保非負(fù)性的卷積核：在閉凸域中的隨機Volterra方程及其逼近中的應(yīng)用

Nonnegativity preserving convolution kernels. Application to Stochastic Volterra Equations in closed convex domains and their approximation

https://www.sciencedirect.com/journal/stochastic-processes-and-their-applications/vol/181/suppl/C?page-size=100&page=1

摘　要
本文定義并研究了一類保持非負(fù)性的一維卷積核。當(dāng)一個過程的歷史動態(tài)通過卷積核進行積分時（如在隨機Volterra方程中，或在Hawkes過程的跳躍強度中），該性質(zhì)可保證積分結(jié)果的非負(fù)性。我們給出了這類核的若干刻畫，并特別證明了完全單調(diào)核具有非負(fù)性保持性質(zhì)。隨后，我們將這些結(jié)果應(yīng)用于分析閉凸集在隨機Volterra方程下的隨機不變性，并在一維情形下得到了一個比較結(jié)果。最后，當(dāng)核為衰減指數(shù)函數(shù)的正線性組合時，我們提出了一種弱誤差的二階逼近格式，在適當(dāng)假設(shè)下，該格式始終保持在閉凸域內(nèi)。我們將這些結(jié)果應(yīng)用于粗糙Heston模型，并給出了數(shù)值示例。

關(guān)鍵詞：完全單調(diào)核 隨機Volterra方程 Volterra方程 具有抑制作用的Hawkes過程
粗糙Heston模型

1. 引言

卷積核被廣泛應(yīng)用于建模具有隨時間衰減記憶效應(yīng)的現(xiàn)象。雖然遠(yuǎn)非詳盡，我們在此提及在力學(xué) [1,2]、生物學(xué) [3–5]、社會學(xué) [6,7] 或金融 [8–11] 中的應(yīng)用。相關(guān)模型中使用的主要隨機過程家族是Hawkes過程和隨機Volterra方程，其中卷積核用于整合過去動態(tài)。對于Hawkes過程，這種對過去的積分產(chǎn)生跳躍強度，因此必須是非負(fù)的。對于隨機Volterra方程，在某些應(yīng)用中了解它們是否為非負(fù)或更一般地是否保持在某個區(qū)域內(nèi)也非常重要。

然后我們將該技術(shù)應(yīng)用于提出一種用于Abi Jaber和El Euch [12] 引入的多因子Heston模型的弱二階格式，作為粗糙Heston模型的代理。這是本工作的原始動機。具體而言，結(jié)合我們的通用方法與Alfonsi [22] 提出的Cox-Ingersoll-Ross（CIR）和Heston模型的二階格式，我們?yōu)檫@些模型的多因子版本提出了新的逼近方案。數(shù)值實驗表明，我們的方案具有二階弱收斂性。我們還將我們的方案與Richard等人 [23] 以及Alfonsi和Kebaier [24] 為粗糙Heston模型期權(quán)定價開發(fā)的Euler方案進行比較，結(jié)果顯示我們的方案在偏差和計算時間方面優(yōu)于這些方案。

本文結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié) 專注于保非負(fù)性核函數(shù)的分析。我們首先給出定義，并獲得一個不假設(shè)任何正則性的初步刻畫。接著，我們聚焦于完全單調(diào)核，并證明它們保非負(fù)性。最后，我們研究第一類非負(fù)非增預(yù)解算子的存在性與保非負(fù)性性質(zhì)之間的關(guān)系。第3節(jié) 專用于隨機不變性。第一部分展示SVE的逼近，并利用保非負(fù)性性質(zhì)證明其停留在某凸域內(nèi)。我們估計強誤差，然后陳述通過取時間步長趨于零所得的主要隨機不變性結(jié)果。第4節(jié) 開發(fā)具有二階弱誤差的SVE逼近格式，并在合適假設(shè)下保證其停留在閉凸域內(nèi)。它首先回顧SDE弱逼近的一般結(jié)果，然后提出SVE的二階弱誤差格式。最后，它開發(fā)多因子CIR和Heston模型的二階格式，并在此框架下給出一些數(shù)值結(jié)果。

1. 保非負(fù)性卷積核

2.1. 定義與刻畫

蘊含關(guān)系（2.4）等價于該下確界的非負(fù)性，而這正是我們希望刻畫的性質(zhì)。我們注意到，約束集是線性的且呈三角形式，其對角線元素非零（因為 G ( 0 ) > 0 ）。因此，我們可以將待優(yōu)化的線性函數(shù)表示為這些約束的線性組合：

2.2 完全單調(diào)核保持非負(fù)性

2.3 通過第一類預(yù)解算子進行刻畫

Abi Jaber 等人 [13, 定理3.6] 最近已證明，具有非增預(yù)解算子的性質(zhì)可用于確保某些隨機Volterra方程的非負(fù)性。然而，該性質(zhì)僅表現(xiàn)為保證非負(fù)性的充分條件。根據(jù)下一個定理，我們將看到，對于非增核函數(shù)而言，這一性質(zhì)實際上是必要且充分的條件。

1. 閉凸域上的隨機Volterra方程

   
   3.1. 通過分裂法對隨機Volterra方程的逼近