導語

在科研世界中，無論你研究的是人工智能、生物信息、網絡科學，還是物理與工程，幾乎所有復雜系統(tǒng)的建模與推理都指向同一種底層語言——線性代數。它不僅是計算公式的集合，更是一名科研人理解“結構”、刻畫“變換”、判斷“穩(wěn)定性”、提取“信息”的基本思維框架。本課程以系統(tǒng)科學的視角重新解構線性代數，帶你越過技巧、直達本質，在跨學科的真實問題中建立起科研必備的數學基石。

集智學園聯(lián)合清華大學數學博士諸葛昌靖老師開設「線性代數：一名合格科研人的筑基課」，課程將于12月20日開啟，現在加入可享早鳥價格。

集智主講的進階之路

在集智社區(qū)，學習從來不是一條單向的軌道，而是一張由問題、對話與協(xié)作織就的知識網絡。本次課程主講老師諸葛昌靖，正是這張網絡中一個鮮活的節(jié)點。

諸葛昌靖，北京工業(yè)大學數學統(tǒng)計學與力學學院副研究員，清華大學數學博士，研究方向：計算系統(tǒng)生物學。致力于數學與生物醫(yī)學的交叉研究，聚焦癌癥的演化機制及放化療、血液病、網絡藥理學及傳染病等復雜生物醫(yī)學問題的多尺度動力學建模與量化分析。

去年，他最初是以一名普通參與者的身份加入集智的讀書會。在探討復雜系統(tǒng)、認知科學和網絡動力學的過程中，他逐漸意識到：“只有在科研中真正感受到需要用系統(tǒng)思維去建模的時候，才知道自己缺什么數學工具?！倍乔『锰峁┝诉@樣一個環(huán)境——既有深入淺出的基礎講解，又有緊貼前沿的研究分享。更讓他感到珍貴的，是社區(qū)里活躍的討論氛圍：“大家不只是聽，而是真的在思考、提問、互相啟發(fā)。很多報告之后的群聊，常常能延續(xù)出新的思路。”

這份“探險”的熱情很快轉化為貢獻。憑借在數學基礎和系統(tǒng)思維上的深厚積累，他在讀書會中頻頻提出獨到見解，引發(fā)熱烈討論。漸漸地，學員們開始“催更”：“能不能開一門數學基礎課？我們想跟著你學系統(tǒng)科學用線性代數！”——這種來自同行和學習者的自發(fā)認可，成為他決定開設本課程的重要動力。

《》學員交流群總結

于是，諸葛老師完成了從“聽眾”到“講師”的轉變，正在精心籌備這門《線性代數》課程。而他的成長路徑，恰恰體現了集智社區(qū)的一種獨特學習模式：你可以在一場關于腦網絡的讀書會中遇到“Laplace矩陣”的概念，發(fā)現需要補足譜圖理論；于是回看相關課程或發(fā)起討論，在群友的幫助下厘清思路；掌握后，又帶著新工具回到另一個關于多智能體系統(tǒng)的研討中，提出自己的建模想法。

這種“問題驅動—互助澄清—實踐遷移”的循環(huán)，并不依賴于身份或權限，而是源于社區(qū)成員之間的真誠交流與知識共享。在集智課程交流群只要你愿意提問、參與、貢獻，就能在這個生態(tài)中找到自己的成長路徑。

什么是線性代數

線性代數研究向量空間及其上的線性映射，是現代科學最通用、最具結構性的數學語言之一。它的核心對象——向量、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、內積空間——不僅是抽象的代數元素，更是描述狀態(tài)、關系、變換、對稱性與降維結構的基本工具。

在復雜系統(tǒng)、人工智能、神經科學、物理學等學科中，幾乎所有關鍵問題都可以在某種線性框架中被重新表達，線性代數不僅是一門基礎課程，更是理解現代科學方法論的入口。

線性代數中的關鍵思想

• 線性結構：系統(tǒng)狀態(tài)可疊加、可縮放，行為具有可預測性。

• 基與坐標：同一對象在不同視角下有不同表示，但本質不變。

• 秩與零空間：刻畫信息的有效維度與冗余結構。

• 特征方向：系統(tǒng)長期演化的主導模式由特征值決定。

• 內積與正交性：賦予抽象空間幾何意義，實現信號分離與降噪。

• 矩陣分解：將復雜關系拆解為簡單成分，揭示潛在結構。

這些思想共同構成一種“系統(tǒng)觀”：從局部邏輯出發(fā)，理解整體行為；從數據表象之下，挖掘結構本質。

課程主旨

本課程旨在通過深入講解線性代數的核心概念與邏輯結構，結合系統(tǒng)科學思想，引導學生理解線性空間、矩陣運算、特征分解等基礎知識的本質，并將這些抽象概念與現代跨學科應用（尤其是生物系統(tǒng)、數據分析、網絡科學）緊密結合。

核心思想：邏輯深入、系統(tǒng)整體性、概念清晰、跨學科聯(lián)系緊密、注重思維方法而非單純計算。

課程目標

1. 邏輯理解

• 掌握向量空間、線性映射、矩陣及特征值等核心概念的邏輯結構

系統(tǒng)科學思維

• 理解線性代數的概念和方法在系統(tǒng)建模等問題中的意義和作用

跨學科應用能力

• 將線性代數應用于數據分析、生物系統(tǒng)建模、網絡分析等實際問題

• 理解矩陣運算、特征分解、PCA、Laplace 矩陣等方法在跨學科系統(tǒng)中的意義

抽象思維與建模能力

• 培養(yǎng)從局部概念到整體系統(tǒng)的抽象思維能力

• 學會用線性結構分析復雜系統(tǒng)、數據結構及網絡結構

數學思維訓練

• 強化邏輯推理、證明思維及概念間的內在聯(lián)系

• 通過案例和應用體會數學概念和方法在分析實際問題中的遷移與普適性

課程大綱

第一講：游戲角色如何平滑變形？——線性映射與向量空間如何保持結構不變性

（圖片來源：《極樂迪斯科》2019年TGA最佳獨立游戲）

現代游戲圖形并非逐像素“手繪”，而是通過線性代數描述物體的形狀、旋轉、縮放與空間關系。人物骨骼動畫（Skeletal Animation）中，角色的肢體是由一組“關節(jié)矩陣”控制的；每次移動或旋轉對應一次線性變換，并通過矩陣乘法將角色所有頂點一起變形。這種“一致性變形”保證角色不會被拉裂或扭曲。本質上，渲染管線中的 Model、View、Projection 三大變換，都遵循保持結構的線性映射規(guī)則。

本講將帶你從直觀的3D圖形變換出發(fā)，走進抽象的向量空間，理解“線性”為何意味著可疊加、可縮放、可預測。這不僅是計算機圖形學的基礎，更是我們描述任何復雜系統(tǒng)狀態(tài)與演化的起點：因為只有先理解“不變的結構”，才能真正駕馭“變化的世界”。

本講內容：線性空間與線性映射（上）

• 應用：從圖像壓縮到數據降維、游戲中的角色變換

• 向量概念(線性代數為什么叫“線性”)

• 線性變換、“線性”與結構保持性的概念

• 線性相關性、向量組的秩、空間的基與維數的代數刻畫

• 自由度與約束關系Ⅰ

• 矩陣的概念初步

概念解析：向量不僅是箭頭，也可以是任意“可線性疊加”的對象：圖像、信號、參數、概率分布乃至文本嵌入。在機器學習中，向量空間被用來表示特征，而線性結構允許我們對特征做插值、疊加、投影等操作——這是所有特征工程方法得以成立的基礎。

第二講：人耳如何分離不同音調？——內積與正交分解如何實現信號解耦

人耳能分辨千變萬化的聲音，不是因為它記錄了所有波形細節(jié)，而是因為它將復雜聲波分解為不同頻率的“純凈音”。這種能力的背后，是一種賦予空間“長度”與“角度”的數學結構——內積。本講將揭示內積如何讓抽象向量擁有幾何意義，如何通過正交分解提取信號本質，并引出無窮維函數空間這一強大框架。你會發(fā)現，從語音識別到量子力學，內積空間正是系統(tǒng)“感知”與“區(qū)分”信息的數學基礎。

內積空間是為抽象向量賦予“幾何屬性”的數學框架。通過內積運算，我們可以定義向量的長度（模）、向量間的角度，進而區(qū)分向量的“方向”差異。兩個向量正交（內積為0），意味著它們在幾何上垂直，代數上互不干擾——這正是人耳分辨不同頻率聲音的數學本質：不同頻率的聲波對應函數空間中的正交向量，內積為0保證了信號間的可區(qū)分性。而傅里葉變換，就是將復雜信號分解為正交正弦函數組的線性運算。本節(jié)主要講內積空間，并介紹公理化方法。通過線性空間例子，說明線性空間也可以是無窮維的。

本講內容：線性空間與線性映射（下）

• 實際應用：從耳朵識別頻率引出內積(能量)的概念、Fourier 變換信號處理

• 內積空間的定義、內積的數學意義：長度、角度、正交性

• “代數”與“證明”：公理化方法的邏輯思維與數學的用處

• 內積與線性相關性、正交化

• 線性無關的優(yōu)點與缺點、標架

• 數學應用：微分方程的解（常微分方程、偏微分方程）、積分作為內積

• 無窮維內積空間(Hilbert空間)舉例：函數空間、泛函、對偶空間

• 無窮的維數以及無窮求和的性質

概念解析：（引自grok） 耳朵聽到聲音的生理機制:人類耳朵感知聲音時，聲波首先通過外耳和中耳轉化為機械振動，然后傳入內耳的耳蝸（cochlea）。耳蝸內充滿液體，并含有基底膜（basilar membrane），其上分布著毛細胞（hair cells）。基底膜的不同部位對特定頻率的振動敏感：高頻聲音刺激耳蝸基底部，低頻聲音刺激頂端。這種頻率選擇性類似于一個濾波器組，將復雜聲音信號分解為單一頻率成分，從而實現“聽覺頻譜分析”。這一過程被稱為“位置-頻率映射”（place-frequency mapping）。

第三講：Transformer如何計算注意力？——矩陣乘法如何編碼信息關聯(lián)與變換

當今AI領域的Transformer模型（如GPT、BERT），能實現文本生成、圖像識別、多模態(tài)對齊等復雜任務，其核心并非復雜的神經網絡結構，而是一連串矩陣乘法。以注意力機制為例，模型通過Query、Key矩陣計算不同單詞的關聯(lián)權重，再通過Value矩陣聚合信息——這一過程本質是用矩陣表示“信息關聯(lián)”，用矩陣乘法實現“信息編織”。矩陣已成為AI系統(tǒng)處理關系、傳遞信息的通用工具。

矩陣的本質是線性映射的具象化表示——當兩個線性空間的基確定后，每個線性映射都唯一對應一個矩陣，矩陣的運算則對應線性映射的復合。本講將從注意力機制出發(fā)，展示矩陣如何表示用戶偏好、多模態(tài)對齊乃至社交網絡，并深入探討坐標變換背后的哲學——同一系統(tǒng)在不同視角下呈現不同面貌，而矩陣正是連接這些視角的橋梁。理解這一點，你就掌握了現代數據科學的通用語法。

本講內容：

1、線性映射的表示：矩陣

• 實際應用：網絡(圖)的表示、計算機圖形學中的世界坐標、局部坐標和觀察者坐標及其相互轉換。

• 數學應用：線性方程組

• 矩陣的相等

• 向量組與矩陣的關系、用矩陣表示線性映射、坐標變換

• 線性變換與坐標變換：不同基下同一個線性映射的不同表示形式、物理中的坐標系

• 單位矩陣

2、矩陣運算

• 實際應用：生物信息學中的解卷積、圖的連通性

• 矩陣乘法定義

• 矩陣乘法與線性映射的復合

3、方陣的特殊運算

• 逆矩陣

• 行列式與積分換元公式

• 三維空間中的叉乘

概念解析：注意力機制的 Query–Key–Value 結構本質是一組線性映射：Query 表示“我在關注什么”Key 表示“每個信息點攜帶的標簽”，Value 表示“信息本身”。通過矩陣乘法，模型計算Query與Key的相似度，得到注意力權重；再通過權重與 Value 線性組合達到“信息提取”的效果。這整個過程是嚴格的線性代數操作，不涉及復雜非線性。

第四講：大模型為何能壓縮參數？——信息重構、信息冗余及其有效維度

LLaMA、Qwen等大語言模型的權重矩陣包含數十億參數，但其中大量參數對應冗余信息——比如不同參數可能編碼相同的語義特征。保留所有參數，不僅會增加存儲和計算成本，還可能導致模型“記混”無關細節(jié)。同樣的問題也出現在自動駕駛車輛的傳感器上，令人意外的是，傳感器越多，環(huán)境感知越全面，實際中卻可能出現“信息冗余”，傳感器并未提升感知能力，反而可能導致系統(tǒng)因數據沖突而“產生幻覺”，發(fā)生諸如誤判障礙物位置等錯誤。

大模型的“低秩適應”性以及傳感器所要求的數據的“有效性”，都是需要通過篩選核心特征、剔除冗余信息，唯有此才能實現高效部署，這種“選擇性遺忘”的能力，根源在于線性方程組解空間的結構特性以及“秩”的概念。

線性方程組Ax=b的解空間由“特解”和“齊次解”構成，齊次方程組Ax=0的解空間（零空間）與矩陣A的值域（所有Ax構成的空間）共同揭示了信息的傳遞規(guī)律：值域是矩陣“能傳遞的有效信息范圍”，零空間是“無法傳遞的冗余信息范圍”。本講將揭示秩–零度定理如何精確刻畫信息的保留與丟棄：值域承載有效信號，零空間容納冗余噪聲。從大語言模型的低秩適應，到基因表達中的功能模塊，這一原理告訴我們——真正的智能，不在于記住一切，而在于知道什么可以安全地忘記。PCA正是基于秩–零度定理，在保留主要方差的同時實現降維，本質是尋找最優(yōu)低維子空間逼近。

本講內容：

1、線性方程組的概念

• 實際應用：有限元、SVD與信息壓縮

• 低階線性方程組的幾何意義

• 線性方程組的代數意義

• 線性方程“解”的邏輯

2、高斯消元法

• 高斯消元法及其意義

• 矩陣的秩

• 矩陣分解初步：LU分解、逆矩陣表示解方程的過程

3、解空間的結構

• 解空間、零空間、值域空間

• 秩-零度定理及證明和解釋

• 自由度與約束關系Ⅱ

• 特殊情況：克萊姆法則

4、矩陣的初等變換總結

• 線性方程組、矩陣、向量的交織

• 線性無關性與秩的三種描述

概念解析：大語言模型的權重矩陣常呈現“低秩近似”：它們的奇異值呈指數衰減，說明有效信息集中在少數方向。LoRA（Low-Rank Adaptation）正是利用這一結構，通過引入兩個小矩陣分解$$\Delta W = B$$來表達“新增知識”，無需修改完整權重。

第五講：系統(tǒng)長期行為由什么決定？——特征值如何刻畫穩(wěn)定性與主導模式

谷歌早期的PageRank算法通過網頁鏈接關系判斷重要性，網頁的排名不會因短期鏈接變化而劇烈波動，而是逐漸收斂到穩(wěn)定值；橋梁在特定風速下會發(fā)生共振，最終可能坍塌；種群數量在自然環(huán)境中會維持在相對穩(wěn)定的范圍，這些系統(tǒng)的長期行為，都由一組固定的“特征值”決定。特征值就像系統(tǒng)的“基因”，標識出內在的穩(wěn)定方向與演化速率。

特征值與特征向量的定義Ax=λx，直觀反映了線性變換的“不變方向”——向量v經變換后僅縮放λ倍，方向不變。這一性質決定了系統(tǒng)的長期行為：若特征值λ的絕對值小于1（或實部小于0），系統(tǒng)會收斂到穩(wěn)定狀態(tài)；若λ的絕對值大于1（或實部大于0），系統(tǒng)會發(fā)散（如失控的振動）；若λ的絕對值等于1，系統(tǒng)維持穩(wěn)態(tài)（如馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布）。本講將通過PageRank、生態(tài)模型和工程共振案例，展示特征值如何成為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的標尺。你將看到：一個負實部的特征值，可能是生命穩(wěn)態(tài)的保障；而一個接近1的主特征值，則可能成就一個搜索引擎帝國。

本講內容：

1、特征值與特征向量的概念

• 實際應用：谷歌的PageRank搜索算法、馬爾可夫鏈長時間行為、Leslie 矩陣與種群建模

• 數學應用：動力系統(tǒng)穩(wěn)定性、矩陣級數

• 特征值分解意義

• 特征值、特征向量的定義

2、特殊矩陣的特征值

• Perron–Frobenius 定理

• 對稱矩陣的定義與意義

• 對稱矩陣的特征值

3、廣義的內積、特征值

• 矩陣定義的內積

• 無窮維空間中算子的“特征值”

• 秩-零度定理

概念解析：線性動力系統(tǒng)xt+1 = Axt的解可寫為At x0。當矩陣對角化后：，其中 Dt的演化完全由特征值λt決定。這意味著：∣λ∣<1 → 收斂，∣λ∣=1 → 持續(xù)震蕩，∣λ∣>1 → 發(fā)散。所有工程中的“穩(wěn)定性”判據，都來自這一機制。

第六講：AI繪畫如何表示“戴帽子的貓”？——奇異值分解（SVD）如何構建語義潛在空間

Stable Diffusion等AI繪畫模型能根據“戴帽子的微笑貓”這一文字描述生成圖像，核心在于它能將“帽子”“微笑”等抽象語義轉化為數學向量。模型并非直接處理像素，而是先將圖像映射到一個低維“潛在空間”，其中每個維度對應一種語義特征（如“表情”“服飾”）。這種將高維數據轉化為低維語義表示的能力，依賴于奇異值分解（SVD）技術，它能從復雜數據中提取核心特征，構建語義與圖像的關聯(lián)。

矩陣分解是將復雜矩陣拆分為簡單矩陣乘積的過程，其核心價值是“提取核心信息”。本講將揭示SVD如何實現信息壓縮、語義解耦與潛在表示，并探討當系統(tǒng)不可對角化時，Jordan標準型如何描述更復雜的動態(tài)行為。在這里，降維不僅是技術，更是對世界進行抽象建模的藝術。

本講內容：

1、子空間與矩陣特征分解

• 實際應用：圖像處理與SVD、矩陣分解的威力

• 矩陣類型及性質

• Hamilton-Cayley定理

2、矩陣分解

• 秩1矩陣、SVD分解與特征值

• QR 分解、Krylov 子空間方法

3、應用

• 最小二乘法、矩陣可逆的“程度”的定量刻畫、條件數

• SVD做為一種粗粒化方法

• 濾波、圖像模糊

概念解析：任意矩陣A可寫為，其中奇異值從大到小排列。保留最大的幾個奇異值，就能獲得對矩陣最好的低秩逼近（Eckart–Young 定理）。AI 繪畫模型的“語義空間”就是高維向量的低秩主方向，語義特征如“貓”、“微笑”、“帽子”對應奇異向量方向。

第七講：大模型能“推理”嗎？——形式邏輯如何界定數學證明與統(tǒng)計模仿的邊界

當我們問ChatGPT“證明有無窮多個素數”時，它能輸出一段結構完整的證明文字；但當我們提出“用2=1證明哥德巴赫猜想”時，它可能無法識別其中的邏輯矛盾，仍嘗試生成“證明”。這一現象揭示了AI推理的本質：它基于訓練數據中的統(tǒng)計模式匹配生成文本，而非遵循嚴格的形式邏輯規(guī)則。要區(qū)分“真正的推理”與“模式模仿”，需回歸數學的邏輯根基——命題演算與一階邏輯。

形式邏輯通過“語法-語義-推理”三重結構構建嚴謹性：語法定義命題的符號規(guī)則與推理形式，不依賴具體內容；語義通過“模型”定義命題的真假，同一命題在不同模型中可能有不同真值；推理則是從公理出發(fā)，通過有效規(guī)則推導定理的過程。本講將帶你回到數學的根基——命題邏輯與一階邏輯，探討什么是嚴格的證明、什么是模型的真值。我們將反思：為何向量空間能取代歐氏幾何成為現代科學的語言？又為何AI在反事實推理面前依然脆弱？通過這場邏輯之旅，你將明白：真正的系統(tǒng)思維，不僅需要計算能力，更需要對概念、定義與演繹鏈條的敬畏。

本講內容：

1、命題演算(語法)

• 命題的結構

• 推理、證明的本質

2、一階邏輯(語義)與幾何基礎

• 量詞

• 命題“為真”的意義、命題邏輯

• 幾何基礎：解析幾何和向量空間如何取代物理直覺的幾何

• 數集構造：自然數、有理數、實數

3、數學基礎對應用數學的啟發(fā)

• 數學模型的意義

• 數學模型的能力范圍

第八講：線性代數如何成為通用建模語言？——跨學科應用案例

腦機接口的“意念解碼”、社交網絡的“社群發(fā)現”、單細胞生物學的“命運軌跡繪制”，這些看似無關的前沿領域，實則共享同一套線性代數語言：它們都需處理高維數據、提取核心特征、分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，而子空間、線性映射、特征值、矩陣分解等概念，正是解決這些問題的通用工具。本講通過三大應用場景，整合課程核心知識，展現線性代數的系統(tǒng)思維價值。

應用一：腦機接口如何“讀心”？——信號的解碼

Neuralink等腦機接口設備采集的腦電信號是高維時間序列。通過Fourier變換將其映射到頻域（無窮維內積空間），再用PCA提取關鍵成分，最終用SVM分類用戶意圖。整個流程是線性代數在生物信號處理中的完美體現。

• PCA：回顧概念、舉例、可視化

• SVM：算法概覽及應用示例

• Fourier變換：無窮維線性空間中的應用，卷積、濾波、信號降噪、圖像壓縮

應用二：社交平臺如何發(fā)現“隱形社群”？——網絡結構的譜分析

微信、微博通過構建用戶互動圖，計算其Laplace矩陣的特征值與特征向量（圖傅里葉基），實現社區(qū)自動劃分。最小非零特征值（代數連通度）反映網絡魯棒性，而特征向量符號變化揭示群體邊界。

• Laplace 矩陣定義與譜性質

• 圖傅里葉變換

• 應用示例：聚類、社區(qū)檢測、信號傳播

• 矩陣擾動與靈敏度分析簡介（Weyl 不等式、Davis–Kahan 定理）

應用三：單細胞測序如何繪制生命圖譜？——細胞命運的動力系統(tǒng)建模

單細胞RNA-seq產生百萬級基因表達向量。通過PCA降維、Laplace eigenmap構建細胞狀態(tài)流形，再用線性動力系統(tǒng)建模分化路徑?；蛘{控網絡的穩(wěn)定性分析則依賴特征值實部符號——線性代數成為解讀生命程序的語言。

• 反饋系統(tǒng)與控制：穩(wěn)定性、可控性、可觀測性、Kalman 濾波

• 單細胞數據分析：降維、可視化及軌跡推斷中的線性代數

• 網絡生物學與分子互作網絡：功能模塊發(fā)現、網絡的粗?；?/p>

課程信息

課程適用對象

• 數學基礎扎實，希望理解線性代數本質及系統(tǒng)應用的學生

• 對生物信息學、系統(tǒng)生物學及復雜系統(tǒng)科學感興趣的跨學科學習者

• 希望在數據科學、機器學習、網絡分析、系統(tǒng)建模領域應用線性代數知識的人

• 對邏輯、抽象思維和系統(tǒng)思維有興趣的公眾學習者

學完將收獲

• 系統(tǒng)建模的底層思維

• 核心概念的深層把握

• 從線性視角看復雜系統(tǒng)

• 跨學科遷移能力

• 抽象與幾何的統(tǒng)一思維

• 問題驅動的學習習慣

共創(chuàng)任務

為了鼓勵學員深度參與、積極探索，形成系列化知識傳播成果，構建課程知識共建社群。我們設立了激勵機制，讓您的學習之旅充滿收獲與成就感。課程以老師講授內容為主，在每期課程結束后，我們會發(fā)布課程共創(chuàng)任務，學員通過完成共創(chuàng)任務可以加深對課程內容的理解，在完成共創(chuàng)任務后，學員也可以獲得積分獎勵，積分可用于兌換其他讀書會課程、實物獎品。

本期課程的共創(chuàng)任務為字幕任務，具體內容為在每期課程錄播上線集智學園后，人工校對AI識別的課程視頻字幕，字幕任務的流程和要求參見檔案《字幕工作流程》

招募課程助理

• 付費報名課程后聯(lián)系助教申請課程助理（《系統(tǒng)科學前沿》第一期學員優(yōu)先）。

• 成為正式課程助理并完成任務后，在課程結束時退還全額學費。

報名須知

1. 課程形式：騰訊會議，前兩課線上同步直播，集智學園網站錄播，部分課程設置線下課。

2. 課程周期：2025年12月20日-2026年2月14日，每周六晚19：30-21：30進行。

3. 課程定價：前兩節(jié)課程免費，全部課程原價599，早鳥價479（8折特惠）

付費流程

課程鏈接：https://campus.swarma.org/course/5657

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

   「系統(tǒng)科學前沿」系列課程
   

集智學園聯(lián)合北師大系統(tǒng)科學學院開設，以方福康先生系統(tǒng)科學文集為思想基石，匯聚北師大系統(tǒng)科學領域十位教授，系統(tǒng)整合統(tǒng)計物理、生命系統(tǒng)中的智能行為、社會復雜系統(tǒng)建模、人工智能與復雜網絡等多個交叉方向，構建一條從微觀機制到宏觀結構、從理論分析到實際應用的知識脈絡。

詳情請見：

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