作者：孟子楊

本文選自《物理》2021年第3期

1 引 子

秋褲者，勤勞勇敢的中國人民御寒保腿溫之神器也。從塞外北國到中原大地，從江南水鄉(xiāng)及至嶺南熱土(沒暖氣)，每當神州各地秋風(fēng)乍起涼意漸濃的時候，媽媽總會關(guān)切地問一句“你穿秋褲了嗎？”不論在北風(fēng)呼嘯大雪飄飄的北方，還是在陰冷潮濕室內(nèi)室外同此涼熱的南方，一條秋褲不僅讓溫度從腿部一直蔓延到心里，更喚起了你內(nèi)心中一種依戀的情節(jié)，告訴你時代再變再內(nèi)卷再996，國際形勢再復(fù)雜再詭譎再亡我之心不死，我們漂泊的人生中總有一些不變的東西，家一樣的東西，每年按時來到，讓你安心，保你平安。這就是規(guī)律性和規(guī)律性給人帶來的慰藉。

雖然穿不穿秋褲的爭論仍在全球化的大潮中此起彼伏，但秋褲的存在，的確揭示了我們生活中的一個普遍現(xiàn)象，呼喚著我們心中的一種普遍心理。這樣反映普遍規(guī)律的事物，愿意思考的人都喜歡琢磨一下。雖然他們中很多人并不見得會穿秋褲，比如筆者，但喜歡是真的。

科學(xué)研究當然也是揭示規(guī)律性的活動，從事這個行業(yè)的，也頗有一些愿意思考的人。有趣的是，在筆者熟悉的量子多體系統(tǒng)的研究中，竟也存在一個和秋褲頗為相像的事物，揭示出量子多體系統(tǒng)中無處不在的量子糾纏這樣深刻的道理，讓科研從業(yè)者中愿意思考的人安心，忘卻身邊的種種不順遂，進入“此中有真意”的境界而更加起勁地探索其中的奧妙。他們發(fā)現(xiàn)通過秋褲的視角可以揭示量子多體系統(tǒng)從朗道—金茲堡對稱性自發(fā)破缺，到量子相變，再到拓撲序長程糾纏和范疇對稱性等等奇異的現(xiàn)象，秋褲之功善莫大焉。

這聽起來好像有點離奇，待我為君細細道來。

2 量子糾纏

量子糾纏是一個深刻的概念，其全面的外延與內(nèi)涵，當然不是這篇小文可以承擔(dān)的。但是僅就在凝聚態(tài)物理學(xué)量子多體問題的研究中，人們逐漸認識到，量子糾纏的重要性體現(xiàn)在對其的測量能夠反映量子多體系統(tǒng)的規(guī)律性——尤其是這樣的規(guī)律性無法從常規(guī)測量中得到時——以至于在許多新奇量子物質(zhì)形態(tài)的探索中，糾纏成了一錘定音的判據(jù)。

那么糾纏作為一個概念，怎樣在量子多體系統(tǒng)的計算中進行量化呢？這就是糾纏熵。為了計算糾纏熵，需要定義約化密度矩陣(reduced density matrix)。如圖1所示的一個量子多體系統(tǒng)，我們將其分為A 和B 兩個子系統(tǒng)(也可以記為A 與其補集)，那么就子系統(tǒng)A 而言的約化密度矩陣就是將系統(tǒng)波函數(shù)中屬于B 的自由度積分掉，寫成公式就是

然后隨之而來的糾纏熵(此處主要介紹雷尼(Renyi)熵)就是

其中 q 是一個整數(shù)。q → 1 的極限就給出了馮·諾依曼熵，而在量子蒙特卡洛的晶格計算中，人們常常計算 q = 2 的Renyi熵。對于空間維度 d = 1 的量子多體系統(tǒng)，糾纏熵在量子場論的理論框架之下，以及密度矩陣重正化群(density- matrix renormalization group，DMRG)的嚴格數(shù)值計算之中，目前人們已經(jīng)獲得了十分深入近乎完善的理解。比如對于 s =1/2 海森伯模型的自旋鏈，假設(shè)鏈長為L，而其中的子系統(tǒng)A長為lA，其 q = 2 的Renyi熵就是

其中的常數(shù)c就是系統(tǒng)的中心荷(central charge)，是一個普適量(universal constant)(對于 s = 1/2 海森伯自旋鏈 c = 1)，而b是一個非普適量。這方面的文獻已然汗牛充棟，比如文獻[1]，筆者也不贅述了?？傊m纏熵的計算在1維的量子多體系統(tǒng)中是如此多見，以至于眼下做DMRG計算的人，在進行量子多體計算時，第一個要看的就是糾纏熵如何，“糾纏熵怎么樣？”，“糾纏熵大不大？”，“糾纏熵和D怎么標定？”這樣的話，在DMRG從業(yè)人員的日常交流中，已經(jīng)平常到“你吃了嗎？”，“你家孩子幾歲了？”，“今天天氣，哈哈哈……”這樣的見面寒暄用語的程度了。

不過在這篇文章里，出于筆者個人的行業(yè)積習(xí)，我們談?wù)劶m纏熵在空間維度 d = 2 的量子多體系統(tǒng)中，如何通過蒙特卡洛計算得到，以及得到的結(jié)果反映了什么普適規(guī)律。當然，最重要的是，糾纏熵與秋褲到底是什么關(guān)系。

圖1 空間維度為d 的量子多體系統(tǒng)，可以分為A，B 兩個子系統(tǒng)，計算其糾纏熵。A 和B的交界，記為 lA ，就是下文中所說的面積律里面的面積。 注意此處的面積是指A 和B 交界的面積，即d-1維度面積，對于d 維來說，lA是A 和B 交界的周長

3 秋褲的算法

其實糾纏熵之所以能夠在DMRG這類計算中生根發(fā)芽，主要是因為這些計算可以得到量子多體系統(tǒng)的波函數(shù)(起碼是波函數(shù)很高程度的近似)，有了波函數(shù)，自然可以套用上面所說的公式，直接計算系統(tǒng)的約化密度矩陣和糾纏熵。但是對于空間維度 d = 2 和更加高維的晶格系統(tǒng)，如正方、三角、Kagome等晶格的Hubbard模型和海森伯模型等等，面對系統(tǒng)中自由度指數(shù)增加的問題(常常也稱為“指數(shù)墻”問題)，此時還想要普遍性地寫出系統(tǒng)的波函數(shù)，就勉為其難了。取而代之的，是通過統(tǒng)計物理的方法，在 d+z 維度的相空間中(d 為系統(tǒng)的空間維度，z 為系統(tǒng)的“時間”維度，其實z 有一個學(xué)名，叫做動力學(xué)臨界指數(shù)，在我們討論的問題里，很多時候 z = 1，也就是大家常常聽到的那句其實是有錯誤的話“量子系統(tǒng)就是d+1維的經(jīng)典系統(tǒng)”的由來)，進行滿足系統(tǒng)統(tǒng)計規(guī)律的蒙特卡洛抽樣，才有可能以代數(shù)增長的計算復(fù)雜度，克服指數(shù)增長的物理問題自由度，獲得對于量子多體系統(tǒng)的嚴格結(jié)論。

那么問題就來了，既然量子蒙特卡洛是解決 d = 2 的量子多體系統(tǒng)的不二法門，怎么用蒙特卡洛的方法計算糾纏熵呢？辦法自然是有的，這就是秋褲登場的地方。不過我們還是以 d = 1 ，z = 1 的量子多體系統(tǒng)為例(比如上文中的 s = 1/2 海森伯自旋鏈)來說明秋褲的算法吧，如圖2所示(此處當然也可以畫一個空間維度 d = 2 的晶格，不過那樣卷成的秋褲就太后現(xiàn)代了，還是一維比較清楚)，長度為L，溫度為T (“時間”長度 β = 1/T )的量子多體系統(tǒng)的配分函數(shù)，可以用圖2分母中的一個長為L 的圓筒表示，圓筒的周長就是系統(tǒng)的時間維度β，之所以卷起來是周期性邊界條件的意思。如此系統(tǒng)的配分函數(shù)和種種物理可觀測量，其蒙特卡洛計算自然是不在話下[2]。問題是糾纏熵需要把系統(tǒng)兩分(bipartition，當然實際計算中可能不止兩分而是多分)為子系統(tǒng)A和其補集，就是。然后刻畫系統(tǒng)內(nèi)子系統(tǒng)之間的糾纏。

圖2 d =1，z =1的量子多體系統(tǒng)，2階Renyi糾纏熵S2(A )的秋褲表示。系統(tǒng)本身的配分函數(shù)Z就是一個長為L 的圓筒，筒的周長是β?，F(xiàn)在為了計算糾纏熵，需要把Z 平方一下，就是ln里面分母中的，其中的?是空集的意思，就是系統(tǒng)不兩分，子系統(tǒng)A 為空集。而ln里面分子上的，就是我們所說的秋褲構(gòu)型或者秋褲配分函數(shù)。這個配分函數(shù)的褲襠就是子系統(tǒng)A，具有時間周期2β；褲腿就是A 的補集，，時間周期為β 。2階Renyi糾纏熵

其實通過簡單的推導(dǎo)(比如在文獻[1]中)，如是的以約化密度矩陣寫出的糾纏熵：

可以轉(zhuǎn)化為用配分函數(shù)寫成

其中 q = 2 就是圖2所示的，我們關(guān)心的2階Renyi糾纏熵， ，而ln里面分母上的，就是系統(tǒng)不兩分時配分函數(shù)的平方(此時子系統(tǒng)A為空集?)。ln里面分子上的，就是我們喜歡的秋褲構(gòu)型的配分函數(shù)。其中褲襠部分的空間維度就是子系統(tǒng)A，其時間上的周期為2β；褲腿部分的A的補集，其時間周期為β。因為我們此處討論的是2階Renyi糾纏熵，所以秋褲有兩條腿。如果是3階、4階的話，那就會有3條、4條腿甚至更加復(fù)雜聯(lián)通的秋褲了，是給外星生物穿的了。

圖2中描述的，就是這樣的一個2階Renyi糾纏熵的秋褲表示。一旦可以寫出配分函數(shù)，不管其形狀多么奇怪，后面的蒙特卡洛抽樣等等就有章可循了。重要的是有秋褲這樣一個清晰的意象。當然算法的發(fā)展，也經(jīng)歷了頗為曲折的過程，而且還在不斷優(yōu)化之中，從最早的、略顯尷尬的在蒙特卡洛中硬要DMRG上身的Swap算符[3]，到后來的運用非平衡抽樣的手段，優(yōu)化配分函數(shù)比例的統(tǒng)計質(zhì)量[4]等等，更加簡便和魯棒的計算竅門，正在不斷向前推進。但是正是拜秋褲的意象所賜，蒙特卡洛從業(yè)人員可以從配分函數(shù)入手計算糾纏熵(其實也不止糾纏熵了，而是以其為代表的廣泛的非局域測量方法，如威爾遜環(huán)(Wilson loop)， 無 序 算 符 (disorder operator)等等，后文會有提及)，這樣的視角在技術(shù)上對蒙特卡洛從業(yè)人員來說，比糾結(jié)于波函數(shù)的方法更加可親，也更容易在不同的模型中程序?qū)崿F(xiàn)?？梢韵胍娫诓痪玫膶?，隨著計算方法的普及，量子蒙特卡洛的從業(yè)人員討論起糾纏熵的時候，也可以像我們的 DMRG同行那樣稀松平常，“今天天氣，哈哈哈……”了。

4 秋褲的應(yīng)用

有了通過秋褲配分函數(shù)計算Renyi糾纏熵的方法，我們就可以談?wù)劶m纏熵作為物理可觀測量，在量子多體問題中揭示了什么普遍性的規(guī)律。其實很多讀者都聽說過糾纏熵要滿足面積律(area law)，就是說

其中 lA 就是上文提到的子系統(tǒng)的邊界，也就是d - 1維度的面積?？梢娂m纏熵和被分開的子系統(tǒng)之間交界的面積成正比，這是對于糾纏熵的leading貢獻，是十分自然的結(jié)果。但是其實人們真正關(guān)心的，是上面公式中的省略號 ， 也就是糾纏熵中sub-leading的貢獻，正是這里深藏著量子多體系統(tǒng)中的種種奧秘。

當然這方面的討論也非常多，比如可以參見綜述文獻[5]，筆者在此仍是從個人的行業(yè)積習(xí)出發(fā)，略論糾纏熵在 d = 2 的量子多體系統(tǒng)中如下幾個方面的應(yīng)用。

4.1 對稱性破缺系統(tǒng)中的應(yīng)用

眾所周知，作為量子多體理論的核心支柱之一，朗道—金茲堡—威爾遜理論框架，通過對系統(tǒng)序參量的對稱性和對稱性自發(fā)破缺過程的刻畫，成功地描述了大量凝聚態(tài)物理學(xué)中的物質(zhì)的相與相變。比如超導(dǎo)體、超流體、量子磁體等等。在對稱性，尤其是連續(xù)對稱性發(fā)生自發(fā)破缺之后，系統(tǒng)除了進入如是的超導(dǎo)、超流、反鐵磁相之外，還有伴隨著序參量出現(xiàn)的無能隙的激發(fā)模式，所謂戈德斯通模(Goldstone mode)，這些模式告訴人們在連續(xù)對稱性自發(fā)破缺的系統(tǒng)中，應(yīng)該有的低能準粒子譜。這樣的譜，就是如中子散射、核磁共振等現(xiàn)代譜學(xué)手段研究量子磁性、常規(guī)和非常規(guī)超導(dǎo)體等等系統(tǒng)的理論依據(jù)[2]。

那么糾纏熵在這樣的系統(tǒng)中，如何應(yīng)用呢？秘密還是藏在那個省略號之中。原來對于連續(xù)對稱性自發(fā)破缺的系統(tǒng)，其糾纏熵滿足這樣一個形式：

此處的省略號…化身成為一個ln 修正項與一個常數(shù)，而ln修正項前面的系數(shù)Ng，不是別人，正是Goldstone模式的數(shù)目[6]。這是一個很有意思的結(jié)果，它告訴人們當對稱性發(fā)生自發(fā)破缺之后，系統(tǒng)內(nèi)部的量子糾纏其實是與系統(tǒng)中存在的激發(fā)模式的數(shù)目有關(guān)系。

圖3 d =2 維正方晶格反鐵磁海森伯模型2 階Renyi 糾纏熵的量子蒙特卡洛計算結(jié)果。系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)如右下插圖所示，子系統(tǒng)A 與其補集之間的邊界長度就是l A =L 。擬合計算所得的結(jié)果，得到糾纏熵中l(wèi)n 修正項的系數(shù)收斂到 Ng =2 的平臺，這正是反鐵磁的Néel態(tài)中應(yīng)該具有的Goldstone mode數(shù)目 (此圖為趙家瑞同學(xué)學(xué)習(xí)秋褲糾纏的習(xí)作)

圖3 所示的就是2 維正方晶格反鐵磁海森伯模型中2 階Renyi 熵的量子蒙特卡洛計算結(jié)果。此處為了不引入子系統(tǒng)角落(corner)的貢獻，我們將幾何結(jié)構(gòu)為L × L/2 的系統(tǒng)在面包圈上分為兩節(jié)，如圖3 中的右下插圖所示， A 與其補集 之間的邊界，然后用秋褲的算法，計算了不同長度L =16, 32, 48, 64?之下的系統(tǒng)的糾纏熵。再對得到的數(shù)據(jù)進行按照上面公式的擬合，可以看到，當L 大于16 之后，數(shù)據(jù)已經(jīng)可以很好地用如上公式擬合了，并且得到了ln 修正前面的系數(shù)，穩(wěn)步地收斂到Ng =2 的平臺，而對于具有SU(2)自旋旋轉(zhuǎn)對稱性的反鐵磁海森伯模型，其奈爾(Néel)態(tài)中的自旋波(Goldstone mode)的數(shù)目，就是2。秋褲糾纏，誠不我欺也！

4.2 量子臨界現(xiàn)象中的應(yīng)用

下面再說說秋褲在空間維度d = 2 的量子臨界現(xiàn)象研究中的應(yīng)用。我們討論d = 2，動力學(xué)臨界指數(shù)z =1 的量子臨界點。比如上文所說的反鐵磁Néel 態(tài)到順磁態(tài)的相變(對于2 維正方晶格，這樣的相變應(yīng)該發(fā)生在零溫)，比如2 維橫場伊辛(Ising)模型在零溫時從Ising 態(tài)到被橫場極化態(tài)的相變等等。

在這些量子相變點上，如果子系統(tǒng)A 與其補集的交界具有如圖4所示的4 個90°的棱角，那么此時的糾纏熵滿足如下公式：

也是面積律leading 項， ln 修正項再加一個常數(shù)。此處有趣的是，面積律的系數(shù)a1，當橫場h 向相變點hc調(diào)節(jié)時，滿足的冪指數(shù)行為，而此處的ν 就是量子相變點的關(guān)聯(lián)長度指數(shù)(比如d = 2，z = 1 的橫場Ising 模型，ν =0.63)。而在相變點上得到的ln修正的系數(shù)，就是4 倍的角落貢獻。每個角落的貢獻，又可以從系統(tǒng)對應(yīng)的高斯不動點上做嚴格的解析計算，計算所得的每個角落的貢獻是，所以此式中的。

圖4 此處子系統(tǒng)A 為正方晶格中的一個藍色方塊，這樣A與其補集之間就具有了四個呈直角的角落。當如此的正方晶格的橫場Ising 模型發(fā)生量子相變時，糾纏熵中面積律leading項的系數(shù)具有普適的形式，體現(xiàn)了量子相變的關(guān)聯(lián)長度指數(shù)。sub-leading項的貢獻也具有普適的ln 形式，ln 前面的系數(shù)可以通過解析與數(shù)值配合計算得到，見文獻[7]

這樣的結(jié)果都被量子蒙特卡洛模擬所證實。在文獻[7]中，我們計算了如是的橫場Ising 的無序算符。此處請允許筆者再放飛一下，簡介何謂無序算符，以及這個算符和糾纏熵的關(guān)系。

無序算符是一種新的非局域關(guān)聯(lián)函數(shù)，它是設(shè)計來探測一種更加廣義的對稱性——高型對稱(higher-form symmetry)或者范疇對稱性(categorical symmetry)——及其破缺和臨界點上的標度行為的。而高型對稱或者范疇對稱性之所以被提出，背后的動機是想在一個統(tǒng)一的框架之下，把滿足朗道—金茲堡框架的物質(zhì)形態(tài)和滿足長程量子糾纏的拓撲序物質(zhì)形態(tài)完整地進行描述[8—11]，嘗試建立起一個新的理論體系。這方面的研究剛剛開始，所牽涉的知識也遠遠地超出了本文的范圍。但是可以講的是無序算符探測的就是1-form symmetry 及其破缺，而傳統(tǒng)的朗道—金茲堡框架下的序參量探測的就是0-form symmetry及其破缺。通過對無序算符進行量子蒙特卡洛計算和量子場論的解析分析，已經(jīng)在d = 2，z = 1 的Ising量子臨界點[7,12]， XY 量子臨界點[13,14]上取得確定性的結(jié)果。

無序算符其實與糾纏熵都是非局域的關(guān)聯(lián)函數(shù)，在此處討論的2+1 Ising量子臨界點上，它其實就是圖4 中的子系統(tǒng)A 所有的自旋算符的連乘(模型中的Ising 相互作用項是)，即，更有意思的是，可以證明在如是相變的高斯不動點上，2 階Renyi 糾纏熵就是，所以通過無序算符的蒙特卡洛測量(此處為等時測量，比糾纏熵的秋褲配分函數(shù)更加容易計算)就可以直接得到2 階Renyi糾纏熵。

圖5 是通過無序算符計算得到的糾纏熵結(jié)果。其中圖5(a)是面積律系數(shù)的行為，可以看到在雙對數(shù)坐標下，當橫場逐漸靠近hc =3.044時， 確實滿足冪指數(shù)函數(shù)形式，而且其冪次就是圖中的紅線ν =0.63 。圖5(b)是在相變點hc =3.044 上擬合無序算符的面積律+ln+常數(shù)的函數(shù)形式，通過擬合不同的系統(tǒng)尺寸，我們得到了如下結(jié)果：

其中的ln 修正前面的系數(shù)，在誤差之內(nèi)0.026(5)與高斯不動點上的計算在誤差范圍內(nèi)吻合。這些在d = 2，z = 1 的Ising 量子相變點上的結(jié)果，又是一個秋褲糾纏熵于微末處揭示量子相變本質(zhì)內(nèi)容的成功案例。

圖5 (a)2 階Renyi 糾纏熵(其實是無序算符)面積律系數(shù)隨著h 向相變點hc靠近，呈現(xiàn)冪指數(shù)的行為， 在雙對數(shù)坐標下為直線，其斜率即為冪律，圖中紅線為用2+1 Ising 相變關(guān)聯(lián)長度指數(shù)ν =0.63 所畫的示意線，與數(shù)據(jù)高度吻合；(b)2 階Renyi糾纏熵(其實是無序算符)在量子相變點上的數(shù)據(jù)擬合，按照文中的公式，可以得到ln修正項前面的系數(shù)，與高斯不動點解析計算預(yù)期吻合[7]

5 且待秋褲的來日

行文至此，我們討論了糾纏熵面積律的物理意義，討論了糾纏熵ln 修正項所包含的物理意義，其實糾纏熵最后那個常數(shù)包含的也許是更加深刻的物理意義，尤其在傳統(tǒng)的量子多體局域測量無能為力的地方。比如在超越朗道—金茲堡—威爾遜框架的，具有真正長程量子糾纏的拓撲序系統(tǒng)中，糾纏熵中最后的常數(shù)，其實告訴人們?nèi)缡峭負湫虻娜我庾咏y(tǒng)計的具體性質(zhì)，這方面的量子蒙特卡洛計算與其他多體計算，比如對于晶格模型量子自旋液體種類的判斷，正是領(lǐng)域發(fā)展的前沿。可見一條秋褲，寄托了人們多少深刻的情愫啊。這方面的內(nèi)容，篇幅所限，我們且待來日吧。

要之，量子多體的潮流浩浩蕩蕩，順之者 x, 逆之者 xx。秋褲的計算初看并不起眼，但是卻能夠從微末中發(fā)掘出量子多體系統(tǒng)獨有的糾纏特性，從對稱性破缺到量子相變再到拓撲序等等，超越了長期以來人們所習(xí)以為常的測量方式，打開了許多新的方向：如其在拓撲序系統(tǒng)中的應(yīng)用，還有與無序算符這樣嘗試統(tǒng)一朗道—金茲堡和拓撲序的范疇對稱性非局域測量方法的互動等等。這些規(guī)律性的內(nèi)容都值得愿意思考的人們反復(fù)琢磨、體會和發(fā)掘，全身心地投身于其中，新的發(fā)現(xiàn)是可以預(yù)期的。最后開個玩笑，套一句一百年前的宣傳語收束此篇，那就是我們有理由相信：“試看將來的量子多體糾纏，必是秋褲的世界?！?/p>

參考文獻

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書名：量子多體中的吶喊與彷徨：量子物質(zhì)科學(xué)前沿淺談

?♂? 作者：卡洛

內(nèi)容簡介

本書介紹了凝聚態(tài)物理學(xué)量子多體問題研究中的新現(xiàn)象和新結(jié)果，結(jié)合解析理論與數(shù)值計算的進展，闡述了現(xiàn)代量子物質(zhì)科學(xué)研究的發(fā)展現(xiàn)狀。本書涵蓋的科學(xué)內(nèi)容包括去禁閉量子臨界現(xiàn)象、非費米液體的模型設(shè)計與數(shù)據(jù)分析方法、量子磁性材料計算與實驗數(shù)據(jù)解讀、關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)量子糾纏算法的新進展，以及量子摩爾材料模型設(shè)計和計算、拓撲序臨界現(xiàn)象、凝聚態(tài)物理計算、高能物理與受限量子多體系統(tǒng)結(jié)合的新發(fā)展等。本書通過10余篇深入淺出的科普美文，向讀者展現(xiàn)了量子多體物理學(xué)研究從興趣、想法逐步落實到理論、計算和實驗發(fā)現(xiàn)的過程。本書適合對科學(xué)與人文創(chuàng)造性活動、凝聚態(tài)物理學(xué)史和量子物質(zhì)科學(xué)前沿進展感興趣的讀者閱讀。