Correlation structure and resonant pairs for arithmetic random waves

算術(shù)隨機波的相關(guān)結(jié)構(gòu)和共振對

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304414924002333

摘　要
算術(shù)隨機波的幾何性質(zhì)在過去十五年中得到了廣泛研究，始于開創(chuàng)性論文（Rudnick 和 Wigman，2008；Oravecz 等，2008）。本文研究了不同泛函之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，例如零點長度、示性集的邊界長度，以及零點集與各類確定性曲線交點的數(shù)量；相關(guān)程度以一種微妙的方式依賴于所考慮的閾值和確定性曲線的對稱性。特別地，我們證明了存在所謂的“共振閾值對”，在這些閾值處漸近相關(guān)性達到完全——即在高能極限下，一個泛函可由另一個泛函完美預(yù)測。我們主要關(guān)注二維情形，但也討論了向三維空間的一些具體推廣。

關(guān)鍵詞：隨機特征函數(shù) 算術(shù)隨機波 零點長度 零點交點 邊界長度 共振對

1. 引言

過去15年來，高斯隨機特征函數(shù)的零點集幾何結(jié)構(gòu)受到了大量關(guān)注。大多數(shù)研究集中于二維情形，包括歐幾里得空間中的情形（Berry 隨機波，參見例如 [1–4]），以及緊致流形上的情形，尤其是球面（參見例如 [5–7]）和環(huán)面 （參見例如 [8–12]）等。

得益于 Adler 與 Taylor 提出的高斯運動學(xué)公式（Gaussian Kinematic Formula，見 [13]），零點長度的期望值推導(dǎo)如今已成為標(biāo)準(zhǔn)方法；而方差分析則更具挑戰(zhàn)性，其研究可追溯至球面情形（即隨機球諧函數(shù)）的文獻 [5] 和環(huán)面情形（即算術(shù)隨機波）的文獻 [10]；在物理學(xué)文獻中，平面特征函數(shù)（Berry 隨機波）零點長度的方差早在 [1] 中就已給出。

隨機特征函數(shù)零點長度的漸近分布分析基本始于文獻 [11]。在該文中，算術(shù)隨機波的零點長度被展開為對應(yīng)于所謂 Wiener 混沌分量的正交項；隨后證明，在特征值趨于無窮時（以 意義下），零點長度的行為由四階混沌主導(dǎo)，而在環(huán)面情形下，其極限分布是非高斯的。類似現(xiàn)象也出現(xiàn)在平面和球面情形中（分別見 [3,6]），盡管在這兩種情形下極限行為是高斯的。

這種 Wiener 混沌展開還為所謂的“Berry 抵消現(xiàn)象”（Berry cancellation phenomenon）提供了詮釋：即零點長度的漸近方差比任意非零閾值下示性集邊界長度的方差低一個數(shù)量級。如其他文獻（見 [3,6,11,14]）廣泛論述的那樣，這種抵消源于二階混沌項的消失——該項對應(yīng)于特征函數(shù)的隨機 范數(shù)，并不參與零點線漲落。由于該隨機范數(shù)的方差大于正交分解中所有其他項，它在零點情形下的消失完全解釋了 Berry 抵消現(xiàn)象。

這一二階混沌項的主導(dǎo)地位還導(dǎo)致另一個顯著結(jié)果，該結(jié)果已在 [15] 中通過不同方法得到：具體而言，當(dāng)特征值趨于無窮時，不同閾值下示性集邊界長度之間的漸近相關(guān)系數(shù)（絕對值）趨近于 1。這很容易理解：對應(yīng)于不同閾值的邊界長度的隨機序列，在漸近意義下均與同一隨機變量序列（即特征函數(shù)的隨機 范數(shù)）成比例（僅相差不同的縮放常數(shù)）。這種漸近相關(guān)性已在隨機球諧函數(shù)情形中被注意到（[15,16]），但顯然，憑借完全相同的論證，它也適用于平面隨機波和環(huán)面特征函數(shù)。同樣基于此論證，可以立即看出：零點長度與非零閾值下示性集邊界長度之間的漸近相關(guān)系數(shù)為零；因為零點長度由四階混沌項主導(dǎo)，而這些項根據(jù)構(gòu)造與屬于二階混沌的隨機范數(shù)正交。

基于上述原因，顯然這些相關(guān)/不相關(guān)現(xiàn)象在某種意義上是由范數(shù)的隨機漲落所導(dǎo)致的人工產(chǎn)物；在許多應(yīng)用場景中，這可能顯得無意義（例如，在量子力學(xué)框架中，隨機范數(shù)應(yīng)被歸一化為 1）。在 [16] 中，針對隨機球諧函數(shù)研究了另一個問題：即在去除隨機范數(shù)效應(yīng)后（在數(shù)理統(tǒng)計中通常稱為“偏相關(guān)”）是否存在相關(guān)性。令人驚訝的是，研究發(fā)現(xiàn)不同閾值下邊界長度之間的偏相關(guān)依然存在，而且與零點長度的漸近相關(guān)性從零轉(zhuǎn)變?yōu)?1：即一旦去除隨機范數(shù)的混雜效應(yīng)，就可以在漸近意義下根據(jù)零點長度預(yù)測任意閾值 u u 下的示性集邊界長度。

本文旨在研究算術(shù)隨機波情形下類似的問題。我們主要關(guān)注二維情形，但也討論了向三維空間的一些具體推廣。

特別地，對于平面和球面隨機特征函數(shù)，[16,17] 已證明：零點情形與非零閾值情形原本完全不相關(guān)，但在去除二階混沌效應(yīng)后，二者變得完全相關(guān)。然而，當(dāng)我們對算術(shù)隨機波（[18–21]）研究相同問題時，卻發(fā)現(xiàn)了一幅截然不同的圖景。事實上，在去除二階混沌效應(yīng)后，不同閾值下示性集邊界長度或其他幾何泛函之間不再普遍存在完全相關(guān)性；相反，我們觀察到某些特定點對的存在——我們稱之為“共振對”（resonant pairs）——在這些點對處，相關(guān)性在高能極限下確實達到完全（即相關(guān)系數(shù)為 ±1），而對于一般點對，相關(guān)系數(shù)可在 ?1 到 1 之間取任意值。這些共振對包括零點情形（即其中一個閾值為 u = 0）。這些共振對位于一條代數(shù)曲線上（我們明確寫出了其方程），不僅刻畫了示性集邊界長度的相關(guān)結(jié)構(gòu)，也刻畫了隨機交點的相關(guān)性——這是此前未知的現(xiàn)象。

1.1. 去除二階混沌的物理意義

從應(yīng)用角度看，隨機特征函數(shù)可被視為量子粒子的波函數(shù)（正如任何量子理論教科書所討論的那樣）。眾所周知，這些波函數(shù)模的平方表示在測量后于某位置找到粒子的概率密度——因此，這類波函數(shù)應(yīng)被嚴格歸一化，使其平方積分等于 1。一個適當(dāng)歸一化的高斯隨機函數(shù)，其 范數(shù)在高能極限下（即特征值趨于無窮時）會收斂到 1；但對于任意有限特征值，仍存在微小的偏離漲落。在量子力學(xué)框架中，這些漲落并無物理意義。然而，非常重要的一點是：正如早前在環(huán)面情形 [11,20] 和球面情形 [3,6] 中所指出的，這些對單位范數(shù)的偏離實際上與本文所考慮的幾何泛函的二階混沌項成正比。因此，在我們看來，至少從量子理論應(yīng)用的角度出發(fā)，更有意義的做法是在去除二階混沌效應(yīng)之后（如本文計算偏相關(guān)時所做的那樣），研究算術(shù)隨機波的漸近行為及相關(guān)性。

理解“靜態(tài)曲線”（static curves）的物理含義也頗有意義。我們的直覺如下：當(dāng)一條曲線是靜態(tài)的時，它與隨機特征函數(shù)的交點具有各向同性，因而與能量在不同方向上的分布無關(guān)。在此情形下，二階混沌僅依賴于特征函數(shù)的 L 2 范數(shù)，而根據(jù)前一段所述理由，該范數(shù)可被忽略。對于非靜態(tài)曲線，能量在不同方向上的分布變得重要，此時二階混沌不再能簡單地等同于特征函數(shù)的能量；因此，在零點情形下該項不會消失，相關(guān)結(jié)構(gòu)也因此發(fā)生根本性改變。

1.2. 論文結(jié)構(gòu)安排

第 2 節(jié)介紹算術(shù)隨機波及其水平集幾何性質(zhì)的一些已知結(jié)果，并引入水平集幾何泛函的 Wiener 混沌展開。第 3 節(jié)陳述本文的主要結(jié)果。關(guān)于二維算術(shù)隨機波相關(guān)結(jié)構(gòu)的結(jié)果證明包含在第 4 節(jié)，而偏相關(guān)的證明則在第 5 節(jié)給出。第 6 節(jié)專門討論與零點曲面相關(guān)的論證。附錄收集了用于刻畫靜態(tài)曲線與雙重靜態(tài)曲線的技術(shù)性引理的證明。

1. 背景與記號

2.1 算術(shù)隨機波

2.2 水平集的幾何性質(zhì)

2.3 混沌展開

著名的維納混沌展開（Wiener chaos expansion）關(guān)注的是如何用無窮正交和的形式表示平方可積的隨機變量。在本節(jié)中，我們簡要回顧關(guān)于高斯場非線性泛函的維納混沌展開的一些基本事實。

1. 主要結(jié)果3.1. 二維情形下的相關(guān)結(jié)構(gòu)

我們首先研究邊界長度之間的相關(guān)性；回顧一下， S S 在 (2.2) 中被定義為所有可表示為兩個平方數(shù)之和的整數(shù)組成的集合。

定理 3.1 可直接由 [27, 推論 2.7] 和 [11, 第 1.4 節(jié)] 得出。下文給出了邊界長度與一條固定光滑參考曲線（其曲率處處非零）的交點數(shù)之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。

備注 3.13。在不同的非零閾值 處，水平曲線在漸近意義下具有完全相關(guān)性；這一現(xiàn)象最早由 [15] 在研究隨機球諧函數(shù)時指出，其依據(jù)是兩點相關(guān)函數(shù)的展開式，隨后被 [3,6,11,14,16,27] 等文獻聯(lián)系到二階混沌項的主導(dǎo)作用。另一方面，類似于 [16] 在球面上特征函數(shù)情形中早先所指出的現(xiàn)象，定理 3.1 表明：在高能極限下，零點長度（nodal length）與非零能級激發(fā)集（excursion sets）的邊界長度在漸近意義下完全不相關(guān)。這可被解釋為一種虛假效應(yīng)（spurious effect）：非零能級的邊界長度由二階混沌項主導(dǎo)，而該二階混沌項與特征函數(shù)的隨機范數(shù)成正比；而后者顯然對零點長度沒有影響（因為零點長度在歸一化下是不變的）。

備注 3.14。需要特別注意的是，在漸近極限下，邊界長度與靜態(tài)或非靜態(tài)曲線的零點交點數(shù)之間的相關(guān)性恒為零，但零能級情形（即 u = 0 ）除外。然而，此處的機制與前一備注中所觀察到的不同：事實上，在零點長度與非靜態(tài)曲線相交的情形中，二階混沌分量并不消失，但它仍與主導(dǎo)邊界長度行為的特征函數(shù)隨機范數(shù)不相關(guān)（詳見定理 3.2 的證明）。另一方面，對于與靜態(tài)曲線的交點，其二階混沌項屬于低階項（參見 [25] 第 2.1 節(jié)），因此與邊界長度的漸近相關(guān)性顯然為零。從某種意義上說，對于算術(shù)隨機波（Arithmetic Random Waves），與靜態(tài)曲線的交點在某種程度上對歸一化因子具有不變性，這使其行為在某種程度上類似于零點線（nodal lines），參見我們接下來關(guān)于部分自相關(guān)結(jié)果的討論。

備注 3.15。在特殊情形 η = 0
下，極限譜測度為勒貝格測度，即格點在極限意義下均勻分布。在此情形下，我們有：

備注 3.19。 上文我們考慮了在特征值序列充分分離的假設(shè)下，η = ±1 的情形。我們強調(diào)，在充分分離的假設(shè)下，η = ±1 可能無法實現(xiàn)。

3.2 二維情形下的偏相關(guān)結(jié)構(gòu)

為了更深入地理解算術(shù)隨機波水平集幾何的相關(guān)結(jié)構(gòu)，更有意義的是消除特征函數(shù)隨機 L2 范數(shù)的影響。更確切地說，值得研究所謂的偏相關(guān)結(jié)構(gòu)，即去除特征函數(shù)范數(shù)波動影響后的相關(guān)性結(jié)構(gòu)。

設(shè) X、Y、Z 為平方可積隨機變量；我們定義在給定 Z 條件下 X 與 Y 的偏相關(guān)系數(shù)為：

Corr_Z(X, Y) := Corr(X*, Y*),

其中 X* 和 Y* 是將 X、Y 投影到解釋變量 Z 后所得的殘差。

在類似的情形下，[16] 中已證明：對于隨機球諧函數(shù)，在高能極限下具有完全自相關(guān)性（參見 [28] 關(guān)于臨界點的類似結(jié)果）。而對于算術(shù)隨機波，其相關(guān)結(jié)構(gòu)則要微妙得多，如下文詳述。

3.2.1. 討論
對于二維算術(shù)隨機波，以下漸近偏相關(guān)結(jié)構(gòu)成立：
偏相關(guān)結(jié)構(gòu)，維度 d = 2
。

備注 3.22。上表所展示的相關(guān)性結(jié)構(gòu)背后的原理可解釋如下：在考慮偏相關(guān)時，非零閾值處邊界長度測度中的二階混沌項被消除。因此，它們與非靜態(tài)曲線交點數(shù)之間的相關(guān)性變?yōu)榱悖驗楹笳哂啥A混沌項主導(dǎo)。另一方面，對于靜態(tài)曲線或雙重靜態(tài)曲線，二階混沌項屬于低階項，因此偏相關(guān)本質(zhì)上變成了交點數(shù)與邊界長度各自四階混沌分量之間的相關(guān)性。

上述結(jié)果的一個重要推論是“共振對”（resonant pairs）的存在，即存在某些閾值水平的集合，其邊界長度和/或零點交點數(shù)在漸近意義下具有完全相關(guān)性；這一點在下面的推論中予以說明。

我們稱式 (3.21) 為算術(shù)隨機波邊界長度的“完全相關(guān)曲線”。我們相信，類似的代數(shù)曲線也刻畫了其他幾何泛函（如 Lipschitz-Killing 曲率和臨界值）的完全相關(guān)對。我們將對此的進一步研究留待未來工作。

3.3 三維情形下的一些結(jié)果

備注 3.27。任何具有有限面積、且高斯–克羅內(nèi)克曲率處處非零的曲面 Σ ，若其在坐標(biāo)分量的任意置換和符號變換下保持不變，則該曲面是靜態(tài)的（static）。要理解這一點，注意到在此條件下， Σ 滿足下文引理 6.2 所給出的靜態(tài)性判據(jù)。例如， Σ 可以由對稱的三元多項式分段定義，其中所有變量均以偶次冪出現(xiàn)（只要處處滿足曲率非零的假設(shè)即可）。

我們的主要結(jié)果如下。

1. 二維相關(guān)結(jié)構(gòu)

讓我們開始研究水平 u u 處邊界長度與非靜態(tài)曲線的零點交點數(shù)之間的相關(guān)性。

1. 二維情形下的偏相關(guān)結(jié)構(gòu)

1. 零點面積與零點交點之間的三維相關(guān)性

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