圖1 正方形內(nèi)接長(zhǎng)方形

上圖是在網(wǎng)上看到的一道幾何題，正方形內(nèi)接一個(gè)長(zhǎng)方形，其中正方形邊長(zhǎng)為10，根據(jù)圖形中正方形與長(zhǎng)方形的位置關(guān)系，求長(zhǎng)方形的面積。這道題，考的是等積代換求面積的掌握程度。熟悉等積代換算法的家長(zhǎng)或?qū)W生，很快給出了如下答案：

這個(gè)答案正確與否，暫且不去討論。

本文要討論的，是這幅圖合理不合理。為了方便討論，在圖中增加兩條線段，圖中，4×1的中心小矩形，由于長(zhǎng)方形斜置產(chǎn)生的。顯然，△EFK≌△HGC，于是得到，AE=HC，AF=GC。

圖2

接著，可以標(biāo)出正方形各部分的長(zhǎng)度，如下圖：

圖3

那么，問題來了，∠FHG=90°嗎？這圖明顯看出來，它不等于90°呀！有網(wǎng)友可能會(huì)說，幾何圖就是示意圖，畫的不準(zhǔn)，你把它當(dāng)做90°做題，就可以了，只要不影響思考問題，又何必較真。我想告訴大家的是，本題不是畫的不準(zhǔn)，這圖神仙也畫不準(zhǔn)，因?yàn)橐粋€(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)接與正方形，根本不存在上圖這種擺放關(guān)系。

接著分析，假如∠FHG=90°，必有∠FHB+∠GHC=90°。若兩角的和等于90°，兩角的正切函數(shù)值的乘積必等于1。咱們來看看這圖的∠FHB與∠GHC正切函數(shù)值的乘積。

顯然，tan（∠FHB）× tan（∠GHC）≠1。所以，按照本題給的數(shù)據(jù)，四邊形EFHG根本就不是長(zhǎng)方形。

下面，再深入一步，討論一下正方形內(nèi)接長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形與正方形的關(guān)系約束。

圖4

作為一般性討論，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，其它線段用a、b表示。當(dāng)∠FHB+∠GHC=90°時(shí)，應(yīng)有

上述方程的解為：（1） a = b ; (2) a+b = L，也就是說，長(zhǎng)方形內(nèi)接于正方形，必須滿足這兩種情況之一。

（1）當(dāng)a=b時(shí)，△AEF和△CGH是等腰直角三角形，圖中心小矩形的邊長(zhǎng)L-2a=L-2b，中心小矩形是正方形。

（2）當(dāng)a +b =L時(shí)，內(nèi)接的綠色長(zhǎng)方形是為正方形，此時(shí)中心小矩形也是正方形。

綜上所述，正方形內(nèi)接長(zhǎng)方形，由于長(zhǎng)方形斜置產(chǎn)生的中心小矩形，只能的正方形，不可能是長(zhǎng)方形。

所以，圖1中，中心小矩形邊長(zhǎng)分別是1和4，是不可能的。

后記：怎么會(huì)想起來討論這個(gè)問題，有什么意義呢？起因是，在拿這道題給孩子講解時(shí)，發(fā)現(xiàn)圖真的太不像長(zhǎng)方形了，就打算重新繪制一圖，但發(fā)現(xiàn)無論怎么擺都不能按原題數(shù)據(jù)畫出理想的圖形。就開始懷疑，是不是數(shù)據(jù)有問題，深入思考下，發(fā)現(xiàn)真是數(shù)據(jù)有問題。干脆，從理論上分析一下。

結(jié)論有什么用呢？純屬興趣使然，不求有什么用。當(dāng)然，在網(wǎng)上發(fā)題時(shí)，注意一下，別發(fā)這種數(shù)據(jù)與圖形不恰的題，對(duì)發(fā)題者，也是善意提示。

也許，很多網(wǎng)友早就發(fā)現(xiàn)了此問題，我或多此一舉了。