套路自創(chuàng)方有用

2025年安徽省中考數(shù)學(xué)第22題

在2022版新課標(biāo)中，對于軸對稱變換的要求如下：

新人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第十五章軸對稱，安排在全等三角形之后，在前面我們也學(xué)習(xí)過平移變換，我們需要遷移前面學(xué)習(xí)平移的方法至軸對稱，有了全等三角形作為鋪墊，因此這一章節(jié)研究最多的，是三角形相關(guān)的軸對稱，例如等腰三角形，到八年級下冊，在平行四邊形或特殊平行四邊形中，我們會再次運用軸對稱，所以在八年級上學(xué)期，這一章內(nèi)容需要幫助學(xué)生深入理解。

我們在解題過程中，需要先觀察圖形，發(fā)現(xiàn)其中的軸對稱圖形，或者構(gòu)造出軸對稱圖形，幫助我們建立條件與結(jié)論間的關(guān)聯(lián)，從而找到解題思路。而一旦成功建立起這種關(guān)聯(lián)，在解題過程中又遇到類似的情景，便可重復(fù)使用，用通俗點的語言，我們找到了一種解題套路(模型)，雖然在教學(xué)中我們要避免將解法套路化，但是若能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)甚至構(gòu)建模型，這種“套路”應(yīng)鼓勵學(xué)生使用，在新課標(biāo)中，我們稱之為模型意識、模型觀念.

題目

已知點A‘在正方形ABCD內(nèi)，點E在邊AD上，BE是線段AA'的垂直平分線，連接A'E.

(1)如圖1，若BA'的延長線經(jīng)過點D，AE=1，求AB的長；

(2)如圖2，點F是AA'的延長線與CD的交點，連接CA'.

(i)求證：∠CA'F=45°；

(ii)如圖3，設(shè)AF，BE相交于點G，連接CG，DG，DA'，若CG=CB，判斷△A'DG的形狀，并說明理由.

解析：

01

(1)由BD是正方形對角線可知∠A'DE=45°，由BE是線段AA'的垂直平分線可知△BAE與△BA'E關(guān)于BE軸對稱，則∠BA'E=∠DA'E=90°，于是得到等腰Rt△A'DE，且AE'=AE=1，所以DE=√2，則AD=√2+1，故AB=√2+1；

02

(2)圖中已經(jīng)存在等腰△ABA'和等腰△A'BC，充分利用好這兩個軸對稱圖形，本小題容易求解；

(i)方法一：

聯(lián)想到等腰三角形頂角和底角間的數(shù)量關(guān)系，可得∠AA’B=90°-1/2∠ABA'，∠CA'B=90°-1/2∠A'BC，將這兩個等式相加得：

∠AA'C=180°-1/2(∠ABA'+∠A'BC)=180°-1/2∠ABC

=180°-45°=135°

最后求出∠CA'F=45°；

方法二：

將等腰△A'BC的對稱軸作出來，如下圖：

作A'C的垂直平分線，交AA'延長線于點G，對于圖中兩個等腰三角形，均出現(xiàn)了“三線合一”，所以可得∠A'BH=1/2∠ABA'，∠GBA'=1/2∠A'BC，它們相加后∠GBH=1/2∠ABC=45°，而對于△GBH，判斷它是等腰直角三角形，則∠G=45°，又BG⊥A'C，可求出∠CA'F=45°；

其實這個結(jié)論可以作為本題的專屬“模型套路”，觀察∠CA'F的位置，它是四邊形ABCA’的一個外角，且這個外角相鄰內(nèi)角恰好對著∠ABC，如下圖：

不妨給它一個文字描述：由兩個等腰三角形拼成的四邊形ABCA'中，AB=A'B=CB，∠ABC=90°，則∠AA'C=135°，它的外角等于45°.

(ii)當(dāng)CG=CB時，我們又得到新的等腰三角形，前一小題中歸納出來的“模型套路”就出現(xiàn)了，如下圖：

所以用同樣的方法可求出∠DGB=135°，而AA'⊥BE，可得∠DGA'=45°；

不妨作新等腰△BCG的頂角平分線CH，交AB于點H，交BG于點K，很容易得到K是BG中點，且CH∥AF，即可證KH是△ABG中位線，所以點H是AB中點；

再證明△ABE≌△BCH，這是正方形內(nèi)的常見全等三角形，得點E也是AD中點，結(jié)合前面的軸對稱性質(zhì)，可得AE=A'E=DE，借助圓的概念可得點A'在以AD為直徑的半圓上，所以∠DA'G=90°，因此△A'DG是等腰直角三角形.

解題思考

本題涉及到正方形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、中位線性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等，其中的正方形、等腰三角形、等腰直角三角形都屬于軸對稱圖形，條件中還有垂直平分線的描述，這都要求我們對軸對稱概念要深入理解，其實本題條件也可以換一種描述方式，例如正方形ABCD中，點E為邊AD上一點，將△ABE沿BE對折后，點A'落在正方形ABCD內(nèi)部，這就是我們常見的題目了.

當(dāng)我們在解題過程中，遇到條件類似結(jié)論也類似的情況，往往可以寫“同理”可證，這其中的關(guān)鍵是判斷是否“類似”，以本題為例，兩個等腰三角形拼在一起成為一個四邊形，且這兩個等腰三角形的頂角頂點重合，兩個頂角相加等于90°，于是成為一種特殊四邊形，在第2小題中我們成功求得這個四邊形90°角的對角是135°，而在最后1小題中，當(dāng)CG=CB條件又給出新的等腰三角形之后，我們同樣可尋得新的特殊四邊形，所以思路可以很快得到∠DA'G=45°，所以新增條件對原圖形有什么影響，是首先要觀察的，在解這一類幾何綜合題時，輔助線的構(gòu)建并不是空穴來風(fēng)，而是有跡可循，前面我們用到了三線合一，那么后面的解題，我們便可試試構(gòu)造等腰三角形的對稱軸，這就是通常所說的常規(guī)常法.

在平時的課堂教學(xué)中，我們會遇到很多類似的幾何題，而這些幾何題之間，也會存在某種關(guān)聯(lián)，第m題和第n題很像，若頭腦中有這種印象，老師可立刻引導(dǎo)學(xué)生思考，它們哪里像？是條件中有相同的描述，還是結(jié)論一樣，甚至圖形看上去差不多？解完它們之后，再比較它們的思考過程，從中找到相通點，這一系列工作完成之后，我們便會驚喜地發(fā)現(xiàn)，學(xué)生找到了一種解題模型，為方便記憶，給它起個名兒，諸如“手拉手”、“腳拉腳”等，這樣的解題模型，從發(fā)現(xiàn)到建立，有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.

任何模型的建立，都是我們從相關(guān)數(shù)學(xué)概念中抽出部分元素，重新排列組合而成，所以數(shù)學(xué)概念是所有模型的基礎(chǔ)，描述數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)語言和描述模型的數(shù)學(xué)語言是相同的，若概念學(xué)習(xí)不扎實，模型建立便無從談起.