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本文圍繞Sarvadaman Chowla（薩瓦達馬南·喬拉）在1965年提出的余弦和最小值問題展開。該問題屬于傅里葉分析領域，核心是探究由N個整數(shù)構成的集合所對應的余弦波之和能達到的最小值的更精細的上界。

數(shù)十年來，數(shù)學家們用傳統(tǒng)傅里葉分析方法研究該問題，進展十分緩慢。2004 年伊姆雷·魯扎（Imre Ruzsa）給出的邊界結果與 Chowla 的猜想存在巨大差距。

2025年夏，金之涵（Zhihan Jin，ETH蘇黎世聯(lián)邦理工學院）、阿萊克薩·米洛耶維奇（Aleksa Milojevi?）、伊斯特萬·托蒙（István Tomon）和張盛桐（Shengtong Zhang，斯坦福大學博士生攻讀）四位學者在研究圖論中的最大切割（MaxCut）問題（其通用方法屬于NP難問題）時，意外發(fā)現(xiàn)該問題與Chowla余弦問題的關聯(lián)。

在Ilya Shkredov的提示下，四人借助Cayley圖（凱萊圖）的特性，將余弦和最小值問題轉化為圖的特征值分析問題，最終得出新的上界結果。

此后，Benjamin Bedert用傳統(tǒng)傅里葉分析方法進一步優(yōu)化了該上界（更接近于Chowla的猜想）。

圖源：Samuel Velasco / Michael Kanyongolo / Quanta Magazine

1. 原文大意

1950 年代初，喬拉（Sarvadaman Chowla，1907—1995）和他的數(shù)論同事內(nèi)史密斯·安克尼（Nesmith Ankeny）希望利用傅里葉變換更好地理解數(shù)字集合中的模式。

考慮由數(shù)字 2、3 和 8 組成的集合。首先，用集合中的每個數(shù)字定義一個余弦波——例如，2 對應 cos(2x)。然后，將所有余弦波相加，得到 cos(2x) + cos(3x) + cos(8x)。

上圖各種余弦波花在一張圖中，最底下的波為三種余弦波疊加。

為便于區(qū)分開，對函數(shù)值（表達式見圖左側）做了適當上下偏移

圖釋：譯者

這其實就是將原始集合寫成傅里葉級數(shù)的另一種方式。這個級數(shù)結構非常清晰：所有波都是余弦波，并且由于所有余弦波前面都沒有數(shù)字，所以它們的波長相同?！斑@是你能得到的最簡單的傅里葉級數(shù)，”劍橋大學的本杰明·貝德特說，“而且總的來說，我們對傅里葉級數(shù)已經(jīng)相當了解了。”

由 cos(2x) + cos(3x) + cos(8x) 定義的新波峰和波谷揭示了原始數(shù)集的一些有趣性質。因此，安克尼和喬拉試圖檢驗他們對這類數(shù)列的理解程度。他們想知道：對于任意 N 個整數(shù)，該數(shù)列的和的最小值是多少？

很容易計算出和的最大值。當 x 為零時，任何余弦波的最大值都是 1。因此，三個余弦波的和為 1 + 1 + 1，即 3。類似地，1000 萬個余弦波的和的最大值也是 1000 萬。對于任意 N 個整數(shù)的集合，最大值就是 N。

然而，理解余弦和的最小值卻出乎意料地困難。雖然不同的波至少會同時達到最大值一次（當 x 為零時），但最小值并非如此。或許不同波的最低點仍然會足夠接近，從而產(chǎn)生一個非常小的和。又或許這些波會相互干擾，使得和不可能變得太小。

1952 年，安克尼和喬拉猜想，隨著原集合中整數(shù)個數(shù)的增加，最大值會越來越大，而最小值則會越來越小。幾年后，這一猜想得到了證明——這促使喬拉在 1965 年進一步探究這個問題。他想知道隨著 N 的增長，最小值究竟下降得有多快。

他知道一些 N 個整數(shù)的集合，它們的余弦和的最小值在 ?√N 附近。他能想到的所有其他集合的最小值都更低，這使他猜想，對于任何 N 個正整數(shù)的集合，相應的余弦和的最小值必定小于?√N 。

在接下來的幾十年里，一些數(shù)學家致力于解決這個問題。但到了 21 世紀初，他們所能證明的結果與喬拉的預測之間仍然存在巨大差距。根據(jù)匈牙利阿爾弗雷德·雷尼數(shù)學研究所的伊姆雷·魯扎（Imre Ruzsa）在 2004 年證明的最新界限，102? （也就是 1 后面跟著 20 個零，大約相當于一立方英寸空氣中的分子數(shù)）個余弦之和——其最小值必須小于大約-7。相比之下，喬拉預測的最小值必須小于-101?。

然而，在過去的 20 年里，Ruzsa 的研究成果代表了 Chowla 余弦問題研究的最高成就。

然后，一項完全無關的研究項目最終突破了這一障礙。

金之涵（左）、阿萊克薩·米洛耶維奇（右上）和伊斯特萬·托蒙（右下）

圖源：Zhihan Jin; Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach; Livia Tomon-Horvath

2025年夏，金之涵（Zhihan Jin，ETH蘇黎世聯(lián)邦理工學院）、阿萊克薩·米洛耶維奇（Aleksa Milojevi?）、伊斯特萬·托蒙（István Tomon）和張盛桐（Shengtong Zhang，斯坦福大學博士生攻讀）四位學者在研究圖論中的MaxCut（最大切割）問題（其通用方法屬于NP難問題）時，意外發(fā)現(xiàn)該問題與Chowla余弦問題的關聯(lián)。

圖源：Mark Belan / Samuel Velasco / Quanta Magazine

在Ilya Shkredov的提示下，四人借助Cayley圖（凱萊圖）的特性，將余弦和最小值問題轉化為圖的特征值分析問題，最終得出新的邊界結果。

凱萊圖（Cayley圖），是由節(jié)點和邊組成的網(wǎng)絡，可用于提供關于數(shù)集的重要信息。例如，假設你想研究集合{2,3,8}，下圖給出3個步驟，得到一個凱萊圖。

圖的特征值（eigenvalue）提供了有關圖結構的信息。例如，最大特征值表示圖中的邊數(shù)；第二大特征值衡量圖的連通性。金之涵、Milojevi?、Tomon 和張盛桐重點研究了負特征值，并在此基礎上開展了一項近期研究，該研究將負特征值與圖的最大割聯(lián)系起來。他們對這些特征值的分析最終使他們能夠證明其新發(fā)現(xiàn)。

https://arxiv.org/abs/2509.03490

張盛桐在著名的“最大切割”問題上取得了重大進展，這是一個關于圖的基本問題，有很多實際應用。

圖源：Wanqi Zhu

此后，Benjamin Bedert用傳統(tǒng)傅里葉分析方法進一步優(yōu)化了該邊界。

https://arxiv.org/abs/2509.05260

Benjamin Bedert

圖源：Romana Meereis

2. 核心數(shù)學思想

2.1 傅里葉級數(shù)與余弦和：

任意N個整數(shù)的集合可對應一個余弦波之和，該和的最大值為N（令x=0，各余弦函數(shù)值都為1，此時余弦和為N），最小值的上界是Chowla問題的核心。Chowla猜想最小值上界為-√N。

2.2 圖論與Cayley圖的橋梁作用：

Cayley圖可由整數(shù)集合構造，圖中節(jié)點差值屬于原集合時，節(jié)點相連。Cayley圖的最小特征值與余弦和的最小值一一對應。

2.3 MaxCut問題與特征值分析：

研究無團圖的MaxCut問題時，團隊發(fā)現(xiàn)圖的最小特征值與團結構相關。若圖無小特征值，則必然存在大團，利用這一矛盾可推導Cayley圖的最小特征值必須很小。

團（clique）——彼此相連的節(jié)點簇

一組相互連接的節(jié)點構成一個團。圖中有一個五節(jié)點團，以紅色突出顯示。

2.4 反證法的應用：

假設Cayley圖無小特征值，則會推導出圖中存在大量團，這與Cayley圖的邊數(shù)限制矛盾，從而證明最小特征值足夠小，對應余弦和的最小值更小的上界。

3. 主要創(chuàng)新點

3.1 跨領域的問題轉化：

打破傅里葉分析與圖論的壁壘，將數(shù)十年未解的傅里葉問題轉化為圖的特征值和團結構分析問題，為同類問題提供了新的解決思路。

動畫：Samuel Velasco / Michael Kanyongolo / Quanta Magazine

3.2 全新的技術路徑：

摒棄傳統(tǒng)傅里葉分析方法，借助Cayley圖的經(jīng)典關聯(lián)和MaxCut問題的研究成果，用組合數(shù)學和圖論工具攻克數(shù)論難題。

3.3 具有冪次形式的邊界結果：

團隊首次證明余弦和最小值上界為-N^{1/10}，Benjamin Bedert進一步優(yōu)化為-N^{1/7}。這兩個結果均為N的冪次形式，與Chowla猜想的形式（-√N=-N^{1/2}）形式一致，而此前Ruzsa的結果不具備該形式。

4. 待解決問題和未來科研攻關方向

a) 待解決問題

a.1 逼近Chowla的原始猜想：

當前最好的邊界結果是-N^{1/7}，與Chowla猜想的-√N仍有較大差距，需要進一步縮小這一鴻溝。

a.2 統(tǒng)一兩種方法的優(yōu)勢：

圖論方法和傳統(tǒng)傅里葉分析方法均取得突破，尚未找到將兩種方法結合以獲得更強結果的路徑。

a.3 Cayley圖性質的深度挖掘：

目前僅利用了Cayley圖的部分特征，對于Cayley圖的團結構、特征值分布與整數(shù)集合性質的深層關聯(lián)，仍需更系統(tǒng)的研究。

b) 未來科研攻關方向

b.1 拓展圖論與傅里葉分析的關聯(lián)：

探索MaxCut問題、Cayley圖與其他傅里葉分析問題的普適性聯(lián)系，建立更通用的跨領域研究框架。

b.2 優(yōu)化特征值分析技術：

針對無團圖的特征值上下界，開發(fā)更精細的分析工具，提升對Cayley圖最小特征值的估計精度。

b.3 探索問題的推廣場景：

將該研究思路應用于更復雜的傅里葉級數(shù)問題，或拓展到數(shù)論、組合數(shù)學中的其他類似極值問題。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/networks-hold-the-key-to-a-decades-old-problem-about-waves-20260128/

https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society-new-series/volume-58/issue-3/The-Riemann-zeta-and-allied-functions/bams/1183517085.full

https://scispace.com/pdf/on-the-cosine-problem-1tccl30nnb.pdf

https://eudml.org/doc/278427

https://homepage.cs.uiowa.edu/~tinelli/classes/AR-group/readingsS04/MaxCutQE_Draft.pdf

https://arxiv.org/abs/2507.10037

https://arxiv.org/abs/2507.13298

https://arxiv.org/abs/2509.03490

https://www.jstor.org/stable/2369306?seq=1

https://akjournals.com/view/journals/10998/6/2/article-p191.xml

https://arxiv.org/abs/2509.05260

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