導(dǎo)語

回顧整個(gè)課程，我們從歐拉的七橋問題出發(fā)，穿越抽象的集合論和公理化密林，一覽“連續(xù)性”的畫卷、徜徉于“連通性”與“緊致性”的世界，開啟同倫與同調(diào)的代數(shù)寶庫，最終抵達(dá)拓?fù)涞默F(xiàn)代應(yīng)用。這一講將帶你重新回溯與審視拓?fù)鋵W(xué)背后的“思維方式”——從空間幾何直覺到抽象理論系統(tǒng)、從局部關(guān)系到全局結(jié)構(gòu)、從孤立的對象到結(jié)構(gòu)關(guān)系和屬性的稠密網(wǎng)絡(luò)。我們還將勾勒拓?fù)渌枷氲摹案拍畹貓D”，介紹之后可深入學(xué)習(xí)的領(lǐng)域，如點(diǎn)集拓?fù)洹⒋鷶?shù)拓?fù)洹缀闻c微分拓?fù)?、量子拓?fù)渑c范疇論的進(jìn)一步統(tǒng)一等，并結(jié)合聽眾背景，討論未來的探索方向及與系統(tǒng)科學(xué)和其他學(xué)科的聯(lián)系。

本期課程將于2026年1月25日下午16:00-18:00北京門頭溝集智谷（First青年電影中心）線下進(jìn)行，同時(shí)線上騰訊會(huì)議、集智俱樂部視頻號(hào)、b站同步直播，課程學(xué)員線上線下均可參與，且有永久查看課程回放權(quán)限，有意線下參會(huì)的非課程學(xué)員歡迎公開報(bào)名參與線下活動(dòng)（詳情見線下參會(huì)方式）。

主題：拓?fù)淇偨Y(jié)與拓展：從幾何直觀到系統(tǒng)思維

課程簡介

目標(biāo)：理解拓?fù)渌枷朐诳茖W(xué)方法論中的角色，形成跨學(xué)科的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

這一講主要是對整期課程的回望、整合與升維。從歐拉的七橋問題出發(fā)，我們沿著“連續(xù)性”的主線，穿越集合論與公理化的抽象地帶，理解連通性與緊致性所揭示的整體邏輯，進(jìn)入同倫與同調(diào)構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu)世界，并最終看到拓?fù)渌枷肴绾卧谏?、物理、思維、計(jì)算與認(rèn)知等眾多領(lǐng)域中落地生根——這就從直覺觀察走入理論系統(tǒng)，再進(jìn)一步深化直覺；從發(fā)現(xiàn)問題上升到方法論，再提出新問題，不斷螺旋上升。

本講將以系統(tǒng)觀為核心，對前八講的內(nèi)容進(jìn)行整體重構(gòu)與深入理解。我們將“空間、連續(xù)、洞、不變量”等概念，放入統(tǒng)一的整體框架中：從局部到整體、從對象到關(guān)系、從形狀到結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。在此，拓?fù)渌季S展現(xiàn)了它的高度抽象卻極具遷移力的特性——它幫助我們在復(fù)雜系統(tǒng)中識(shí)別關(guān)鍵結(jié)構(gòu)和形態(tài)，在細(xì)節(jié)、變化與噪聲中把握本質(zhì)和不變性，或用有限信息理解系統(tǒng)整體行為。

在課程的后半部分，我們將系統(tǒng)勾勒拓?fù)渌枷氲?strong>概念地圖與未來展開方向，介紹點(diǎn)集拓?fù)?、代?shù)拓?fù)?、幾何與微分拓?fù)洹⒘孔油負(fù)渑c范疇論等領(lǐng)域如何在同一思想主線下自然分化又彼此統(tǒng)一。同時(shí)，課程將結(jié)合不同聽眾的背景，討論拓?fù)渌季S如何在本質(zhì)上與系統(tǒng)科學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、人工智能、思維與認(rèn)知科學(xué)等方向聯(lián)系起來，幫助大家找到各自的深入路徑。

本期課程結(jié)束后將以線下圓桌討論作為重要組成部分。在這一環(huán)節(jié)中，我們將圍繞“拓?fù)渥鳛橄到y(tǒng)思維方式”展開開放式交流：拓?fù)渌枷肴绾胃淖兾覀兝斫鈫栴}的方式？它在眾領(lǐng)域的研究或?qū)嵺`中可能扮演怎樣的角色？哪些尚未被充分開墾的領(lǐng)域在召喚拓?fù)湟暯堑亩匆娕c探索？這一討論既幫助大家對消化和內(nèi)化課程的整體內(nèi)容，也能使思想可以真正開始繼續(xù)“生長”。

課程大綱

• 拓?fù)鋵W(xué)方法論回顧：從幾何直覺到抽象思維

• 概念地圖：點(diǎn)—集—空間—變形

• 拓?fù)鋵W(xué)各分支簡介

• 系統(tǒng)科學(xué)視角：整體性、聯(lián)系性與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性

• 實(shí)例討論：量子拓?fù)渲械捏w-邊關(guān)系如何推廣到系統(tǒng)科學(xué)

• 總結(jié)與討論

• 進(jìn)階方向與學(xué)術(shù)資源推薦

關(guān)鍵詞

拓?fù)?、點(diǎn)集拓?fù)?、代?shù)拓?fù)?、微分拓?fù)洹缀瓮負(fù)?、量子拓?fù)?、思維方式、方法論、數(shù)學(xué)物理、屬性論、系統(tǒng)科學(xué)、范疇論、抽象與直觀（具象）、科學(xué)技術(shù)體系、科學(xué)統(tǒng)一性、邊界、全息、動(dòng)力學(xué)、思維科學(xué)、形態(tài)發(fā)生。

課程信息

課程主題：形器有涯，玄理無疆——總結(jié)與拓展：從幾何直觀到系統(tǒng)思維

課程時(shí)間：1月25日（周日）下午16:00-18:00

課程形式：1、本場為線下特別課程：北京門頭溝集智谷（First青年電影中心）

2、騰訊會(huì)議（會(huì)議信息見群內(nèi)通知）；

3、集智俱樂部視頻號(hào)/b站同步直播；

4、集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3個(gè)工作日內(nèi)上線）

課程主講人

金威，北京大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士，博士后。主要研究方向?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)物理。現(xiàn)從事人工智能的基礎(chǔ)理論和算法研發(fā)，并致力于數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)方面的教育/科研和科普活動(dòng)?！痘玖Ｗ樱簲?shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)》一書中文版譯者，《返樸》公眾號(hào)作者。研究興趣：屬性論和屬性數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)物理、系統(tǒng)科學(xué)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、中醫(yī)等。

課程適用對象

1. 理工科領(lǐng)域研究者及高年級(jí)學(xué)生：適合具備基礎(chǔ)數(shù)學(xué)背景（微積分、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程）的理工科高年級(jí)本科生、研究生及科研人員。尤其適合關(guān)注復(fù)雜系統(tǒng)、非線性動(dòng)力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理、信息科學(xué)等方向，或希望將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于物理、工程、生命與智能/認(rèn)知系統(tǒng)的學(xué)習(xí)者。

2. 喜愛探索和創(chuàng)新學(xué)習(xí)者：面向?qū)Τ橄笏季S、系統(tǒng)建模與跨學(xué)科分析有興趣的學(xué)生與研究者。鼓勵(lì)具備問題意識(shí)、善于邏輯推理與思維開放的學(xué)習(xí)者，通過拓?fù)鋵W(xué)培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化與整體化的科學(xué)思維。

報(bào)名須知

1. 第一步：微信掃碼填寫報(bào)名信息。

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可開發(fā)票

第二步：填寫信息后，付費(fèi)報(bào)名。如需用支付寶支付，請?jiān)赑C端進(jìn)入課程頁面報(bào)名支付：https://campus.swarma.org/course/5647

第三步：添加運(yùn)營負(fù)責(zé)人微信，拉入對應(yīng)主題的課程交流群（微信群）。

PS：為確保專業(yè)性和討論的聚焦，本社區(qū)謝絕脫離課程主題和理論生態(tài)學(xué)問題本身的空泛的哲學(xué)和思辨式討論；如果出現(xiàn)討論內(nèi)容不符合要求、經(jīng)提醒無效者，會(huì)被移除群聊并對未參與部分退費(fèi)

線下參會(huì)方式

線下地點(diǎn)：北京門頭溝集智谷（First青年電影中心）

時(shí)間：2026年1月25日（周日）下午16:00-18:00

參與方式：活動(dòng)參與說明與邀請

一、報(bào)名與費(fèi)用

付費(fèi)報(bào)名課程學(xué)員：線上線下均可參與

非課程學(xué)員：歡迎掃描下面二維碼，公開報(bào)名參與線下活動(dòng)

二、集智VIP專屬禮遇

為感謝VIP會(huì)員的支持，我們已為您預(yù)留前排VIP專座與集智手沖咖啡一杯，恭候您的光臨。

（掃碼報(bào)名參加線下活動(dòng)）

課程群內(nèi)討論交流

拓?fù)鋵W(xué)課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學(xué)

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學(xué)上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從“拓?fù)洹苯嵌壤斫猓?/p>

拓?fù)鋵W(xué)不僅是數(shù)學(xué)的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性乃至復(fù)雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結(jié)，從量子場論到思維科學(xué)與腦科學(xué)，拓?fù)鋵W(xué)思想正在各學(xué)科中普遍而深刻地重塑著我們的認(rèn)知方式。

集智學(xué)園聯(lián)合北京大學(xué)博士金威老師開設(shè)，課程于11月23日開啟，歡迎感興趣的讀者加入。

詳情請見：