導語

當我們從“形狀的變形”和“洞的計數(shù)”轉入其中的代數(shù)結構，拓撲學就進入了代數(shù)時代。本講承接上一講，介紹同調的核心思想——用代數(shù)對象（如群與正合列）去描述空間的結構。通過MV序列等例子，我們學習如何計算同調群，并理解歐拉數(shù)的代數(shù)拓撲意義和范疇論內涵。更重要的是，我們將從哲學與系統(tǒng)科學角度，探討“拓撲的層級結構”：一個系統(tǒng)的“洞”與“約束”，往往正是其結構的靈魂。

主題：同倫與同調簡介（二）

課程簡介

目標：掌握同調的基本概念與計算方法，進一步理解代數(shù)結構如何表達空間特征。

本講承接上一講的同倫思想，引入同調論的核心觀念：用一系列代數(shù)對象（群、鏈復形與長正合序列）來系統(tǒng)刻畫空間的結構。同調不再僅僅關心“是否存在某種繞行”，而是將空間拆解為由點、邊、面及其高維類似物構成的整體，通過“邊界”與“循環(huán)”的代數(shù)關系，精確描述不同維度上的洞與結構層級。

課程首先會將以上的拓撲對象代數(shù)化，構建必要的代數(shù)工具：單純同調、奇異同調和胞腔同調群。之后將系統(tǒng)地展示同調論中的幾個核心要素：第一，以Mayer–Vietoris（MV）序列為例，展示拓撲學如何通過“分解—拼合”的方式計算同調群；第二，從范疇論視角看待同調論，并由此理解歐拉示性數(shù)的代數(shù)拓撲意義，以及為什么同調理論可以看作歐拉示性數(shù)的范疇化；第三，講解Hurewicz定理，說明同調理論與同倫理論的深刻聯(lián)系。在這一過程中，大家將體會到：拓撲不變量并非零散的數(shù)值，而是被組織在一整套相互制約、彼此關聯(lián)的代數(shù)結構之中。

更進一步，本講將從哲學與系統(tǒng)科學的視角審視同調思想。并展示其在基礎數(shù)學（曲面分類與映射度）、拓撲數(shù)據(jù)分析/機器學習和精神分析中的應用。我們將看到，“洞”并不僅是缺失，更是一種約束與可能性的來源：在復雜系統(tǒng)中，正是這些不可消除的結構，刻畫了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、演化路徑與可達性邊界。從這一意義上說，同調論不僅是拓撲學的技術工具，也是理解復雜結構層級與組織方式的重要思想模型。

課程大綱

同調概述：洞的數(shù)量與空間的代數(shù)結構

• 同調思想：洞的數(shù)量與結構，“邊緣”的代數(shù)刻畫

• 同調群與正合列

• 同調論的基本計算方法：Mayer-Vietoris(MV)序列及例子

• 同倫與同調的關系——Hurewicz定理簡介

• 代數(shù)拓撲的基本思想（用代數(shù)結構研究拓撲空間）；范疇化思想（續(xù)，同調群作為歐拉數(shù)的范疇化）

• 持續(xù)同調及其應用簡介

• 曲面分類與拉康的精神分析（主體）拓撲學

關鍵詞

同調、虧格、正合列、單純同調、奇異同調、胞腔同調、MV序列、Hurewicz定理、歐拉示性數(shù)、代數(shù)拓撲、范疇化、龐加萊同調球、映射度、結構層級

課程信息

課程主題：勘玄府眾竅由辨，布算譜諸群序列——同倫與同調簡介（二）

課程時間：1月4日（周日）晚19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內通知）；集智學園網站錄播（3個工作日內上線）

課程主講人

金威，北京大學基礎數(shù)學博士，博士后。主要研究方向為拓撲學和數(shù)學物理?，F(xiàn)從事人工智能的基礎理論和算法研發(fā)，并致力于數(shù)學和系統(tǒng)科學方面的教育/科研和科普活動?！痘玖Ｗ樱簲?shù)學、物理學和哲學》一書中文版譯者，《返樸》公眾號作者。研究興趣：屬性論和屬性數(shù)學、拓撲學和數(shù)學物理、系統(tǒng)科學和復雜網絡、中醫(yī)等。

課程適用對象

1. 理工科領域研究者及高年級學生：適合具備基礎數(shù)學背景（微積分、線性代數(shù)、復變函數(shù)、常微分方程）的理工科高年級本科生、研究生及科研人員。尤其適合關注復雜系統(tǒng)、非線性動力學、統(tǒng)計物理、信息科學等方向，或希望將數(shù)學思想應用于物理、工程、生命與智能/認知系統(tǒng)的學習者。

2. 喜愛探索和創(chuàng)新學習者：面向對抽象思維、系統(tǒng)建模與跨學科分析有興趣的學生與研究者。鼓勵具備問題意識、善于邏輯推理與思維開放的學習者，通過拓撲學培養(yǎng)結構化與整體化的科學思維。

報名須知

1. 課程形式：騰訊會議，前兩課線上同步直播，集智學園網站錄播，部分課程設置線下課。

2. 課程周期：2025年11月23日-2026年1月，線上課程每周日19：00-21：00進行。

3. 課程定價：前兩節(jié)課程免費，全部課程原價599

付費流程

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可開發(fā)票

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程群內討論交流

拓撲學課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會出現(xiàn)周期軌、可約化結構和“奇怪吸引子”模式？為什么神經網絡、量子物理甚至心理結構，都可以從“拓撲”角度理解？

拓撲學不僅是數(shù)學的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結構不變性乃至復雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結，從量子場論到思維科學與腦科學，拓撲學思想正在各學科中普遍而深刻地重塑著我們的認知方式。

集智學園聯(lián)合北京大學博士金威老師開設，課程于11月23日開啟，歡迎感興趣的讀者加入。

詳情請見：