2025年5月16日，著名匈牙利裔數(shù)學(xué)家彼得·拉克斯（Péter Lax）逝世，享年99歲。作為最晚一代的“火星人”，他依然是那個(gè)天才輩出時(shí)代里最耀眼的星辰之一。出身數(shù)學(xué)神童，又得名師指點(diǎn)，拉克斯以非凡的洞察力在偏微分方程、數(shù)值分析與散射理論等領(lǐng)域留下深刻印記，將純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)完美融合，在這方面堪稱“馮·諾伊曼二世”。謹(jǐn)以此文紀(jì)念這位偉大的數(shù)學(xué)家。

撰文 | 丁玖（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授）

歐洲近代史中，在匈牙利這個(gè)約有一千萬人口的小國(guó)，于19世紀(jì)末四分之一至下一世紀(jì)初四分之一的五十年間，誕生了一大批20世紀(jì)的杰出人士。他們當(dāng)中有空氣動(dòng)力學(xué)家馮·卡門 (Theodore von Kármán，1881-1963）、數(shù)學(xué)家波利亞（George Pólya，1887-1985）、物理學(xué)家西拉德（Leo Szilard，1898-1964）、化學(xué)家德·赫維西（George de Hevesy，1885-1966）及經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈薩尼（John Charles Harsanyi，1920-2000）。這些智者常常被稱為“火星人（The Martians）”，該術(shù)語首創(chuàng)于西拉德的一句玩笑，說的是20世紀(jì)上半葉從歐洲移民到美國(guó)的那些卓越的匈牙利猶太裔科學(xué)家。（編者注：可參見《這個(gè)不起眼的小國(guó)，走出了科學(xué)史上最杰出的一群人》）

匈牙利物理學(xué)家兼科學(xué)史家馬克思 (Gy?rgy Marx，1927-2002)，在其專寫匈牙利科學(xué)家的書《火星人的聲音》（The Voice of the Martians）中，直接將“火星人”放進(jìn)了標(biāo)題。他寫道：

“宇宙浩瀚無垠，包含著無數(shù)的恒星……很可能還有行星圍繞著它們運(yùn)轉(zhuǎn)。……最簡(jiǎn)單的生物會(huì)不斷繁衍，通過自然選擇進(jìn)化，變得更加復(fù)雜，最終出現(xiàn)活躍且具有思維能力的生物。……他們渴望新的世界……他們應(yīng)該遍布整個(gè)銀河系。這些才華橫溢的人很難忽視像我們地球這樣美麗的地方。——‘那么，’費(fèi)米提出了他那個(gè)令人難以抗拒的問題：‘如果這一切一直在發(fā)生，他們現(xiàn)在應(yīng)該已經(jīng)到達(dá)這里了，那么他們?cè)谀睦?？’——利奧·西拉德，一個(gè)有著頑皮幽默感的人，對(duì)費(fèi)米悖論給出了完美的解答：‘他們?cè)谖覀冎虚g，’他說，‘但他們自稱匈牙利人?！?/p>

2025年5月16日，“火星人”中最晚出生者之一、當(dāng)代偉大的數(shù)學(xué)家彼得· 拉克斯（Péter Lax，1926-2025）走完了他長(zhǎng)達(dá)九十九年的輝煌一生。他同樣漫長(zhǎng)的學(xué)術(shù)人生，以匈牙利數(shù)學(xué)神童起步，十五周歲逃脫納粹鐵蹄，跨越大西洋抵達(dá)美利堅(jiān)；讀大學(xué)時(shí)，他將青春和才華獻(xiàn)給了二戰(zhàn)中的原子彈研制工程，十八周歲發(fā)表了第一篇學(xué)術(shù)論文，戰(zhàn)后輝煌于柯朗（Richard Courant，1888-1972）逃離德國(guó)后在紐約大學(xué)創(chuàng)立的數(shù)學(xué)科學(xué)研究所，成長(zhǎng)為美國(guó)數(shù)學(xué)界的領(lǐng)袖人物。

近十年前我讀過一本書《數(shù)學(xué)家彼得·拉克斯》（Peter Lax, Mathematician: An Illustrated Memoir），這是一本圖文并茂的插圖回憶錄。書的封面印上了一張拉克斯的彩色照片，他站在大黑板前的講臺(tái)邊，頭顱微微上揚(yáng)，左手翻開一本書，顯露出數(shù)學(xué)家的獨(dú)特氣質(zhì)。寫書人赫什（Reuben Hersh，1927-2020）僅比拉克斯小一歲半，卻是后者的博士生。雖然他們的年齡相差無幾，但這位學(xué)生已經(jīng)是老師的第十一個(gè)博士！拉克斯的首位博士生于1953年出爐時(shí)，導(dǎo)師還只有二十七周歲。

《數(shù)學(xué)家彼得·拉克斯》

赫什于1946年，也就是說在他還沒有跨入十九周歲門檻的時(shí)候，就已經(jīng)拿到哈佛大學(xué)的英國(guó)文學(xué)學(xué)士學(xué)位，這給他創(chuàng)造了條件：一生中除了研究數(shù)學(xué)外還研究數(shù)學(xué)文化。他最著名的數(shù)學(xué)人文作品當(dāng)數(shù)1981年與戴維斯（Philip J. Davis，1923-2018）合著的《數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)》（The Mathematical Experience），該書獲得了美國(guó)國(guó)家科學(xué)圖書獎(jiǎng)。兩年前我讀過它，讀得不想上床就寢。

在早期高等教育方面，與赫什的經(jīng)歷頗為相像的是早他兩代的蘇格蘭裔美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家貝爾（Eric Temple Bell，1883-1960）。貝爾的學(xué)士和碩士文憑都隸屬于文學(xué)，但博士論文卻立足在數(shù)學(xué)。他深厚的寫作功力給世人留下了《數(shù)學(xué)大師》（Men of Mathematics）這部著作，影響了像楊振寧、納什（John Nash Jr.，1928-2015）、懷爾斯（Andrew Wiles，1953-）等一眾當(dāng)代數(shù)理精英。赫什的著作《數(shù)學(xué)家彼得·拉克斯》也將書中主角描繪得栩栩如生。在他筆下，拉克斯一次次地展示了應(yīng)用數(shù)學(xué)的理論豐富性，“為純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)這兩個(gè)密不可分、不甚相容的孿生學(xué)科之間通?？梢姷南嗷ゲ蛔鹬靥峁┝艘粋€(gè)獨(dú)特的例外”。

現(xiàn)在，我們就從拉克斯的祖國(guó)出發(fā)，沿著他走過的數(shù)學(xué)之路，琢磨他留下的深深腳印，探尋他將理論與應(yīng)用相結(jié)合的波瀾壯闊的實(shí)踐史。

匈牙利數(shù)學(xué)神童

在數(shù)學(xué)史上，匈牙利最傳奇的數(shù)學(xué)家是非歐幾何創(chuàng)始人之一波耶（JánosBolyai，1802-1860），他被匈牙利人視為民族英雄。這位19世紀(jì)的孤獨(dú)數(shù)學(xué)英雄引出了20世紀(jì)匈牙利數(shù)學(xué)天空的群星燦爛。

匈牙利數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展，一方面由于數(shù)學(xué)家阿拉尼（Dániel Arany，1863-1945）在1894年創(chuàng)立的《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》（K?zépiskolai Matematikai és Fizikai Lapok），其中的“問題征解”，激勵(lì)了許多數(shù)學(xué)愛好者；也得益于“厄特沃什競(jìng)賽”，它以物理學(xué)家厄特沃什（Loránd E?tv?s，1848-1919）的名字命名。一百年前這個(gè)競(jìng)賽的優(yōu)勝者中涌現(xiàn)出了一大批卓越的數(shù)學(xué)家，堪稱“匈牙利奇跡”。他們當(dāng)中有黎斯兄弟——弗里杰斯（Frigyes Riesz，1880-1956）和馬塞爾（Marcel Riesz，1886-1969）、合作者波利亞和賽格（Gábor Szeg?，1895-1985）、布達(dá)佩斯大學(xué)首位猶太人數(shù)學(xué)教授費(fèi)耶爾（Lipót Fejér，1880-1959）。對(duì)他們深有影響的匈牙利數(shù)學(xué)家柯尼希（Gyula K?nig，1849-1913），是德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker，1823-1891）的弟子。柯尼希的兒子戴尼斯（Dénes K?nig，1884-1944）寫出世界上第一本圖論著作。

上世紀(jì)最著名的“火星人”可能是馮·諾伊曼（John von Neumann，1903-1957），比他早一年進(jìn)了同所精英中學(xué)的另一個(gè)“火星人”、1963年諾貝爾物理獎(jiǎng)得主維格納（Eugene Wigner，1902-1995）頗為自卑地談?wù)撍耐骸安还芏嗝绰斆鞯娜?，和馮·諾伊曼一起長(zhǎng)大就一定會(huì)有挫敗感?！?967年諾貝爾物理獎(jiǎng)得主貝特（Hans Bethe，1906-2005）則感嘆：“有馮·諾伊曼這樣的大腦是不是意味著存在比人類更高一級(jí)的生物物種？”這或許是“火星人”的一個(gè)等價(jià)說法。

馮·諾伊曼于1903年降生于布達(dá)佩斯一個(gè)富有的銀行家之府。時(shí)間過了近二十三年，又一個(gè)“火星人”降落到同城一家也很富有的醫(yī)生之家。這個(gè)男孩名叫彼得·拉克斯，有個(gè)哥哥叫約翰（John Lax，1925-2023），后者長(zhǎng)大后成了一名有文學(xué)素養(yǎng)的物理學(xué)家。他們的父親亨里克 (Henrik Lax，1895-1990) 與母親克拉拉·科恩菲爾德 (Klara Kornfield，1895-1973）都是內(nèi)科醫(yī)生，年輕時(shí)相識(shí)于醫(yī)學(xué)院，父親成為名醫(yī)，治過病的名人中有劇作家莫爾納爾(FerencMolnár，1878-1952）和演員嘉寶（Greta Garbo，1905-1990）；前者早拉克斯一年多移民美國(guó)，1941年為他們?nèi)腋懊捞峁┝私?jīng)濟(jì)擔(dān)保。

約翰和彼得的少年堪稱幸福，父母恩愛、生活富足，家有保姆和廚師。好日子持續(xù)到二戰(zhàn)爆發(fā)，很快，匈牙利境內(nèi)反猶口號(hào)震天響。父母當(dāng)機(jī)立斷，決定全家逃往大洋彼岸。1941年11月25日，拉克斯醫(yī)生夫婦拿到了赴美簽證，當(dāng)日帶著兩個(gè)兒子上了火車奔赴葡萄牙里斯本，待到12月5日全家乘船前往紐約，這是之后四年中離開歐洲的最后一艘美國(guó)客船。

少年拉克斯對(duì)數(shù)學(xué)表現(xiàn)出興趣是在他十二歲那年。除了與生俱來的聰慧大腦外，以工程師為職業(yè)而以數(shù)學(xué)家為內(nèi)涵的舅舅對(duì)他很有影響。舅舅科恩菲爾德（Albert Kornfield，1898-1995）是厄特沃什競(jìng)賽的數(shù)學(xué)賽折桂者，他和數(shù)學(xué)賽亞軍但為物理賽冠軍的西拉德成了終生朋友。當(dāng)西拉德和愛因斯坦設(shè)計(jì)出一種新式冰箱時(shí)，科恩菲爾德進(jìn)行了工程設(shè)計(jì)。

彼得進(jìn)了明塔中學(xué)后（這所名校的校友有馮·卡門），對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣爆發(fā)。發(fā)現(xiàn)次子數(shù)學(xué)早慧的父母請(qǐng)來了女性數(shù)學(xué)博士羅莎·彼得（Rózsa Péter，1905-1977）擔(dān)任他的私人教師。她把拉克斯引入了終生獻(xiàn)身數(shù)學(xué)的大道。有趣的是，老師的姓和學(xué)生的名拼寫完全一樣，似乎意味著師徒二人早就有了“數(shù)學(xué)情緣”！

彼得博士可不是普通數(shù)學(xué)人物，她之后成為數(shù)理邏輯的一名強(qiáng)者，被譽(yù)為“遞歸函數(shù)之母”，晚年被選為首位匈牙利科學(xué)院女院士。她寫了兩本有影響的書，一本是《遞歸函數(shù)》（Recursive Functions；初版為德語），為本領(lǐng)域的世界首部著作；另一本是普及讀本《玩轉(zhuǎn)無限：數(shù)學(xué)探索之旅》（Playing with Infinity: Mathematical Explorations and Excursions；初版為匈牙利語，有中譯本），涉及數(shù)論和邏輯，已被翻譯成十幾種語言。彼得博士影響了少年彼得。對(duì)于這位引路人，拉克斯回憶道：

“羅莎·彼得真棒。她沉浸于數(shù)學(xué)，感興趣于人們?cè)鯓铀伎?。那時(shí)我十二三歲，她做的第一件事是讓我讀漢斯·拉德馬赫和奧托·特普利茨合寫的《數(shù)學(xué)欣賞》?！?/p>

這本膾炙人口的經(jīng)典作品振奮了許多青少年，培養(yǎng)出他們對(duì)數(shù)學(xué)推理的熱愛，也加速了拉克斯的成長(zhǎng)。彼得老師不滿足于僅灌輸知識(shí)，而是常會(huì)激勵(lì)小彼得“你能自己證明嗎？下周來時(shí)試一下吧?！崩蠋熯€帶他去聽數(shù)學(xué)演講，他成了最年少的參會(huì)者。

1940年，彼得博士讓年僅十四歲的拉克斯非官方地參加了厄特沃什競(jìng)賽，因?yàn)樗皇歉咧猩?，還不夠資格注冊(cè)參加。正式參賽者們坐在封閉的房間里進(jìn)攻三道競(jìng)賽題。拉克斯拿到題目后完美解答。第二年他再次非正式參賽，同樣做對(duì)了所有三道題，成了數(shù)學(xué)競(jìng)賽的“無冕之王”。那年深秋他們?nèi)胰颂与x祖國(guó)前往美國(guó)，一個(gè)數(shù)學(xué)小神童將在新大陸茁壯成長(zhǎng)。

拉克斯離開匈牙利前，彼得博士和柯尼希教授給在美國(guó)的馮·諾伊曼和賽格各自寫了信，請(qǐng)他們關(guān)注這位十五歲少年的非凡潛力。賽格太太是拉克斯母親的第一代表親，賽格自然會(huì)關(guān)照這個(gè)數(shù)學(xué)早熟的小親戚?？履嵯＝o馮·諾伊曼的信寫于1941年11月12日：

“我與年輕的彼得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域接觸已有一年多。通過與他的私人交談以及他所做的計(jì)算工作（包括解決基礎(chǔ)數(shù)學(xué)問題），我確信這位年輕人擁有非凡的數(shù)學(xué)天賦。例如，連續(xù)兩年，他在數(shù)學(xué)和物理學(xué)會(huì)的競(jìng)賽中，都以遠(yuǎn)超正式參賽學(xué)生的水平完成了任務(wù)。如果能夠進(jìn)一步培養(yǎng)和支持這位杰出的人才，這不僅符合彼得的利益，也符合整個(gè)社會(huì)的利益。因此，我懇請(qǐng)您，如果彼得·拉克斯向您提出問題或?qū)で蠼ㄗh，請(qǐng)您以對(duì)待未來科學(xué)家應(yīng)有的善意回應(yīng)他?！?/p>

美國(guó)成長(zhǎng)歲月

抵達(dá)美國(guó)后，拉克斯全家定居紐約，彼得進(jìn)了史岱文森高中讀書，但從未修過數(shù)學(xué)課，因?yàn)檫@些課對(duì)他而言太初等。然而，他要花大量時(shí)間學(xué)英文。還在讀高中時(shí)，長(zhǎng)他十三歲的祖國(guó)同胞埃爾德什（Paul Erd?s，1913-1996）邀請(qǐng)他訪問了普林斯頓高等研究院，特地向愛因斯坦介紹他是一位前途無量的匈牙利年輕數(shù)學(xué)家。愛因斯坦問：“為什么是匈牙利人？”果然，拉克斯一生中發(fā)表的首篇數(shù)學(xué)文章，解決了埃爾德什的一個(gè)猜想，證實(shí)埃爾德什之前的斷言不假。

因?yàn)槭艿阶鎳?guó)數(shù)學(xué)家朋友的重托，馮·諾伊曼對(duì)拉克斯很關(guān)心，建議他讀完高中后去找自己在哥倫比亞大學(xué)的合作者默里（Francis Murray，1911-1995）。而賽格建議他去投奔柯朗，因?yàn)榭吕什粌H善于同年輕人一起工作，而且建立了一個(gè)哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)研究所式的研究機(jī)構(gòu)。拉克斯認(rèn)為“這是最好不過的建議”。

于是，拉克斯先在紐約大學(xué)讀了三個(gè)學(xué)期。他成了明星學(xué)生，比如，在一門復(fù)分析課程結(jié)束前，他就成了該課的“講師”。身材高大、長(zhǎng)相英俊的他也在課堂里遇見了他未來的太太安妮莉·卡恩（Anneli Cahn，1922-1999），不過長(zhǎng)他四歲的她那時(shí)還是別人的太太。

在完成學(xué)業(yè)前，拉克斯被征召入伍美國(guó)陸軍。不久他被送到得克薩斯農(nóng)工大學(xué)繼續(xù)深造，隨后又被派往橡樹嶺國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，繼而進(jìn)了洛斯阿拉莫斯的原子彈曼哈頓計(jì)劃。在那里他從計(jì)算器操作員干起，但最終轉(zhuǎn)向于數(shù)學(xué)研究。1944年，他發(fā)表了首篇學(xué)術(shù)論文《對(duì)埃爾德什關(guān)于多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的一個(gè)猜想的證明》（Proof of a conjecture of P. Erd?s on the derivative of a polynomial）。根據(jù)谷歌學(xué)術(shù)網(wǎng)頁上的記錄，該文迄今為止已被引用了五百多次。

二戰(zhàn)結(jié)束后，拉克斯在洛斯阿拉莫斯又待了一年，同時(shí)在新墨西哥大學(xué)修課，然后又去斯坦福大學(xué)塞格和波利亞處學(xué)習(xí)了一個(gè)學(xué)期。1946-1947學(xué)年，他回到紐約大學(xué)，當(dāng)年畢業(yè)。拉克斯留在了紐約大學(xué)攻讀研究生學(xué)位，導(dǎo)師為德裔數(shù)學(xué)家弗里德里希斯（Kurt Friedrichs，1901-1982），于1949年獲博士學(xué)位，博士論文是《兩個(gè)獨(dú)立變量的非線性雙曲偏微分方程組》（Nonlinear System of Hyperbolic Partial Differential Equations in Two Independent Variables）。

拉克斯和安妮莉于1948年結(jié)婚，他們恩愛一生，共同生活到金婚之年，直至太太去世。愛情的結(jié)晶是兩個(gè)兒子；約翰尼（Johnny Lax，1950-1982）與吉米（Jimmi Lax，1954-），前者成了歷史學(xué)家，70年代中期任教于美國(guó)第一家女子學(xué)院——曼荷蓮學(xué)院，但不幸在三十二歲那年駕車去胡佛總統(tǒng)圖書館途經(jīng)芝加哥時(shí)，被一醉漢司機(jī)撞死。同年拉克斯夫婦在曼荷蓮學(xué)院建立了約翰尼·拉克斯紀(jì)念講座。

安妮莉去世后，拉克斯迎娶了柯朗的小女兒、樂團(tuán)首席中提琴家洛里（Lori Courant，1928-2015），后者于1954年所嫁的伯科維茨（Jorome Berkowitz，1928-1998）在拉克斯之后出身同一師門，也留在同一研究所任教?？吕实拇笈畠?、生物學(xué)博士格特魯?shù)拢℅ertrude Courant，1922-2014）則嫁給了莫澤（Jürgen Moser，1928-1999），他也曾在柯朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所任教，當(dāng)過三年的所長(zhǎng)，并于1995年榮獲了沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。如果聯(lián)想到柯朗本人娶了哥廷根大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)教授龍格（Carl Runge，1856-1927）之女為妻，這個(gè)兩代數(shù)學(xué)家之間的“翁婿關(guān)系”傳統(tǒng)被他的女兒們發(fā)揚(yáng)光大了。洛里的音樂細(xì)胞結(jié)合彼得的數(shù)學(xué)細(xì)胞，無疑給老年的拉克斯夫婦帶來了生命的新樂章！

二十三周歲上被人稱為“博士”的拉克斯，沒有忘記事業(yè)起步的寶地洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，于1950年再度返回那里工作了一年。第二年，他回到紐約大學(xué)柯朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所擔(dān)任助理教授，從此他再也沒有離開這個(gè)研究所。1958年，他升為正教授，從1972年到1980年，他擔(dān)任所長(zhǎng)。

拉克斯的科學(xué)人生成長(zhǎng)史是天才基因、名師指點(diǎn)加上個(gè)人奮斗的嫁接果實(shí)。少年時(shí)代巧遇彼得博士而被精心栽培成可造之材，青年時(shí)代被一代巨匠弗里德里希斯帶進(jìn)了偏微分方程的廣闊天地，在之后大約一個(gè)甲子的科學(xué)活動(dòng)中，他的累累成果，震撼了數(shù)學(xué)世界，獲得了幾大國(guó)際獎(jiǎng)勵(lì)。在進(jìn)入下一節(jié)專門介紹拉克斯的主要學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)前，我們先來列舉一下他被授予的主要獎(jiǎng)項(xiàng)，由此可見他在數(shù)學(xué)界的名望和地位。

基于研究：1975年，諾伯特·維納獎(jiǎng)；1983年，國(guó)家科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)值分析獎(jiǎng)；1986年，國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)；1987年，沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)；1992年，斯蒂爾獎(jiǎng)；2005年，阿貝爾獎(jiǎng)；2013年，羅蒙諾索夫金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

基于寫作：1966年和1973年，萊斯特·R·福特獎(jiǎng)；1974年，肖維內(nèi)獎(jiǎng)。

冠名講座：1969年，馮·諾伊曼講座；1972年，赫爾曼·外爾講座；1973，赫德里克講座；2007年，喬賽亞·威拉德·吉布斯講座。

此外他是下述科學(xué)院的院士或外籍院士：美國(guó)國(guó)家科學(xué)院；美國(guó)藝術(shù)和科學(xué)院；法國(guó)科學(xué)院；蘇聯(lián)科學(xué)院；匈牙利科學(xué)院；中國(guó)科學(xué)院。他是全世界十一所大學(xué)的名譽(yù)博士，包括北京大學(xué)（1993）。

拉克斯的數(shù)學(xué)成就

因?yàn)槲沂怯?jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)出身，我將首先介紹拉克斯對(duì)數(shù)值分析領(lǐng)域最著名的貢獻(xiàn)——“拉克斯等價(jià)原理”，這是關(guān)于求解偏微分方程數(shù)值解三個(gè)概念——相容性、穩(wěn)定性和收斂性之間關(guān)系的一條基本原理。它出自拉克斯與美國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家里希特邁爾（Robert Richtmyer，1910-2003）于1956年在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)通訊》上發(fā)表的論文《線性有限差分方程穩(wěn)定性綜述》（Survey of the stability of linear finite difference equations）。

解微分方程的差分方法基本思想是用差商取代導(dǎo)數(shù)，將給定的微分方程轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程組，其未知元是原先連續(xù)方程的解在離散網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值。相容性意味著差分方程“逼近”微分方程，穩(wěn)定性指的是當(dāng)網(wǎng)格尺寸越來越小時(shí)，對(duì)應(yīng)差分格式的解不會(huì)“崩潰”，收斂性則表示當(dāng)網(wǎng)格尺寸趨向于零時(shí)，差分方程的解“收斂”到微分方程的精確解。

這三個(gè)概念之間的關(guān)系如何？之前有數(shù)值工作者認(rèn)為，不穩(wěn)定數(shù)值格式的崩潰是由于舍入誤差的放大。在洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，拉克斯聽了一個(gè)報(bào)告，演講者也肯定了上一句斷言，并說如果有一臺(tái)有無窮精度的計(jì)算機(jī)，那么甚至不穩(wěn)定的格式也會(huì)收斂！

在這個(gè)流行的觀點(diǎn)下，有人說，為了確認(rèn)格式的有效性，必須同時(shí)證明穩(wěn)定性和收斂性。然而，拉克斯等價(jià)原理指出：求解線性偏微分方程，一個(gè)相容的數(shù)值逼近格式是收斂的當(dāng)且僅當(dāng)它是穩(wěn)定的。這個(gè)定理的價(jià)值在于它否定了不穩(wěn)定格式的收斂性，糾正了之前的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。然而，如此重要的結(jié)論，其嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明只有大概一頁紙長(zhǎng)，僅基于泛函分析中的“一致有界原理”，是抽象分析學(xué)結(jié)果的一個(gè)直接應(yīng)用。這正顯示了拉克斯的強(qiáng)項(xiàng)：將純粹數(shù)學(xué)的思想用于解決實(shí)際問題。拉克斯在三十歲時(shí)展現(xiàn)給世人的這項(xiàng)工作，也隱含了一個(gè)關(guān)鍵性的理念：要想在計(jì)算數(shù)學(xué)做出有影響力的工作，純粹數(shù)學(xué)的根基很起作用。這一點(diǎn)純數(shù)學(xué)功力深厚的計(jì)算數(shù)學(xué)家馮康（1920-1993）早就對(duì)他鐘愛的學(xué)生提醒過。

上面講的是拉克斯在偏微分方程的計(jì)算方面做出的貢獻(xiàn)，它具有基本的重要性，因而最廣為人知。他對(duì)于偏微分方程領(lǐng)域影響力巨大的一項(xiàng)純理論性研究在1957年問世：《振蕩初值問題的漸近解》（Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems），登于《杜克數(shù)學(xué)雜志》。我們引用拉克斯對(duì)此項(xiàng)工作的三句話來領(lǐng)略一下這篇文章的重要性：“它是對(duì)正在發(fā)生的事情的微局部描述。它結(jié)合了從宏觀和微觀兩個(gè)角度來看待問題，這賦予了它強(qiáng)大的力量。微局部觀點(diǎn)的數(shù)值實(shí)現(xiàn)是通過小波及其類似的方法，這些方法在數(shù)值上非常強(qiáng)大。”

文章中的“微局部”思想，后來被1962年菲爾茲獎(jiǎng)得主霍爾曼德爾（Lars H?rmander，1931-2012）等人推廣，構(gòu)成了一門新學(xué)問“傅里葉積分算子微積分”。拉克斯的博士導(dǎo)師弗里德里希斯以及在柯朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所的同學(xué)兼同事尼倫伯格（Louis Nirenberg，1925-2020）也位列其中，他們發(fā)展出了“偽微分算子”這一通過傅里葉變換的微分算子推廣物。該術(shù)語也稱為“微局部分析”。

在二十年前出版（八年后重印）的《拉克斯論文選集》，由著名的純粹數(shù)學(xué)家薩納克（Peter Sarnak，1953-）和應(yīng)用數(shù)學(xué)家馬伊達(dá)（Andrew Majda，1949-2021）聯(lián)合編輯。選集包括九個(gè)部分：偏微分方程；偏微分方程的差分逼近；雙曲守恒律系統(tǒng)；可積系統(tǒng)；歐幾里得空間內(nèi)的散射理論；自守函數(shù)的散射理論；泛函分析；分析；代數(shù)。它們分屬純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)，必須要請(qǐng)這兩個(gè)領(lǐng)域的各自名家來編輯成書。該書從拉克斯自1944年到2003年發(fā)表的一百五十八篇研究論文中，選擇了五十八篇。

在維基百科關(guān)于拉克斯的條目中，列出了以他名字命名的數(shù)學(xué)術(shù)語，除了前述的等價(jià)原理外，還有拉克斯-米爾格拉姆定理、拉克斯-弗里德里希斯方法、拉克斯-溫德羅夫方法、拉克斯-溫德羅夫定理、伯林-拉克斯定理和拉克斯對(duì)。1954年證明的拉克斯-米爾格拉姆定理屬于泛函分析，為希爾伯特空間上的某些泛函提供了弱形式，對(duì)偏微分方程的理論和計(jì)算特別有用。拉克斯-弗里德里希斯方法和拉克斯-溫德羅夫方法都是用于雙曲型偏微分方程的差分方法；而拉克斯-溫德羅夫定理說，如果雙曲守恒律系統(tǒng)的保守?cái)?shù)值格式收斂，那么它就會(huì)收斂到弱解。伯林-拉克斯定理分別由伯林（Arne Beurling，1905-1986）于1948年和拉克斯于1959年發(fā)現(xiàn)，它刻畫了哈代空間的平移不變子空間。拉克斯對(duì)是可積系統(tǒng)中的一對(duì)與時(shí)間相關(guān)的矩陣或算子，它們滿足相應(yīng)的微分方程（稱為拉克斯方程），是他在研究孤立子時(shí)引進(jìn)的。

拉克斯在其深耕的散射理論和激波領(lǐng)域（兩者均橫跨純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)）留下了專著，其中對(duì)散射理論他寫了兩本書，都是和泛函分析名家菲利普斯（Ralph Phillips，1913-1998）合著的，分別為1967年出版、1989年修訂再版的《散射理論》（Scattering Theory）和1976年出版的《自守函數(shù)的散射理論》（Scattering Theory for Automorphic Functions）。數(shù)學(xué)史上德國(guó)人克萊因（Felix Klein，1849-1925）同法國(guó)人龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912）暗地里競(jìng)賽研究自守函數(shù)，前者最終因身體透支而敗下陣來，可見這是挑戰(zhàn)過人類高智商人物的一個(gè)學(xué)科（編者注：可參見《19世紀(jì)末的數(shù)學(xué)高峰：龐加萊的自守函數(shù)研究》）。拉克斯和菲利普斯能將具體歐氏空間的散射理論推廣到更加抽象的散射理論，實(shí)屬非凡的創(chuàng)造。

《自守函數(shù)的散射理論》和《雙曲守恒定律系統(tǒng)和激波的數(shù)學(xué)理論》

我大學(xué)同學(xué)魏木生的博士論文與散射理論有關(guān)。魏木生1963年考進(jìn)江蘇省常州高級(jí)中學(xué)試點(diǎn)班，學(xué)習(xí)成績(jī)穩(wěn)居年級(jí)前三，尤其在數(shù)理化上一直是獨(dú)占鰲頭。高二時(shí)華羅庚教授視察該校，聽說到這個(gè)“數(shù)學(xué)小才子”，便出了幾道題小試了他，隨后稱贊道“是一棵數(shù)學(xué)苗子”。然而魏木生沒有拉克斯幸運(yùn)，1966年開始的“文化大革命”讓這位六六屆高中畢業(yè)生在失學(xué)十一年后，才通過恢復(fù)高考考進(jìn)了南京大學(xué)數(shù)學(xué)系的計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)，成為七七級(jí)一員。（他和我的其他同學(xué)高考前后的成長(zhǎng)歷程以及大學(xué)課堂內(nèi)外的生動(dòng)故事被我寫進(jìn)了《南大數(shù)學(xué)七七級(jí)》，此書2025年由新加坡世界科學(xué)出版集團(tuán)旗下的八方文化創(chuàng)作室出版。）

魏木生

魏木生以江蘇省唯一的初等數(shù)學(xué)正題和高等數(shù)學(xué)附加題雙滿分，成為當(dāng)屆高考江蘇省統(tǒng)考數(shù)學(xué)單科第一名。本科四年，他的數(shù)學(xué)成績(jī)繼續(xù)保持班級(jí)領(lǐng)先，畢業(yè)時(shí)被公費(fèi)派往布朗大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系攻讀博士學(xué)位。他的博士論文指導(dǎo)老師有兩位，其中一個(gè)是喬治 (George Majda，1952-2004)，其哥哥就是上面提到過的拉克斯論文選集的編輯之一、美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士馬伊達(dá)；第二位導(dǎo)師是斯特勞斯（Walters Strauss，1937-）。這兩位教授分別從事偏微分方程數(shù)值解和理論的研究，魏木生的博士論文論題是帶緊致位勢(shì)的波動(dòng)方程的散射頻率的數(shù)值計(jì)算。散射理論在這之前的70年代，由于拉克斯等人的開創(chuàng)性工作，已經(jīng)成為非常熱門同時(shí)又是難度極大的數(shù)學(xué)問題。

魏木生的導(dǎo)師和拉克斯教授交流了魏木生的研究想法，拉克斯對(duì)散射波的數(shù)值漸近解提出了一個(gè)問題。經(jīng)過一年半的仔細(xì)推敲、分析和計(jì)算，魏木生采用自己提出的幾個(gè)關(guān)鍵思路，成功地計(jì)算出若干主要的散射頻率，計(jì)算結(jié)果與理論頻率高度吻合，并圓滿解答了拉克斯關(guān)于數(shù)值漸近解的問題，解惑了最初的疑問。1986年春，魏木生完成博士論文答辯，得到了拉克斯的高度評(píng)價(jià)。次年，當(dāng)魏木生在明尼蘇達(dá)大學(xué)數(shù)學(xué)及應(yīng)用研究所做博士后時(shí)，他見到了來訪的拉克斯教授，后者祝賀他做出了一項(xiàng)很好的工作，并給他寫了一封熱情洋溢的推薦信?；蛟S這封極具分量的信對(duì)他回國(guó)工作起到關(guān)鍵作用：1988年，魏木生在密歇根州立大學(xué)完成博士后研究后如期歸國(guó)，落腳的華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系馬上聘他為副教授。

魏木生在拉克斯散射理論的指引下寫出了一篇有開創(chuàng)性意義的博士論文，他計(jì)算散射頻率的方法被他人成功地用于天體物理中黑洞問題的研究。由于在計(jì)算過程中用到虧秩矩陣，在著名數(shù)值代數(shù)學(xué)家戈勒布（Gene Golub，1932-2007）的鼓勵(lì)下，他開啟了虧秩矩陣最小二乘問題攝動(dòng)理論的研究。廣義來看，這是拉克斯巨大學(xué)術(shù)影響力所帶來的結(jié)果。

拉克斯于1973年由美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)出版了一部包含激波理論的專著《雙曲守恒定律系統(tǒng)和激波的數(shù)學(xué)理論》（Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves）。之后的幾十年間，激波計(jì)算成為科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域中的一個(gè)重要組成部分。

普及數(shù)學(xué)的先鋒

拉克斯不局限于只當(dāng)數(shù)學(xué)科學(xué)家，終其一生他還是一位積極的數(shù)學(xué)教育家，寫了多部風(fēng)格獨(dú)特、極受歡迎的教科書，范圍廣博，從微積分、線性代數(shù)到泛函分析都有。他的書也教得很好，和他的前輩馮·卡門一樣廣受稱贊。在他獲得的眾多獎(jiǎng)項(xiàng)中，便包括1995年紐約大學(xué)授予他的杰出教學(xué)獎(jiǎng)。此外，他為美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的旗艦雜志《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》寫了多篇闡述性文章，其中的一篇筆者曾經(jīng)讀過，將在本節(jié)后面簡(jiǎn)單介紹。

拉克斯寫教科書的一個(gè)動(dòng)因是對(duì)同類教材的不甚滿意，于是決定親自出馬。照理說，像他這樣的創(chuàng)造型大學(xué)者，對(duì)寫教材這類事，尤其是像微積分這樣的“初等教科書”，不必勞駕自己下山操刀了，況且研究家們大都在忙于研究，很難擠出時(shí)間寫作大學(xué)生讀物。這里僅以拉克斯出版的《線性代數(shù)》（Linear Algebra）研究生教材為例，試圖梳理他對(duì)教科書寫作的理念。此書假定讀者已經(jīng)修過線性代數(shù)的初級(jí)課程，包含了若干線性代數(shù)一般教科書內(nèi)難得見到的材料，并有許多物理應(yīng)用。

幾十年來，有兩類線性代數(shù)的教材，一種可視為“有限維空間的泛函分析”，這種充滿集合論語言的寫作風(fēng)格，以匈牙利裔美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（Paul Halmos，1916-2006）的經(jīng)典名著《有限維向量空間》（Finite Dimensional Vector Spaces）為代表。另一種則以矩陣為工具，以計(jì)算為特色，展現(xiàn)了許多與求解線性方程組相關(guān)的技術(shù)和定理。前者可能對(duì)訓(xùn)練未來的分析數(shù)學(xué)家有益，應(yīng)用學(xué)科的學(xué)生可能更鐘情后者。

認(rèn)識(shí)到線性代數(shù)在高速計(jì)算機(jī)時(shí)代“線性數(shù)值分析”中越發(fā)重要的作用，拉克斯在他的《線性代數(shù)》中放進(jìn)了不少對(duì)當(dāng)代科技發(fā)展十分有用但在其他教材中鮮為人知的“分析結(jié)果”，并插入了許多物理應(yīng)用詮釋這些理論。他在該書的導(dǎo)言中坦誠(chéng)指出，“線性代數(shù)美妙之處，對(duì)分析學(xué)家和物理學(xué)家如此有用，卻經(jīng)常在教科書中被忽略”。他的目的是減少理論與應(yīng)用之間的失衡，用純粹數(shù)學(xué)之手，寫出應(yīng)用數(shù)學(xué)之書。

一篇刊登在2001年11月期《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上的書評(píng)這樣寫道：“我認(rèn)為這本書值得在每個(gè)數(shù)學(xué)家的書架上都占有一席之地。它的證明直接、新穎、優(yōu)雅，其呈現(xiàn)方式也啟發(fā)人們重新思考那些有時(shí)過于千篇一律的內(nèi)容?！?/p>

分析數(shù)學(xué)家克蘭茨（Steven G. Krantz，1951-）對(duì)拉克斯于2002年出版的研究生教科書《泛函分析》（Functional Analysis）的書評(píng)是：“本書的學(xué)習(xí)者將獲得真正的教育——不僅在基礎(chǔ)泛函分析方面，更在實(shí)際的泛函分析實(shí)踐方面。本書之所以具有真正的力量和權(quán)威，是因?yàn)樗怯梢晃辉谶^去六十年中推動(dòng)這些思想發(fā)展的大師所著?！?/p>

因其出色的闡述性寫作，拉克斯于1974年榮獲美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的肖維內(nèi)獎(jiǎng)，這是它每年頒發(fā)的最高寫作獎(jiǎng)。他發(fā)表于《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》的文章被這個(gè)全世界讀者人數(shù)最多的數(shù)學(xué)雜志授予萊斯特·R·福特獎(jiǎng)兩次。第一次是在1966年，獲獎(jiǎng)的文章是《偏微分方程的數(shù)值解》（Numerical solutions of partial differential equations），第二次是在七年后，獲獎(jiǎng)文章為《激波的形成和衰減》（The formation and decay of shock waves）。

下面介紹他為《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》撰寫的另一篇文章，由此可見拉克斯教授即便在早已功成名就的花甲之年，依然不忘為全世界熱愛數(shù)學(xué)的讀者們端上一盤美味的科普佳肴。

垂足三角形是平面幾何中的一個(gè)術(shù)語。任給一個(gè)三角形，從它的每個(gè)頂點(diǎn)作其對(duì)邊的垂線，由此得到的三個(gè)垂足決定了一個(gè)新的三角形，稱為原先三角形的“垂足三角形”。從一個(gè)初始三角形出發(fā)，依次作出對(duì)應(yīng)的垂足三角形，形成一個(gè)無窮序列。最終的形狀可能會(huì)是怎樣的？

郭永懷、錢偉長(zhǎng)和林家翹于上世紀(jì)40年代初留學(xué)多倫多大學(xué)時(shí)的碩士導(dǎo)師辛格 (John Synge, 1897-1995)，在他活到九十二歲時(shí)的1989年，與人合作在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上發(fā)表了文章，專門研究垂足三角形迭代的周期點(diǎn)問題。當(dāng)拉克斯讀到文章后，很快寫出了一篇新文章《垂足三角形序列的遍歷性》（The ergodic character of sequences of pedal triangles），第二年刊登在同一期刊第九十七卷第五期上。

遍歷理論是純粹數(shù)學(xué)的一門綜合學(xué)科，凝聚著許多分支的內(nèi)涵，如測(cè)度論、群論、抽象代數(shù)和拓?fù)涞?。天賜良機(jī)，拉克斯得以借助一個(gè)具體模型普及這門重要學(xué)科——對(duì)應(yīng)于構(gòu)造垂足三角形的平面上標(biāo)準(zhǔn)直角三角形區(qū)域的自映射，它是區(qū)間上的帳篷函數(shù)的二維推廣。通過對(duì)它的迭代分析，拉克斯用大學(xué)生能理解的微積分語言證實(shí)，垂足三角形的迭代過程是“遍歷”的，即相應(yīng)的那個(gè)二維帳篷映射的迭代點(diǎn)進(jìn)入定義域內(nèi)任一子區(qū)域的頻率就等于這個(gè)子區(qū)域的面積除以定義域的面積。讀者們從拉克斯的文章，理解了遍歷理論的基本概念。

拉克斯與他的前輩同胞科學(xué)巨人馮·諾伊曼在許多方面很相像。他們都是公認(rèn)的數(shù)學(xué)奇才，在數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域留下深刻的印記，都腳踏純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的“連環(huán)大船”，乘風(fēng)破浪，所向披靡。上世紀(jì)前半葉，馮·諾伊曼先以純粹數(shù)學(xué)的三大成就——平均遍歷定理、量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和算子環(huán)論馳名天下；一旦他置身于原子彈研制等戰(zhàn)時(shí)研究，他立刻華麗轉(zhuǎn)身為杰出的應(yīng)用數(shù)學(xué)家，并且與費(fèi)米（Enrico Fermi，1901-1954）和烏拉姆（Stanis?aw Ulam，1909-1984）等人開創(chuàng)了“非線性分析”這一覆蓋面廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域；當(dāng)他最早就線性方程組數(shù)值計(jì)算而提出條件數(shù)概念，以及對(duì)微分方程離散計(jì)算方法穩(wěn)定性的分析時(shí)，他的身份則又添上了“領(lǐng)頭計(jì)算數(shù)學(xué)家”的標(biāo)簽。可以說，他是上世紀(jì)的一代全能數(shù)學(xué)家，在他的眼里和在他的實(shí)踐中，所謂的“純粹”“應(yīng)用”和“計(jì)算”三大限定性形容詞統(tǒng)統(tǒng)都是數(shù)學(xué)界人士給自己套上的精神枷鎖甚至職業(yè)桎梏。

拉克斯對(duì)馮·諾伊曼佩服得五體投地，多次在寫作或演講中提及他的天才和洞見。某次當(dāng)他談?wù)擇T·諾伊曼的科學(xué)通信時(shí)，這樣寫道：“要衡量馮·諾伊曼的成就，不妨想象一下，如果他能活到正常的年齡，他肯定會(huì)獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。如果諾貝爾獎(jiǎng)設(shè)立計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，他也會(huì)獲得這些獎(jiǎng)項(xiàng)。因?yàn)樗谖锢韺W(xué)，尤其是量子力學(xué)方面的貢獻(xiàn)，這些信件的作者應(yīng)該被認(rèn)為是三項(xiàng)諾貝爾獎(jiǎng)得主，或者可能是三個(gè)半諾貝爾獎(jiǎng)得主?！?/p>

至于拉克斯，他是數(shù)學(xué)界“馮·諾伊曼二世”，是繼承馮·諾伊曼衣缽的新一代“火星人”。他的逝世，意味著參加過洛斯阿拉莫斯核彈研制的那批科學(xué)家中的最年輕的一位，走進(jìn)了歷史。他的數(shù)學(xué)偉績(jī)和精彩人生將被人銘記，數(shù)學(xué)家們?cè)谧非髷?shù)學(xué)真理、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的大道上繼續(xù)跟隨他的腳步勇往直前。

寫于2025年8月9日星期六