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撰文 | 丁玖

最近在《知識分子》上讀到一篇特寫《數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭警示錄：我們需要什么樣的數(shù)學(xué)教育？》，頗有感觸。在這俄烏戰(zhàn)爭已持續(xù)三年有余、中東沖突也不時陰云密布的不安全世界中，文章標(biāo)題前半部中的“戰(zhàn)爭”一詞，確實容易觸動讀者那敏感的厭戰(zhàn)神經(jīng)，盡管它比喻的是由于美國教育家和數(shù)學(xué)家關(guān)于“數(shù)學(xué)教育”長期論戰(zhàn)累積而成的彌漫在北美上空的“戰(zhàn)爭煙火”。這一場曠日持久的“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭”的直接遭殃者是美國的一代代學(xué)生。標(biāo)題下半部的問話——“我們需要什么樣的數(shù)學(xué)教育？”，倒是一個好問題，因為它對中美兩國師生都是至關(guān)重要的大問題。

可是，這又是一個極難回答的問題。如果數(shù)學(xué)教育家、職業(yè)數(shù)學(xué)家、中小學(xué)數(shù)學(xué)老師、修數(shù)學(xué)課的青少年學(xué)生和學(xué)生家長各任命幾位代表組成“評分委員會”的話，那么他們對此的討論將會異常激烈。

無論在美國還是在中國，這幾類人對“數(shù)學(xué)教育”的釋義、理解及觀念可能彼此大相徑庭，提出的求解思路甚至可能南轅北轍。然而，集思廣益、暢所欲言，先觀察、后思索、想出路、提方案，總是解決棘手問題的一個良策。所以我們作為《知識分子》的忠實讀者，應(yīng)該積極應(yīng)對，想方設(shè)法，從他國的正反實踐中吸取教訓(xùn)，共同努力提高我國數(shù)學(xué)教育的水平和效率。

今年六月一日，我從教了整整三十五年書的一所美國研究型公立大學(xué)正式退休，積累了對這個國家從初等到高等數(shù)學(xué)教育方方面面的若干觀察。在這篇文章里，我試圖描述我所看到乃至親身體驗的美國數(shù)學(xué)教育，并提出自己的點滴感想，以拋磚引玉。

01 14-5等于11？

我于1986年元旦赴美，去了密歇根州立大學(xué)數(shù)學(xué)系讀博士學(xué)位。為了獲得工作報酬支付讀書及生活開銷，我同時也在系里擔(dān)任教學(xué)助理，先當(dāng)習(xí)題課老師，后主講小班初等微積分。1990年獲得學(xué)位后，我應(yīng)聘擔(dān)任另一所州立大學(xué)的正式助理教授而開始全職教書，直至退休。

之前，我在國內(nèi)也教過數(shù)學(xué)，最早的實踐是在14周歲那年，剛高中畢業(yè)不久的我當(dāng)了一個月的代課老師，教了一個初中班的數(shù)學(xué)，第一節(jié)課講的是怎樣計算球冠的體積。1984年在本科母校南京大學(xué)數(shù)學(xué)系拿到碩士學(xué)位后，我留系任教，第一個學(xué)年教了物理系和天文系新生的基礎(chǔ)課“甲類高等數(shù)學(xué)”，第二個學(xué)年的秋季學(xué)期教了本系大四學(xué)生的專業(yè)課“最優(yōu)化理論和方法”，然后我就出國留學(xué)去了。在過去的幾十年間，利用回國訪問的機會，我也曾在多地多次講授過大學(xué)數(shù)學(xué)課程。這樣說來，我在中美兩國都教過書，對兩國的教育尤其是數(shù)學(xué)教育有進(jìn)行一些比較的基礎(chǔ)。

我對美國數(shù)學(xué)教育的初步印象產(chǎn)生在我到達(dá)留學(xué)目的地密歇根州立大學(xué)后的第一個學(xué)季中，2016年，商務(wù)印書館出版了我的書《親歷美國教育：三十年的體驗與思考》，書中第三章專門回憶了我這個新來乍到的外國研究生“新的發(fā)現(xiàn)”，包括對美國理工科大學(xué)生數(shù)學(xué)知識現(xiàn)狀的發(fā)現(xiàn)：

“來到占地面積可以覆蓋五十個南大鼓樓老校區(qū)的密歇根州立大學(xué)，第一次給美國大學(xué)生教室答疑前，我想，班上是全世界最發(fā)達(dá)國家的學(xué)生，他們的腦子也一定是最靈光的，知識也一定是最豐富的，一定要使出渾身解數(shù)教，不能讓他們小看自己。沒想到，一個小時下來，學(xué)生問的問題十分簡單，都是我想都不要想就能完全回答的。比如像多項式這樣的最簡單初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算，或一元二次方程的求根公式。我驚訝地發(fā)現(xiàn)，大部分人都背不出我們從小就記得滾瓜爛熟的最基本代數(shù)恒等式，像平方差公式之類的。我甚至都懷疑他們是否讀過高中，因為這些初等代數(shù)的知識對于中國的大部分初中生，都已掌握得透熟。這樣的學(xué)生畢業(yè)后，真的能成為美國各行各業(yè)到處都有的杰出科學(xué)家和工程師嗎？剛剛進(jìn)入美國高等教育體系的我，真是百思不得其解。”

我當(dāng)時的日記中還記下了另一件事。那天是1986年10月9日，我因監(jiān)考所教習(xí)題課班級的期中考試而在教室內(nèi)來回走動，無意中瞟見一名女生在答卷上將14-5的答案寫成等于11，目睹此等中國小學(xué)一年級水平的算術(shù)錯誤，我心生憐憫之心，便用手指了一指這個“等式”暗示她再好好地算一下，但她卻堅持回答我：“Yes, it’s eleven（對，就是11）”。我于是無計可施，舉手投降。

剛到美國不久的我，由于在教學(xué)中常碰到這類例子，開始尋找“為何是這樣？”的答案。我曾經(jīng)猜測，原因或許是這個有四萬五千名學(xué)生的大學(xué)規(guī)模太大，或者是由于基礎(chǔ)課大班超過百人的聽課學(xué)生人數(shù)太多，從而使得講課教授的教學(xué)效果不彰。其實不然，十年后我的一位朋友告訴我，他所任教的美國一所著名的私立人文學(xué)院，雖然全校只有區(qū)區(qū)兩千多名學(xué)生，而且從全國各地考進(jìn)去的基本上都是高中母校的優(yōu)秀畢業(yè)生，但班上的大學(xué)生，絕大多數(shù)根本沒背過解一元二次方程的求根公式。然而，這個學(xué)校的畢業(yè)生中卻出了無數(shù)個杰出人才，包括了宋美齡、謝冰心、希拉里·克林頓(Hillary R. Clinton)和瑪?shù)铝铡W爾布賴特(Madeleine Albright)等中國人耳熟能詳?shù)亩ΧΥ竺?。又過了十來年，我的教授朋友請我去給他班上的學(xué)生講點“函數(shù)迭代”的基本思想，在我準(zhǔn)備講稿時他關(guān)照我“講淺點，講淺點”。

我就讀的密歇根州立大學(xué)是一所很不錯的公立大學(xué)，它是美國第一家“政府授地”大學(xué)，也是第一家農(nóng)學(xué)院，理工科各系都有成就斐然的學(xué)者，有不少專業(yè)在全美享有盛名，包括排名第一的核物理。照理說，新生們在高中階段應(yīng)該學(xué)得很好，尤其是進(jìn)理工院系深造的那些，應(yīng)該已經(jīng)將高中數(shù)學(xué)——代數(shù)、幾何、三角——透徹地掌握了。然而現(xiàn)實卻打破我的想象，我決定要在接下來的日子里繼續(xù)觀察。

02 數(shù)學(xué)教育家和數(shù)學(xué)家之戰(zhàn)

我發(fā)現(xiàn)其中一個根源是美國那群“數(shù)學(xué)教育家”，這些數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的專家或行政官員，他們中一般從事教育方法的教學(xué)和研究，但對教育的學(xué)科內(nèi)容卻關(guān)注不夠，甚至缺乏有足夠深度的理解。他們中的大部分在教育學(xué)院任教。他們的教育理念經(jīng)過幾代人的繼承和推進(jìn)已經(jīng)根深蒂固，連那些深諳教育之道并且熱愛學(xué)生的著名創(chuàng)造型數(shù)學(xué)家也難以撼動。

這種理念在美國大概發(fā)端于百年前實用主義哲學(xué)家杜威的現(xiàn)代教育學(xué)說，更早的源頭可在十九世紀(jì)法國啟蒙主義思想家的部分著作中找到?？墒?，正如列寧說過的一句告誡之語“真理哪怕是向前邁出一小步就會變成謬誤”，正是那些不懂教育真諦卻能決定教育方式的人，誤將啟蒙主義的思潮用于自身具有特殊規(guī)律的教育領(lǐng)域而導(dǎo)致了美國數(shù)學(xué)教育的大潰敗。

幾十年間，美國推崇“進(jìn)步主義(progressivism)”哲學(xué)與持傳統(tǒng)教學(xué)觀念的兩派數(shù)學(xué)工作者，彼此之間因觀念沖突而持續(xù)較量，結(jié)果是廣大民眾對中小學(xué)數(shù)學(xué)教育不斷下降的水平日趨不滿。在此大背景下，已打下進(jìn)步主義烙印的國家數(shù)學(xué)教師委員會于1980年提出了一個標(biāo)題為“行動的規(guī)則”(An Agenda for Action)的報告，其中稱基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育要“立足于解決問題”，而不能“先完全掌握解題技能”，主張甚至小學(xué)生也應(yīng)被允許用計算器而不是用手算。報告強調(diào)學(xué)生“探索式發(fā)現(xiàn)”以解決真實世界的問題。這樣一來，高中傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程可以不分代數(shù)幾何三角分門別類講授，而是一鍋端，形成十年后的“綜合數(shù)學(xué)”大雜燴課本，甚至日后微積分的重要性也被弱化。

到了1989年，國家數(shù)學(xué)教師委員會進(jìn)一步提出了“學(xué)校數(shù)學(xué)課程和測試標(biāo)準(zhǔn)”，它的24名制定者除了兩位是中小學(xué)教師外，其余大都是教育學(xué)院的教授，數(shù)學(xué)家的數(shù)目為零。然而，這種數(shù)學(xué)內(nèi)容不夠的“標(biāo)準(zhǔn)”為何能在全美大行其道呢？一個原因是進(jìn)步主義教育專家們善于玩弄概念游戲來蠱惑人心，比如誤導(dǎo)性采用“認(rèn)知心理學(xué)”中的建構(gòu)主義(constructivism)來宣傳他們所提倡的教育理念。

一些在學(xué)術(shù)研究之外愿意花時間的數(shù)學(xué)家特此撰文批駁?！睹绹鴶?shù)學(xué)會通告》也刊登過一些著名數(shù)學(xué)家的文章，重鋪數(shù)學(xué)教育的“正確之道”。二十年前，我在美國數(shù)學(xué)會的一次地區(qū)性會議的數(shù)學(xué)教育分會場，親眼目睹華裔數(shù)學(xué)家伍鴻熙教授舌戰(zhàn)一群數(shù)學(xué)教育家，批評他們撰寫的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材“不合邏輯”。正因為無意中發(fā)現(xiàn)加州公立學(xué)校的數(shù)學(xué)教育狀況令人憂慮，這位幾何學(xué)家挺身而出，為全美數(shù)學(xué)教育走向正常化奮斗到正式退休為止。

到了九十年代初，我已經(jīng)成了一名助理教授，美國國家科學(xué)基金會也加入了“進(jìn)步主義”的行列，除了大力打造中小學(xué)數(shù)學(xué)教材，也對大學(xué)的微積分教科書開始“改革”，其中最著名的當(dāng)數(shù)所謂的“哈佛微積分”。這本教材的掛帥編者是哈佛一名教育學(xué)院的教師，編寫組人員為其他參與大學(xué)和中學(xué)的幾位老師，包括我系的一對夫婦，丈夫是早已不做數(shù)學(xué)研究的資深副教授，太太是只有碩士學(xué)位的講師。由于他們進(jìn)入了寫作班子，作品出爐后我系必須用它作為微積分教本。這不僅令任課教師苦惱，更讓修課學(xué)生糊涂，因為此書到處都是計算器的影子，學(xué)生只能盲目跟著它們?nèi)ァ疤剿靼l(fā)現(xiàn)”微積分的奧秘。對等地，通常對微積分的先修課程高中代數(shù)的要求降到了最低。

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作為一個例子，我們看看這本書是怎樣講授函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的。這是微積分里學(xué)完連續(xù)函數(shù)后的第一個關(guān)鍵概念，是積分思想的前奏曲。然而，本書讓首次學(xué)到這個新概念的大一新生如同在修一門計算數(shù)學(xué)專業(yè)課：用差商代替導(dǎo)數(shù)！這就是進(jìn)步主義者奉若神明的“探索性學(xué)習(xí)法”，什么極限過程，什么“ε-δ”語言，統(tǒng)統(tǒng)滾蛋!這本教材似乎要讓學(xué)生相信：導(dǎo)數(shù)就是差商，只要對自變量取非?？拷膬蓚€數(shù)，求出它們對應(yīng)的函數(shù)值，然后做兩個減法，再將它們相除一下，導(dǎo)數(shù)就現(xiàn)身而出。

在國家數(shù)學(xué)教師委員會那個臭名昭著1980年報告問世三年后，幸好里根總統(tǒng)政府教育部任命的一個特設(shè)委員會提出了一個觀點針鋒相對、目標(biāo)截然不同的報告《危險中的國家》(A Nation at Risk)。它并非聳人聽聞地指出：“我們國家的教育基礎(chǔ)正被平庸所侵蝕，威脅著我們國家和民族的未來”。它悲哀地發(fā)現(xiàn)，未來充實數(shù)學(xué)教師隊伍的大學(xué)新生，許多人基礎(chǔ)薄弱，在高中成績位于中下到墊底不等。這樣的人未來手執(zhí)教鞭，豈不誤人子弟？然而，重病在身的美國數(shù)學(xué)教育，四十年來卻未能恢復(fù)元氣，至今仍未康復(fù)。

03 美國普通數(shù)學(xué)教育失敗在哪里

跨入新世紀(jì)，我也在大學(xué)全職教了十年書，講授了多門或淺或深從本科到博士不等的數(shù)學(xué)課，從高中生學(xué)過的初等代數(shù)到博士生基礎(chǔ)課泛函分析我都教過。盡管我的教學(xué)受到學(xué)生們普遍的贊揚，連我的教授同事也說我“是個天生的教師”，然而在教書這一點上，我內(nèi)心一直感到悲哀：班上絕大多數(shù)學(xué)生包括研究生的數(shù)學(xué)認(rèn)知程度是差之又差的，他們無法與我教過一年半的南京大學(xué)的學(xué)生比。當(dāng)然，這在美國幾乎所有的公立大學(xué)都是一般性的存在。

既然國家層面早就認(rèn)識到提升中小學(xué)生數(shù)學(xué)知識的戰(zhàn)略重要性，為什么美國普通大學(xué)生的數(shù)學(xué)水平幾十年來難以提高？冰凍三尺非一日之寒。這一方面來自上節(jié)所述的關(guān)于教育措施的兩派觀念之爭，另一方面，這也與長期以來美國中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)有關(guān)。

我曾經(jīng)多次教過本系夏季學(xué)期研究生課程，班上的學(xué)生除了碩士生或博士生外，還有部分是只能在暑假前來注冊修課的高中數(shù)學(xué)老師，有的甚至來自外州，他們在職攻讀數(shù)學(xué)教育碩士或博士學(xué)位。十余年前，為了讓這些中學(xué)數(shù)學(xué)老師學(xué)到一點現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支離散動力系統(tǒng)的概念和方法，我開了一門名叫“動力幾何”的課，意在通過迭代三角形，讓學(xué)過甚至教過歐幾里得平面幾何的他們開啟從有序到混沌的幾何之旅。當(dāng)講到“垂足三角形”迭代并構(gòu)造其對應(yīng)的一類我曾參與研究并發(fā)表過幾篇學(xué)術(shù)論文的分形時，我先在黑板上畫上一個銳角三角形，然后從它的每一個頂點作其對邊的垂線，得到的三個垂足構(gòu)成原先三角形的垂足三角形，將這個三角形拿走（三條邊保留下來），那么原先的大三角形內(nèi)剩下三個小三角形，這完成了制造對應(yīng)分形的無窮次迭代的第一次迭代，之后對每一個剩下的更小三角形如法炮制，直至無窮。為了獲得最終形成的那個稱之為“謝爾賓斯基垂足三角形(Sierpiński pedal triangle)”分形的維數(shù)性質(zhì)，需要證明這三個小三角形都與初始選定的大三角形相似。見下圖所示：

要證明這大小四個三角形兩兩相似，即證明它們的對應(yīng)角相等，只需用到三垂線交于一點的事實和四點共圓及圓周角的性質(zhì)，這些都是初等幾何的基本內(nèi)容。我相信中國讀過中學(xué)數(shù)學(xué)的人都應(yīng)該會做，考上大學(xué)的更不在話下了。既然聽我課的都是研究生和中學(xué)數(shù)學(xué)教師，我想請他們來證明，順便摸摸他們的數(shù)學(xué)根底，于是我就問誰愿意上黑板展示一下。我等了很久，卻沒有一個人舉手上講臺。

這就是美國中學(xué)數(shù)學(xué)老師自我畫出的一幅數(shù)學(xué)圖景。他們在本國接受了全部的教育，在小學(xué)階段基本上是不被要求熟記“小九九乘法口訣表”的，因為他們的老師和家長也沒有背過，然而他們很早就學(xué)會使用電子計算器，因為有影響力的教育專家們鼓勵他們只管用，而計算器制造商則依賴有天賦和創(chuàng)造力的工程師不斷革新產(chǎn)品，不停增強計算畫圖功能，讓這幫孩子用得方方便便，愛不釋手，答案手到擒來。在中學(xué)階段，他們的老師解一元一次方程時在黑板上分五步做，比方說解3x + 2 = 5。第一步，兩邊加上-2：3x + 2 + (-2) = 5 + (-2)；第二步，改寫：3x + 0 = 3；第三步，化簡：3x = 3；第四步，兩邊除以3：3x/3 = 3/3；第五步，化簡得到解：x = 1。老師這樣教是因為他們不知道“移項換符號”的便利，也沒有人曾讓他們像中國初中生那樣可以一步到位快速完成這些簡單運算并一口清地報告答案。更不用說在初中代數(shù)課堂上，老師會命令學(xué)生背誦平方差公式等最基本的代數(shù)恒等式。

到了高中學(xué)平面幾何，看上去厚厚的教材印刷精美，圖形五彩繽紛，文字引人入勝。然而卻少了中國幾何教本中的最重要內(nèi)涵：推理證明。在“探索法學(xué)習(xí)”的大旗指引下，學(xué)生捧在手中的幾何讀本，功能幾乎等同于“直觀理解”，似乎在“看圖識字”，而拋棄了歐幾里得幾何的精髓。這個精髓就是：通過寥寥幾條公理和公設(shè)，推演出平面幾何的所有命題，如三角形的內(nèi)角和必定是180度。這個精髓引領(lǐng)了近代科學(xué)，把人類從愚昧中解救了出來。

這就能解釋為何我講授《高等微積分》學(xué)年課程第一學(xué)期的期中考試第一題，絕大多數(shù)修課的數(shù)學(xué)系本科生和研究生都做不出來，因為他們在高中沒有受過幾何證明的洗禮。而這些答不出試卷本科生中的相當(dāng)一部分人將來的職業(yè)是中學(xué)數(shù)學(xué)老師。這道題是關(guān)于一個數(shù)集的上確界和下確界，該簡單數(shù)集由所有分?jǐn)?shù)1/n - 1/m組成，其中n和m取所有的自然數(shù)。盡管我早已清楚現(xiàn)實的殘酷，講授確界概念時花了遠(yuǎn)超教學(xué)大綱中計劃的時間，翻來覆去地舉例解釋上確界的定義，闡述其意思：它是給定數(shù)集的一個上界，且在該數(shù)集的所有上界中，它最小，即它是數(shù)集的“最小上界”。我也用ε-語言刻畫了上確界：數(shù)s為數(shù)集A的上確界，當(dāng)且僅當(dāng)s大于或等于A中的所有數(shù)，且對任意正數(shù)ε，存在A中的數(shù)a使得a > s -ε。這個不等式給出“比上確界更小的數(shù)不是上界”的數(shù)學(xué)表達(dá)。自然，精確理解這些等價語言，必須具有邏輯推理的足夠武功，而這套武功的最初練武場就是中學(xué)平面幾何命題證明的課堂——這個練武場在美國的普通高中不知蹤影。

04 截然不同的精英教育

但是，上述事例并不能得出美國的數(shù)學(xué)教育一塌糊涂的結(jié)論，更不能用來否定美國各地對資優(yōu)教育的極端重視。美國的教育方式和它的意識形態(tài)具有相當(dāng)?shù)囊恢滦?，大體上是“崇尚自由”。在學(xué)校，教師對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是除了必修課外，“任君取舍”，但對母語的訓(xùn)練不遺余力，因而進(jìn)入大學(xué)的學(xué)生，數(shù)學(xué)可以將1/2 + 1/3算成2/5，但幾乎個個能說會道，絕不害羞。另一方面，每所普通高中都有小部分高天賦學(xué)生，他們也有鴻鵠之志，對這樣的好學(xué)生，學(xué)校給他們開小灶，或修大學(xué)先行課程如“AP微積分”，或送到附近的大學(xué)修課。因此美國青少年中的前百分之幾的聰明好學(xué)者，最終成長為改變美國甚至改變世界的領(lǐng)路人。

多年的觀察讓我早就看到，雖然美國普通理工科大學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，和中國的同類大學(xué)生比起來弱得多，但是在諸如斯坦福大學(xué)就讀的精英大學(xué)生中，許多人的數(shù)學(xué)本領(lǐng)強于中國名牌大學(xué)的數(shù)學(xué)尖子。但在本文，我們不討論資優(yōu)教育，僅僅著眼于從美國對普通學(xué)子數(shù)學(xué)教育的“失算”歷史回顧中吸取怎樣的教訓(xùn)。

05 我們需要什么樣的數(shù)學(xué)教育

如上對美國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育所走彎路以及對大學(xué)數(shù)學(xué)教育造成危害的簡要描述，實際上給我們回答《知識分子》的提問“我們需要什么樣的數(shù)學(xué)教育？”提供了一點線索，那就是：好的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是好的老師有效傳授給學(xué)生對未來的發(fā)展行之有效的基礎(chǔ)知識、基本技能，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力和舉一反三應(yīng)用所學(xué)的功夫。

更具體地說：人類千百年間發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是前人留下的寶貴財產(chǎn)，是后人能夠創(chuàng)新的雄厚資本。青少年階段應(yīng)該像海綿般地沉浸于此，為未來打下堅實的基礎(chǔ)。熟練操作的基本技能是牢固掌握基礎(chǔ)知識以便將來能熟練應(yīng)用所學(xué)知識的關(guān)鍵，容不得有半點的虛假和討巧。只有在全面吸收基礎(chǔ)知識以及對基本技能運用自如后，人們才有能力和潛質(zhì)進(jìn)一步從事“探索式的學(xué)習(xí)”，進(jìn)入更高層次的學(xué)習(xí)，乃至走向創(chuàng)造新知識、發(fā)明新技術(shù)之路，而不是過程相反，在缺乏基礎(chǔ)知識和基本技能的情形下，就能輕而易舉地發(fā)現(xiàn)新知識。這就是數(shù)學(xué)教育的邏輯所在和基本規(guī)律。那種打著“探索性自主式學(xué)習(xí)”旗號的“進(jìn)步主義教學(xué)法”，教出的學(xué)生只能是知識結(jié)構(gòu)殘缺不全卻容易好高騖遠(yuǎn)，因為他們本來就空空的腦袋不可能容易無中生有地探索出未曾學(xué)過的知識來。