面向貝葉斯推理的單次量子機器學習端到端優(yōu)化

End-to-end Optimization of Single-Shot Quantum Machine Learning for Bayesian Inference

https://arxiv.org/pdf/2512.20492

我們提出了一種量子機器學習的端到端優(yōu)化策略，該策略直接針對有限測量資源下的性能表現(xiàn)，其中學習目標直接定義在任務(wù)性能層面。該方法應(yīng)用于貝葉斯量子計量任務(wù)，因為該任務(wù)提供了一個具有已知基本極限和隨系統(tǒng)尺寸變化的自然測試平臺。這種具有采樣意識的混合算法在使用32個量子比特的情況下，實現(xiàn)了單次測量風險在貝葉斯極限（-20 dB）內(nèi)的1 dB范圍內(nèi)。我們將貝葉斯框架從參數(shù)估計擴展到全局函數(shù)推斷，任務(wù)是推斷從任意先驗分布中抽取的傳感器輸入的目標函數(shù)，并證明了直接函數(shù)推斷相比于間接重建在計算和感知方面具有明顯優(yōu)勢。我們將相應(yīng)的貝葉斯風險與容量度量聯(lián)系起來，并認為可分辨表達容量為單次測量中可訪問的函數(shù)空間提供了一個自然的度量。由此產(chǎn)生的特征任務(wù)分析識別出具有噪聲魯棒性的特征組合，這些組合能夠在資源受限或?qū)崟r設(shè)備端設(shè)置中產(chǎn)生更緊湊的估計器，提高精度并降低優(yōu)化成本。

I. 引言

在量子硬件上進行訓練和推理本質(zhì)上受到有限相干時間、有限測量資源、受限的物理編碼以及硬件行為與理想化數(shù)值模型之間不可避免的不匹配的限制。在本工作中，我們特別關(guān)注由有限采樣引起的限制，這構(gòu)成了近期量子機器學習的主要且不可避免的瓶頸。量子機器學習（QML）中常見的方法是在理想化、有效無限次測量的假設(shè)下優(yōu)化目標損失函數(shù)，然后僅在施加有限次測量時評估性能。這種分離有兩個關(guān)鍵缺點。首先，正如現(xiàn)在已廣泛認識到的那樣[1]，它掩蓋了實現(xiàn)的真正硬件成本：在無限采樣極限下最優(yōu)的模型可能需要過大的測量預算來實現(xiàn)該性能，嚴重限制了它們的實際可用性。其次，更微妙的是，優(yōu)化問題本身的結(jié)構(gòu)在有限測量資源下可能會發(fā)生定性的變化，因此在理想化極限下找到的解在采樣受限時可能無法達到或不是最優(yōu)的。盡管最近的研究表明，有限次測量噪聲在某些情況下可以作為一種隨機正則化器，輔助基于梯度的優(yōu)化[2]，但這種觀點仍將采樣噪聲視為偶然的而非基礎(chǔ)性的。在這里，我們采用了一種端到端的方法，其中估計器、訓練動態(tài)和推理過程被明確地針對固定且有限的采樣預算進行優(yōu)化。通過直接在量子設(shè)備上進行優(yōu)化，并將硬件視為一個噪聲輸入-輸出映射，我們開發(fā)了一個量子機器學習框架，其性能與現(xiàn)實實驗約束內(nèi)在匹配，而不是從理想化極限外推而來。

我們的方法建立在最近物理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（PNN）理論的發(fā)展[3, 4]之上，并將其適應(yīng)于在嚴格測量約束下對基于量子比特的設(shè)備進行優(yōu)化。在PNN視角中，設(shè)備被視為一個黑箱，其可分辨的輸出函數(shù)可以直接通過采樣來表征。這種觀點也直接解決了模型與硬件之間的不匹配問題：最優(yōu)估計器由實際設(shè)備和測量條件定義，而不是由理想化的數(shù)值替代品定義。

在QML應(yīng)用中，評估量子基底相對于經(jīng)典基底所賦予的優(yōu)勢的一個核心挑戰(zhàn)在于缺乏一個系統(tǒng)框架來確定量子力學所允許的基本極限。同樣重要的是一個方法論，用于在等價資源約束下系統(tǒng)地比較其性能與經(jīng)典基底的性能。我們發(fā)現(xiàn)，將基于QML的框架應(yīng)用于貝葉斯量子計量（BQM）為應(yīng)對這一挑戰(zhàn)提供了一個嚴謹?shù)幕A(chǔ)，因為（1）存在一個成本函數(shù)，其隨系統(tǒng)尺寸變化的行為和性能可以推導和計算，（2）原則上可以與在經(jīng)典極限下運行的等價傳感器類別進行比較分析。我們在這里提出了一個應(yīng)用這種一般策略的方法。

從量子計量的角度來看，基于PNN的方法提供了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法，自然地適應(yīng)于給定物理傳感器的控制和測量資源�？稍L問資源態(tài)的限制、可用哈密頓相互作用以及讀出保真度常常形成瓶頸，需要復雜的技巧來接近海森堡極限[5–7]，這是通過線性量子測量可達到的最終極限，如最近的研究所示，這些研究利用了集體態(tài)協(xié)議而不進行單粒子檢測[8]、基于壓縮超輻射的讀出方案[9]以及通過量子糾纏增強的計量[10]。PNN框架通過直接在設(shè)備的物理約束內(nèi)進行優(yōu)化，使用傳感器在采樣信號時生成的數(shù)據(jù)，提供了一種補充途徑。這種方法的有效性已在變分量子計量[11, 12]中得到證明，這些方法不僅可用于制備計量上有用的糾纏資源態(tài)，還可用于產(chǎn)生能夠有效地將糾纏態(tài)的參數(shù)依賴性集中到易于測量的簡單可觀測量中的解碼器。最近的一項實驗在一個囚禁離子平臺上提供了原理驗證，證明這種方法可以非常有效[13]。

在不同物理基底之間進行合理比較需要一個量化指標，用于衡量在固定資源下可分辨的函數(shù)空間。在參考文獻[3]中引入的可分辨表達容量（REC）提供了這樣的度量。對于單次測量預算，它在目標函數(shù)為線性且先驗為高斯分布時簡化為單參數(shù)計量中使用的貝葉斯均方誤差[11, 13]。因此，REC為這種更廣泛的BQI設(shè)置提供了一個自然的度量擴展。對于具有投影測量的基于量子比特的系統(tǒng)，REC有一個緊密的解析界限[3]。對REC的譜分析識別出特征任務(wù)，這些是可以以最高信噪比近似的函數(shù)[3]。這些提供了最小的有效特征潛在空間，并且與在指數(shù)級大的全特征空間中工作相比，可以顯著減輕優(yōu)化負擔。

在單次測量估計的傳感器參數(shù)的測量驅(qū)動優(yōu)化預計是一個具有挑戰(zhàn)性的問題。在無限次測量的漸近極限下，輸出特征收斂到它們的量子期望值，采樣噪聲消失，基于梯度的變分QML方法已被證明由于梯度消失而擴展性差[14]，這使得基于梯度的訓練由于實際可進行的有限次實驗而實際上無效。盡管電路的表達性理論上隨著深度的增加而增加[15–18]，但足夠深的參數(shù)化量子電路的優(yōu)化景觀表現(xiàn)出指數(shù)級消失的梯度，導致眾所周知的荒蕪高原現(xiàn)象[14]。這些結(jié)果推動了對采用無梯度混合優(yōu)化方法的研究。

一類適合于近期量子設(shè)備（NISQ）的QML算法是量子儲層計算（QRC）[19–24]，它避免了變分方法的優(yōu)化挑戰(zhàn)。當與有限次測量約束下的中程特征提取相結(jié)合時，QRC可以解決有限相干時間所施加的限制，如NISQRC算法所證明的那樣[4]。

在QRC中，一個未經(jīng)訓練的量子系統(tǒng)作為一個高維非線性特征生成器。其固定的動態(tài)將輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為一組豐富的可觀測量。在這個非線性特征空間中優(yōu)化一個線性估計器，使用標記過的訓練數(shù)據(jù)。因為只有經(jīng)典權(quán)重被訓練，一個凸優(yōu)化可以通過標準線性代數(shù)例程（如奇異值分解）高效求解，訓練需要的量子評估次數(shù)少得多，避免了阻礙變分方法的梯度消失問題。最近使用原子基儲層（108個量子比特）[25]和高斯玻色采樣器（分別為8176[26]和400[27]模式）的實驗演示突出了這種方法的可擴展性潛力。然而，這些研究也報告了在減少采樣時精度迅速下降[23, 28, 29]。超越這些研究，同時保留受儲層啟發(fā)的估計器的簡單性，我們展示了在有限次測量條件下優(yōu)化內(nèi)部參數(shù)可以顯著提高精度，并將測量要求降低到所考慮的BQI任務(wù)的單次測量水平。我們推測，對于所考慮的電路類別，最優(yōu)的BQI傳感器在設(shè)備端優(yōu)化下保持魯棒性。

為此，我們提出了一種針對單次測量BQI的采樣感知端到端混合優(yōu)化算法，其中狀態(tài)制備、編碼、測量和經(jīng)典后處理被聯(lián)合優(yōu)化。這種統(tǒng)一處理與通過費舍爾信息界限分析性能[30–32]、主要關(guān)注探針態(tài)設(shè)計[33–35]或優(yōu)化最終測量[36–40]的方法形成對比。這些觀點通常只涉及傳感管道的單個元素，而我們的框架直接針對整體推理任務(wù)以及最終決定單次測量制度下性能的估計器。應(yīng)用于單參數(shù)計量任務(wù)時，所提出的方法在32個量子比特的情況下達到了-19.1 dB的風險，接近在相同資源下最優(yōu)貝葉斯傳感器實現(xiàn)的-20 dB極限[41]。與該最優(yōu)傳感器不同，我們的電路深度在整個優(yōu)化過程中保持固定。

II. 理論 & 結(jié)果

A. 貝葉斯量子計量學回顧

在這里，我們回顧了貝葉斯量子計量（BQM）在單參數(shù)估計[11, 13]中的概念基礎(chǔ)，介紹了適用于任意給定實驗設(shè)置的成本函數(shù)，并回顧了關(guān)于量子理論所施加的最優(yōu)傳感器配置和計量學界限的已知結(jié)果。這為將框架擴展到任意先驗下的全局函數(shù)估計奠定了基礎(chǔ)。因為成本函數(shù)必須與具體的計量任務(wù)相關(guān)聯(lián)，我們專注于拉姆齊干涉測量，其中最優(yōu)性由實現(xiàn)最大單次測量信噪比（SNR）來定義。

盡管上述BMSE的下界在所有可能的探針態(tài)、估計器和POVM上進行了優(yōu)化，但過去[41, 45, 46]已經(jīng)研究了結(jié)合迭代數(shù)值算法來找到這些界限的建設(shè)。然而，直到最近才顯示出可以使用由實驗可訪問的門組成的淺層電路來接近這些界限，無論是在單參數(shù)[11, 13]還是多參數(shù)[12]設(shè)置中。

B. PNN方法在全局函數(shù)傳感中的應(yīng)用

在本節(jié)中，我們介紹了量子計算傳感框架的六個組成部分。每個元素都被詳細指定，因為傳感管道的端到端優(yōu)化需要對每個階段進行精確定義。這些組件共同構(gòu)成了在量子計量設(shè)置中啟用端到端貝葉斯量子推斷（BQI）的架構(gòu)。該公式下面解決了一個S次測量預算和高維輸入 的一般情況。

1. 估計器構(gòu)建與訓練：給定測量得到的特征 X(u)，我們使用如下形式的線性估計器來近似目標函數(shù)：

1. 單參數(shù)計量與容量

在方程（3）中定義的成本函數(shù)作為我們數(shù)據(jù)驅(qū)動傳感框架中的中心性能指標，量化了優(yōu)化后的傳感管道對目標函數(shù)的近似程度。除了作為優(yōu)化目標的角色外，我們在這一部分討論了這個成本函數(shù)如何作為表征給定傳感器在使用最優(yōu)估計器方程（1）時能夠分辨的函數(shù)空間的度量。成本函數(shù)方程（2）與文獻[3]中引入的容量 線性相關(guān)。

因此，單次測量的線性容量可以被視為一系列信息度量的生成泛函：費舍爾信息作為一階貢獻，隨后是一系列更高階的Bhattacharyya型項。

這些發(fā)現(xiàn)與最近的研究[47, 50]一致，表明費舍爾信息僅在局部范圍內(nèi)提供可靠的精度界限，即參數(shù)被限制在已知參考值周圍的狹窄鄰域內(nèi)。當參數(shù)分布在一個廣泛的范圍內(nèi)時，僅靠費舍爾信息（FI）已不足以表征估計的基本限制。在這種全局場景中，更高階的Bhattacharyya信息項變得至關(guān)重要，它們提供了更精細和準確的系統(tǒng)估計能力的量化，因為它們考慮了測量結(jié)果的非線性響應(yīng)以及當參數(shù)在廣泛范圍內(nèi)變化時估計的內(nèi)在非局部特性。對所有可能的正算符值測量（POVM）進行優(yōu)化，將這些經(jīng)典量提升為它們的量子對應(yīng)物，從而產(chǎn)生了量子費舍爾信息和量子Bhattacharyya或Barankin型界限[51]。

因此，方程（5）中的容量包含了所有相關(guān)的信息論貢獻，無論是局部的還是非局部的，使其成為所有制度下傳感的自然度量標準。其優(yōu)化不僅在局部極限中恢復了已知界限，還可能指導在全局場景和貝葉斯量子推斷（BQI）風格任務(wù)中改進測量策略的設(shè)計，在這些任務(wù)中，高階效應(yīng)變得至關(guān)重要。

C. 基于儲層的優(yōu)化

優(yōu)化完整的傳感堆棧，包括準備一個度量學上有用的狀態(tài)、選擇POVM以及用于計算估計器的經(jīng)典后處理，提出了巨大的計算挑戰(zhàn)。參數(shù)空間是高維的，目標函數(shù)在現(xiàn)實條件下表現(xiàn)出隨機波動，特別是當測量次數(shù) S 相對于可能結(jié)果的數(shù)量 K 較小時。在這種情況下，基于梯度的優(yōu)化方法往往變得不可靠或效率低下。

在這種制度下，精心設(shè)計的優(yōu)化策略是必不可少的，因為傳感組件的聯(lián)合訓練否則會陷入景觀的次優(yōu)區(qū)域。為了克服這一困難，我們開發(fā)了一種適合于監(jiān)督機器學習問題（包括我們的傳感任務(wù)）的復雜非凸結(jié)構(gòu)特征的定制優(yōu)化方案。

D. 特征任務(wù)分析

為了緩解這一點，可以識別并消除冗余或噪聲主導的特征，類似于主成分分析（PCA）的精神，它只選擇特征空間中最有信息量的方向。在我們的上下文中，這些特征的最優(yōu)線性組合被稱為特征任務(wù)，這個概念最早在文獻[3]中引入，并已被證明可以最小化具有大型訓練數(shù)據(jù)集的監(jiān)督機器學習任務(wù)中的泛化誤差[61]。

定義特征任務(wù)的關(guān)鍵方程是一個廣義特征值問題

其中權(quán)重 是在簡化的特征集上訓練的。最后，盡管特征任務(wù)的定義到目前為止假設(shè)可以訪問理想化的無限次測量特征 x 和無限大的訓練集，但它們?nèi)匀豢梢栽谟邢薮螠y量和有限大小的訓練數(shù)據(jù)集下有效近似，并保持實際應(yīng)用價值[3]。

E. 結(jié)果

受到變分量子算法在囚禁離子平臺上成功應(yīng)用的啟發(fā)，我們假設(shè)探針、糾纏器和解碼器電路的形式為：

非平凡先驗下信號的函數(shù)逼近——我們接下來演示我們的框架在估計從非平凡先驗分布中抽取的單參數(shù) u 的設(shè)置中。

我們進一步使用各種電路變體研究算法的性能，如圖5所示，結(jié)合了定制的輸入狀態(tài)和有效的POVM。我們的結(jié)果與文獻中先前報告的結(jié)果完全一致，從而驗證了現(xiàn)有基準，并驗證了我們的框架在再現(xiàn)最新性能方面的有效性。

1. 特征任務(wù)的使用

到目前為止，我們的傳感管道優(yōu)化依賴于從傳感器獲得的完整原始特征集，以成功逼近目標函數(shù)。然而，如第IID節(jié)所討論的，一個有希望的替代方案是考慮特征的線性組合——稱為特征任務(wù)——這些組合表現(xiàn)出足夠高的信噪比。因此，電路變體中糾纏和解碼部分的內(nèi)部參數(shù)優(yōu)化，以及估計器，必須重新審視，因為原則上得到的最優(yōu)配置通常依賴于訓練的特征任務(wù)數(shù)量。這種修改源于用于根據(jù)信噪比 選擇特征任務(wù)的截斷標準。在所有特征任務(wù)都被保留的特殊情況下，優(yōu)化簡化為原始設(shè)置，因為特征轉(zhuǎn)換和估計器都是線性的。

III. 討論與結(jié)論

我們開發(fā)了一個數(shù)據(jù)驅(qū)動的量子傳感學習框架，其中狀態(tài)制備、編碼、測量和經(jīng)典估計針對全局推理任務(wù)進行聯(lián)合優(yōu)化。將量子傳感表述為監(jiān)督學習術(shù)語，允許直接逼近隨機輸入的任意非線性函數(shù)，擴展了量子計量學的范圍，超越了局部費舍爾信息界限，并將性能與更廣泛的功能容量概念聯(lián)系起來。

技術(shù)上，我們引入了一種高效的優(yōu)化程序，該程序?qū)⒒趦拥墓烙嬈髋c后儲層損失最小化相結(jié)合，即使在采樣噪聲最強的單次測量制度下也能收斂到接近最優(yōu)的解決方案。特征任務(wù)分析進一步識別出抗噪聲的特征組合，這些組合產(chǎn)生緊湊的估計器，同時抑制不穩(wěn)定或低信噪比模式。

我們的結(jié)果表明，聯(lián)合優(yōu)化整個傳感管道比參數(shù)估計先于功能評估的兩階段策略獲得顯著增益。該框架再現(xiàn)了已知基準，適應(yīng)一般先驗和非線性目標，并為現(xiàn)實傳感場景提供了統(tǒng)一的方法。這些發(fā)現(xiàn)表明量子計量學向集成的、數(shù)據(jù)驅(qū)動的傳感器和推理算法設(shè)計的轉(zhuǎn)變。

這項工作的幾個方向隨之而來。在多參數(shù)和多次測量設(shè)置中，功能容量與量子信息界限之間的更深層次理論聯(lián)系將拓寬概念基礎(chǔ)。在實際方面，將優(yōu)化框架適應(yīng)于噪聲中等規(guī)模設(shè)備，結(jié)合硬件感知方法，并在實驗平臺（如囚禁錮離子和超導電路）上進行基準測試是自然的下一步。將當前的線性估計器架構(gòu)擴展到非線性或自適應(yīng)讀出可能為量子增強傳感和學習解鎖更多機會。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2512.20492