊的關(guān)系進(jìn)行建模，表示數(shù)學(xué)、計算機(jī)科學(xué)和網(wǎng)絡(luò)中實(shí)體之間的連接或交互 [1, 2]。超圖通過允許可能連接兩個以上頂點(diǎn)的超邊來擴(kuò)展普通圖，這使得它適合在許多領(lǐng)域?qū)Χ嗦逢P(guān)系進(jìn)行建模 [3, 6–11]。已知的相關(guān)概念包括有向超圖 [12, 13]、軟超圖 [14, 15]、模糊超圖 [16–18] 和中性超圖 [19–23]。

超超圖通過迭代冪集組織頂點(diǎn)和邊來增強(qiáng)這一概念，從而實(shí)現(xiàn)層級和自指連接；參見，例如，[24–28]。除了理論之外，超超圖已在應(yīng)用中得到使用，例如分子和網(wǎng)絡(luò)建模以及信號處理 [29–34]。全文中，第 n 個（非）空冪集中和 n-超超圖中的參數(shù) n 是一個非負(fù)整數(shù)。

1.2. 元圖（圖的圖）

元圖是一種圖，其頂點(diǎn)本身即為圖，且邊表示這些圖之間指定的關(guān)系（參見 [43, 43–47]）。

定義 1.10（元圖（圖的圖））。（參見 [48]）固定一個有限圖的非空全集 G（默認(rèn)為無向、無自環(huán)），以及一個非空的二元關(guān)系族

1. 本文的回顧與結(jié)果

   本節(jié)對本文中所呈現(xiàn)的回顧與結(jié)果提供解釋和討論。

   2.1. 迭代元圖（圖的圖……的圖）

   迭代元圖是一種其頂點(diǎn)為元圖的圖，遞歸地將圖之圖結(jié)構(gòu)擴(kuò)展至多個層次級別。

   定義 2.1（單元元圖嵌入）。對于 X ∈ G，定義單元元圖

示例 2.2（單元元圖嵌入：單個項目作為一個元頂點(diǎn)）?，F(xiàn)實(shí)場景。設(shè) G 為公司內(nèi)部有限有向郵件圖的全集，其中頂點(diǎn)是員工，有向邊 u → v 表示"u 給 v 發(fā)送了一封郵件”。 考慮一個特定項目的內(nèi)部郵件圖

示例 2.9（現(xiàn)實(shí)生活中的迭代元圖：由系所元圖構(gòu)建的大學(xué)）。固定如上所述的系所引用圖上的相同閾值關(guān)系 Rτ。A 大學(xué)有兩個系，具有內(nèi)部論文級別圖。

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1. 結(jié)論

在本文中，我們形式化定義了元圖（MetaGraph）的超圖類比（元超圖，MetaHyperGraph）與超超圖類比（元超超圖，MetaSuperHyperGraph），并簡要討論了它們的特征及示例性應(yīng)用。我們還引入了迭代構(gòu)造，如迭代元圖（Iterated MetaGraph），表示一種"圖的圖……的圖"的結(jié)構(gòu)，并簡要考察了其性質(zhì)與潛在用途。期望未來的工作能夠探索融入以下框架的擴(kuò)展：模糊集（Fuzzy Sets）[49–52]、直覺模糊集（Intuitionistic Fuzzy Sets）[53–55]、超模糊集（HyperFuzzy Sets）[56–58]、猶豫模糊集（Hesitant Fuzzy Sets）[59–62]、圖像模糊集（picture fuzzy sets）[63–65]、 vague 集（Vague Sets）[66–68]、中智集（Neutrosophic Sets）[33, 69–71] 以及植生集（Plithogenic Sets）[72–74]。

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