伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart），著名數(shù)學(xué)家，享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)科普作家，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)士。曾獲英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的“法拉第獎(jiǎng)?wù)隆?、美?guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)的“公眾理解科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)”和英國(guó)倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)與英國(guó)數(shù)學(xué)及應(yīng)用研究院頒發(fā)“塞曼獎(jiǎng)?wù)隆?，英?guó)沃里克大學(xué)數(shù)學(xué)系榮退教授。

在專(zhuān)業(yè)研究和教學(xué)之余，他積極致力于向公眾傳播數(shù)學(xué)，著有多部?jī)?yōu)秀科普作品，如圖靈現(xiàn)已出版的《改變世界的17個(gè)方程》《不可思議的數(shù)》《誰(shuí)在擲骰子？不確定的數(shù)學(xué)》《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義》以及“數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒”系列等，其中《改變世界的17個(gè)方程》榮獲美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)頒發(fā)的“歐拉圖書(shū)獎(jiǎng)”。

他的新作《數(shù)學(xué)巨人傳：思考、創(chuàng)造的奇趣故事》講述了阿基米德、劉徽、花拉子米、牛頓、費(fèi)馬、高斯、黎曼、龐加萊、圖靈、拉馬努金、諾特和哥德?tīng)柕?5位數(shù)學(xué)家的非凡生活和驚人發(fā)現(xiàn)。這些數(shù)學(xué)巨人的人生本就如同小說(shuō)般精彩，更何況他們開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)。本書(shū)用關(guān)鍵的歷史事件和人物故事構(gòu)成了一部精彩絕倫的數(shù)學(xué)史、科學(xué)史，更是一部人類(lèi)思想史，透徹分析了數(shù)學(xué)奠基人物的成就及其帶來(lái)的深遠(yuǎn)影響，也是學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)的優(yōu)秀讀物。

來(lái)源 | 《數(shù)學(xué)巨人傳 : 思考、創(chuàng)造的奇趣故事》

作者 | [英] 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

譯者 | 張憬

文摘 | 數(shù)學(xué)家們

我們這些故事的主人公都是具有開(kāi)創(chuàng)性發(fā)現(xiàn)、為數(shù)學(xué)打開(kāi)新視野的數(shù)學(xué)家。從這些巨人身上，我們能總結(jié)出什么呢？

最明顯的一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)家是一個(gè)豐富多彩的群體。數(shù)學(xué)開(kāi)拓者們來(lái)自各個(gè)歷史時(shí)期，有各不相同的文化背景和階層。我為這本書(shū)選取的故事跨越了 2500 年。

我們的主人公們生活在古希臘、古埃及、中國(guó)、波斯、古印度、意大利、法國(guó)、瑞士、德國(guó)、俄國(guó)、英國(guó)、愛(ài)爾蘭和美國(guó)。有些人像費(fèi)馬、埃達(dá)·金、柯瓦列夫斯卡婭一樣天生富足，有些人家境不上不下，有些人像高斯和拉馬努金一樣起點(diǎn)貧寒。

有些人像卡爾達(dá)諾和芒德布羅一樣出身書(shū)香門(mén)第；有些人像高斯、拉馬努金、牛頓和布爾一樣，是家中罕見(jiàn)的職業(yè)學(xué)者。歐拉、傅里葉、伽羅瓦、柯瓦列夫斯卡婭、哥德?tīng)柡蛨D靈生活在動(dòng)蕩年代；瑪大瓦、費(fèi)馬、牛頓和瑟斯頓則較為幸運(yùn)地處在比較安穩(wěn)的社會(huì)中，或者應(yīng)該說(shuō)，至少他們棲身的環(huán)境是比較穩(wěn)定的。

有些人一如傅里葉、伽羅瓦和柯瓦列夫斯卡婭，積極參與政治，前兩位還曾因此入獄；歐拉和高斯等人則更想明哲保身。

這里即便存在規(guī)律，也只在一定的范圍內(nèi)起作用。書(shū)中許多人成長(zhǎng)于知識(shí)分子家庭。有些人很懂音樂(lè)，有些人動(dòng)手能力很強(qiáng)，有些人則連自行車(chē)都不會(huì)修。

許多人幼年早慧，在很小的時(shí)候就表現(xiàn)出非同尋常的天賦，稀松平常的巧合，比如臥室墻紙上的字、一次偶然的談話(huà)、一本借來(lái)的書(shū)，都會(huì)引發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而改變他們的人生。許多人一開(kāi)始試圖從事其他職業(yè)，做律政和神職工作的偏多。

有些人的父母為他們驕傲并鼓勵(lì)他們繼續(xù)研究，有些人曾被禁止學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有些人為了追求理想要先突破阻礙、獲得許可。

有人性格古怪，有人行事無(wú)賴(lài)，有人瘋瘋癲癲。大多數(shù)人十分正常，和我們普通人一樣。大多數(shù)人組建了自己的小家庭，但也有牛頓、諾特這樣終身未婚的。

書(shū)中提到的數(shù)學(xué)家大多數(shù)是男性，這背后隱藏著偏見(jiàn)。直到近些年，還有不少人認(rèn)為女性在生理和心理上不適合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也不適合學(xué)習(xí)任何理科。

從前的觀念認(rèn)為，女性真正應(yīng)該研修的是家務(wù)技能：與其弄懂微積分，不如用好毛線針。偏見(jiàn)盛行的社會(huì)又反過(guò)來(lái)強(qiáng)化偏見(jiàn)，就連女性自己也常常和男性一樣，表示她們不適合追求數(shù)學(xué)理想。

曾經(jīng)有一段時(shí)期，即使女性想要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，她們也會(huì)被攔在教室和考場(chǎng)門(mén)外，被禁止修得學(xué)位、進(jìn)入學(xué)術(shù)界。我們的女性開(kāi)拓者們同時(shí)開(kāi)辟了兩條道路：一條穿越的是數(shù)學(xué)叢林，另一條穿越的是男性主導(dǎo)的社會(huì)叢林。第二條路讓第一條路變得更加艱辛。即便有人教學(xué)，有書(shū)可看，有時(shí)間思考，在數(shù)學(xué)上獲得突破也是艱難的。

如果上述條件還要通過(guò)斗爭(zhēng)才能獲得，那就是難上加難。盡管存在這些障礙，依然有一些偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家打破束縛，為后人開(kāi)辟了先例。時(shí)至今日，頂尖的女?dāng)?shù)學(xué)家和女科學(xué)家總的來(lái)說(shuō)依然不多，但社會(huì)恐怕要讓一部分男性精英失望了，我們不再將這種現(xiàn)象簡(jiǎn)單歸咎于女性自身的能力和心態(tài)。沒(méi)有任何證據(jù)支持這種偏見(jiàn)。

人們很喜歡為不尋常的數(shù)學(xué)天賦尋找神經(jīng)學(xué)上的解釋。早年顱相學(xué)盛行的時(shí)候，弗朗茨·加爾（Franz Gall）提出，某些重要的能力與大腦的某個(gè)特定區(qū)域有關(guān)，可以通過(guò)測(cè)量頭骨的形狀來(lái)評(píng)估。如果你擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)，你的頭部就會(huì)有一個(gè)“數(shù)學(xué)凸”。

現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了，顱相學(xué)是一種偽科學(xué)，不過(guò)大腦的特定區(qū)域有時(shí)確實(shí)發(fā)揮著特定的作用。如今，遺傳學(xué)和 DNA 正流行，人們自然想知道是否存在“數(shù)學(xué)基因”。然而，人類(lèi)思考數(shù)學(xué)只有幾千年的歷史，這樣的時(shí)間跨度應(yīng)該還不足以讓生物機(jī)制完成篩選，就好比駕駛戰(zhàn)斗機(jī)的能力不會(huì)是自然演化出來(lái)的。

也許數(shù)學(xué)能力源自某些有利于生存的特點(diǎn)，比如敏銳的視覺(jué)、持久的記憶力、在樹(shù)木間攀爬跳躍時(shí)用到的技巧。有時(shí)數(shù)學(xué)天賦似乎源自家族遺傳，伯努利家就是個(gè)例子，但這類(lèi)情形不占多數(shù)。

而且，家庭影響的關(guān)鍵往往不是血脈，而是教養(yǎng)環(huán)境，比如家里有一位熱愛(ài)數(shù)學(xué)的叔叔，臥室里貼著數(shù)學(xué)墻紙。就連遺傳學(xué)家也逐漸意識(shí)到了，DNA 并不能決定一切。

先驅(qū)數(shù)學(xué)家確實(shí)有一些共同點(diǎn)。他們富有創(chuàng)造力和想象力，敢于打破固有觀念。他們尋求規(guī)律，樂(lè)于解決棘手的問(wèn)題。他們密切關(guān)注邏輯要點(diǎn)，但也會(huì)沉溺于創(chuàng)造性的邏輯跳躍，即使暫時(shí)得不到支持，他們也堅(jiān)信某些觀點(diǎn)值得積極捍衛(wèi)。

他們有很強(qiáng)的專(zhuān)注力，但正如龐加萊認(rèn)為的那樣，過(guò)度沉迷于研究會(huì)讓人一遍遍走入死胡同。他們需要給自己的潛意識(shí)留出思考和整理的時(shí)間。他們往往記憶力超群，但也有一些人和希爾伯特一樣，并不擅長(zhǎng)背誦東西。

他們可以是高斯和歐拉那樣的速算天才。歐拉給兩位數(shù)學(xué)家做過(guò)一次“裁判”，他們爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是一個(gè)復(fù)雜級(jí)數(shù)求和的小數(shù)點(diǎn)后第 50位，最終，歐拉在頭腦中完成了計(jì)算。他們也可以是缺乏相關(guān)能力、在計(jì)算上不占明顯優(yōu)勢(shì)的人（多數(shù)速算天才并不具備比做算術(shù)更高級(jí)的能力，不過(guò)高斯是個(gè)例外）。他們擅長(zhǎng)大量吸收前人的研究，提煉其中的精華并完成內(nèi)化；但他們也可以完全忽略傳統(tǒng)的探索路徑。

齊曼就曾說(shuō)過(guò)，在開(kāi)始研究一個(gè)問(wèn)題之前閱讀文獻(xiàn)是錯(cuò)誤的，因?yàn)檫@樣做會(huì)讓你的思維陷入與其他人相同的窠臼。拓?fù)鋵W(xué)家斯梅爾在職業(yè)生涯的早期解決了一個(gè)在別人眼中相當(dāng)可怕的問(wèn)題，恰恰是因?yàn)闆](méi)有人告訴他這個(gè)問(wèn)題很難。

幾乎所有數(shù)學(xué)家都有強(qiáng)烈的直覺(jué)，可能是形式上的，可能是視覺(jué)上的。這里的視覺(jué)指的是頭腦中思考圖形、圖像的區(qū)域，而不是眼神——?dú)W拉失明后工作效率不降反升。

在《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》（Psychology of Invention in the Mathematical Field）中，作者雅克·阿達(dá)馬（Jacques Hadamard）調(diào)查了一些出色的數(shù)學(xué)家，詢(xún)問(wèn)他們是借助符號(hào)還是某種圖像來(lái)思考研究課題的。多數(shù)人選擇了視覺(jué)想象力，即使他們思考的問(wèn)題及其解決方案總體上更偏重符號(hào)。

舉例來(lái)說(shuō)，想到歐幾里得關(guān)于質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)的證明，阿達(dá)馬的頭腦中浮現(xiàn)的不是代數(shù)公式，而是這樣一幅圖：已知的質(zhì)數(shù)就像一堆亂糟糟的點(diǎn)，新的質(zhì)數(shù)則遠(yuǎn)在它們之外。模糊的隱喻圖像很常見(jiàn)，歐氏幾何那樣明確的圖形倒是不多。

這種激發(fā)可視（可感觸）圖像的傾向早在花拉子米的《代數(shù)學(xué)》中就已有所顯露，原書(shū)名中出現(xiàn)了本意為“平衡”的詞語(yǔ)?，F(xiàn)在的數(shù)學(xué)老師也經(jīng)常使用圖像思路教學(xué)。等式的兩邊被看作放置在天平兩個(gè)托盤(pán)中的物體總和，必須保持平衡。對(duì)等號(hào)兩側(cè)進(jìn)行的操作要符合代數(shù)規(guī)則，將平衡維持下去。

最終，一個(gè)托盤(pán)中只剩未知數(shù)，另一個(gè)托盤(pán)中則出現(xiàn)一個(gè)具體的數(shù)，這就是答案。數(shù)學(xué)家解方程時(shí)經(jīng)常想象符號(hào)在移動(dòng)（這就是為什么他們依然愛(ài)用黑板和粉筆：擦擦寫(xiě)寫(xiě)之間，符號(hào)仿佛真的動(dòng)了起來(lái)）?；ɡ用椎摹洞鷶?shù)學(xué)》中也有更明顯的幾何思維，包括通過(guò)補(bǔ)全正方形來(lái)解二次方程的示意圖。

據(jù)傳，曾有一位數(shù)學(xué)家在一堂技術(shù)性很強(qiáng)的代數(shù)幾何課上用畫(huà)在黑板上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示“一般點(diǎn)”。他經(jīng)常提到這個(gè)點(diǎn)，從而使這堂課變得更易理解。這世上不知有多少黑板和白板上畫(huà)滿(mǎn)了雜亂無(wú)章的神秘符號(hào)和奇怪的小涂鴉，這些涂鴉還會(huì)出現(xiàn)在餐巾紙上，有時(shí)甚至能在桌布上看到。從十維流形到代數(shù)數(shù)域，一切都在這些涂鴉里了。

阿達(dá)馬估計(jì)，大約 90% 的數(shù)學(xué)家借助圖形思考，大約 10% 的數(shù)學(xué)家以形式化的方式思考。據(jù)我所知，至少有一位著名的拓?fù)鋵W(xué)家是不大擅長(zhǎng)想象三維圖形的。這世上不存在通用的“數(shù)學(xué)思維”，數(shù)學(xué)界也沒(méi)有萬(wàn)能膏藥。

在多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)思維并不會(huì)嚴(yán)格遵循邏輯推理的步驟，只有在針對(duì)結(jié)果整理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明時(shí)，數(shù)學(xué)家才會(huì)這樣做。通常來(lái)講，第一步是獲得正確的想法，這往往意味著通過(guò)模糊地思考結(jié)構(gòu)問(wèn)題形成某種戰(zhàn)略構(gòu)想；下一步是想出實(shí)現(xiàn)它的策略；最后一步是用形式化的術(shù)語(yǔ)重寫(xiě)一切，呈現(xiàn)一個(gè)簡(jiǎn)潔、合乎邏輯的故事（也就是高斯移除腳手架的步驟）。

在實(shí)踐中，大多數(shù)數(shù)學(xué)家會(huì)交替使用兩種思維：在不清楚如何推進(jìn)時(shí)，或是在試圖獲得概況時(shí)，他們會(huì)求助于圖像；而在知道該怎么做但不確定會(huì)引出什么結(jié)果時(shí)，他們會(huì)求助于符號(hào)計(jì)算。然而，有些人似乎不管不顧，只用符號(hào)來(lái)思考。

超強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力與其他任何因素都沒(méi)有必然聯(lián)系，它似乎是隨機(jī)出現(xiàn)的。有些人和高斯一樣，3 歲就“開(kāi)竅”；有些人和牛頓一樣，小時(shí)候沒(méi)什么正經(jīng)事，卻在后來(lái)的人生中綻放光彩。年幼的孩子一般都喜歡數(shù)字、形狀和圖案，但隨著年齡的增長(zhǎng)，很多人對(duì)這些失去了興趣。

我們中的大多數(shù)人能通過(guò)受教育達(dá)到高中程度的數(shù)學(xué)水平，但繼續(xù)提高的人是少數(shù)，有些人甚至從未真正入門(mén)。許多職業(yè)數(shù)學(xué)家有一種強(qiáng)烈的印象，那就是在數(shù)學(xué)天賦面前，并沒(méi)有人人平等這一說(shuō)。如果你平日里總覺(jué)得學(xué)校里教的數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單明了，卻又經(jīng)常發(fā)現(xiàn)有人在為基礎(chǔ)知識(shí)頭疼，你自然會(huì)有這種看法。

當(dāng)你發(fā)現(xiàn)自己教導(dǎo)的一部分學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單的概念感到困惑，另一部分學(xué)生卻能立即掌握復(fù)雜的概念時(shí)，這種感覺(jué)就會(huì)更加強(qiáng)烈。

也許這種趣聞似的證據(jù)并不可靠，很多教育心理學(xué)家有不同看法。心理學(xué)界一直流行一種關(guān)于兒童心智的“白板”觀點(diǎn)。任何人可以做任何事情，他們需要的只是接受訓(xùn)練并大量練習(xí)。

只要你足夠想干一件事，你就能干成它。（如果你沒(méi)有干成，那就說(shuō)明你自己動(dòng)力不足……真是巧妙的循環(huán)論證，體育評(píng)論員就非常喜歡這個(gè)。）如果真是這樣那就太好了，但史蒂文·平克（Steven Pinker）在《白板》（The Blank Slate）一書(shū)中打破了這種過(guò)度強(qiáng)調(diào)正能量的希望。

此外，許多教育工作者還發(fā)現(xiàn)了一種疾病，叫作計(jì)算障礙（discalculia），它對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的影響就像閱讀障礙對(duì)閱讀和寫(xiě)作的影響一樣。我們能否既贊同白板觀點(diǎn)，又透徹地理解差異？我不確定。

從生理上講，人總是會(huì)有先天差異的。但出于某種原因，很多人似乎想象（或者說(shuō)想要想象）我們?cè)谛闹巧掀瘘c(diǎn)相同。這并沒(méi)有多大的意義。大腦結(jié)構(gòu)對(duì)心智能力的影響，恰如身體結(jié)構(gòu)對(duì)身體素質(zhì)的影響。

有些人記憶力超群，能詳細(xì)記住所有事情。這種記憶力是任何人都可以通過(guò)訓(xùn)練和練習(xí)獲得的嗎？好像不太可能。白板觀點(diǎn)經(jīng)常給出的論據(jù)是，在人類(lèi)活動(dòng)的某個(gè)領(lǐng)域取得巨大成功的人基本都進(jìn)行過(guò)大量練習(xí)。

這是事實(shí)，但這并不意味著每一個(gè)在人類(lèi)活動(dòng)的某個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行過(guò)大量練習(xí)的人都會(huì)取得巨大成功。亞里士多德和布爾都知道，“從A 可以推出 B”與“從 B 可以推出 A”是兩碼事。

先別急著惱火，我并不是要反對(duì)向大家平等地教授數(shù)學(xué)或其他知識(shí)。幾乎所有人都會(huì)在良好的教學(xué)和大量的練習(xí)中得到提高，任何領(lǐng)域都是如此，這就是我們?yōu)榻逃聵I(yè)努力的意義。

喬治·波利亞（George Pólya）在《怎樣解題》（How to Solve It）中揭示了一些有用的技巧。這本書(shū)有點(diǎn)兒像講解“如何擁有超強(qiáng)記憶力”的書(shū)，會(huì)提供一些有助于加強(qiáng)記憶的技巧，但它的主題是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。然而，擁有超強(qiáng)記憶力的人不會(huì)使用加強(qiáng)記憶的技巧。他們想要想起什么，就能想起什么。

同樣，即使掌握了波利亞教授的訣竅，你也不大可能成為新的高斯，這和努力程度無(wú)關(guān)。高斯這樣的人不需要?jiǎng)e人傳授他們特殊技巧，他們躺在搖籃里的時(shí)候就有自己的獨(dú)門(mén)訣竅了。

總的來(lái)說(shuō)，如果不是真的熱愛(ài)自己的工作，人們不會(huì)努力奮斗、取得成功。數(shù)學(xué)巨人也會(huì)認(rèn)真練習(xí)，即使是天生奇才，也需要一定的鍛煉強(qiáng)度來(lái)保持狀態(tài)，因?yàn)槟惚仨毑粩嗑毩?xí)才能發(fā)揮天賦，但更主要的原因是他們樂(lè)意。就算遇到了困難、陷入了枯燥，他們也能以某種奇特的方式樂(lè)在其中。

天生的數(shù)學(xué)家只要不被關(guān)起來(lái)，就一定會(huì)研究數(shù)學(xué)；哪怕真的身陷囹圄，他們也要在墻上劃拉方程。

歸根結(jié)底，這才是數(shù)學(xué)巨人們身上一脈相承的共同點(diǎn)。他們熱愛(ài)數(shù)學(xué)。他們癡迷于數(shù)學(xué)。他們別無(wú)所求。他們可以放棄收入更高的職業(yè)，可以不顧家人的勸告，即使許多同事認(rèn)為他們瘋了，他們也義無(wú)反顧地堅(jiān)持下去，甚至能接受默默無(wú)聞地死去。他們可以授課多年卻分文不取，只為在行業(yè)里站穩(wěn)腳跟。巨人之所以成為巨人，是因?yàn)樗麄冇羞@樣的動(dòng)力。

這樣的動(dòng)力從何而來(lái)？

這是一個(gè)謎。

《數(shù)學(xué)巨人傳 : 思考、創(chuàng)造的奇趣故事》

作者： [英] 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

譯者：張憬

法國(guó)數(shù)學(xué)類(lèi)科普書(shū)、大學(xué)數(shù)學(xué)參考及教材類(lèi)圖書(shū)暢銷(xiāo)書(shū)目，在機(jī)器學(xué)習(xí)、人工智能、邏輯學(xué)和哲學(xué)等眾多領(lǐng)域中，探索貝葉斯定理蘊(yùn)藏的智慧與哲理。

貝葉斯定理一旦與算法相結(jié)合，就不再是一套枯燥的數(shù)學(xué)理論或認(rèn)識(shí)論，而變成了應(yīng)用廣泛的知識(shí)寶庫(kù)，催生了眾多現(xiàn)代數(shù)學(xué)定理，以及令人稱(chēng)道的實(shí)踐成果。