安檢中的數(shù)學

2025年深圳中考數(shù)學第19題

在2022版新課標中，對于數(shù)學綜合與實踐的要求，進一步提高，小學階段的綜合與實踐領(lǐng)域，主要是以主題式學習的形式，讓學生感悟自然界和生活中的數(shù)學，在獲取知識的同時，激發(fā)學習數(shù)學的興趣。初中階段綜合與實踐領(lǐng)域，可采用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數(shù)學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數(shù)學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡述社會生活以及科學技術(shù)中遇到的現(xiàn)實問題。

在日常生活中，排隊安檢是極為常見的場景，高鐵站、飛機場、長途客運站、地鐵站、船碼頭等，當我們用數(shù)學的眼光觀察時，會發(fā)現(xiàn)排隊人數(shù)、安檢通道、安檢時間、總?cè)藬?shù)等量之間，存在某種關(guān)聯(lián)，而描述這種關(guān)聯(lián)所用到的函數(shù)，是數(shù)學基本且重要的概念，改變影響函數(shù)的參數(shù)，觀察分析函數(shù)發(fā)生的變化，都是我們在綜合與實踐課堂上應(yīng)該和學生共同經(jīng)歷的過程。

題目

綜合與實踐

【問題背景】排隊是生活中常見的場景。如圖，某數(shù)學小組針對某次演出，研究了排隊人數(shù)與安檢時間、安檢通道數(shù)之間的關(guān)系。

【研究條件】

條件1：觀眾進場立即排隊安檢，在任意時刻都滿足：排隊人數(shù)=現(xiàn)場總?cè)藬?shù)-已入場人數(shù)；

條件2：若該演出場地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人。

【模型建構(gòu)】

若該演出前30分鐘開始進行安檢，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)場總?cè)藬?shù)y與安檢時間x之間滿足關(guān)系式：y=-x2+60x+100(0≤x≤30)，結(jié)合上述信息，請完成下述問題：

(1)當開通3條安檢通道時，安檢時間x分鐘時，已入場人數(shù)為______，排隊人數(shù)w與安檢時間x的函數(shù)關(guān)系式為_____________

【模型應(yīng)用】

(2)在(1)的條件下，排隊人數(shù)在第幾分鐘達到最大值，最大人數(shù)為多少？

(3)已知該演出主辦方要求：

①排隊人數(shù)在安檢開始10分鐘內(nèi)(包含10分鐘)減少；

②盡量少安排安檢通道，以節(jié)省開支.

若同時滿足以上兩個要求，可開設(shè)幾條安檢通道，請說明理由.

【總結(jié)反思】

函數(shù)可刻畫生活實際場景，但要注意驗證模型的正確性，未來可結(jié)合更多變量(如突發(fā)情況、安檢流程優(yōu)化等)進行更深入的分析，以提高模型的準確性和實用性.

解析：

01

(1)根據(jù)研究條件2“平均每條通道每分鐘可安檢6人”，得3條安檢通道x分鐘可入場18x人，再根據(jù)“排隊人數(shù)=現(xiàn)場總?cè)藬?shù)-已入場人數(shù)”的關(guān)系，得排隊人數(shù)w=y-18x=-x2+42x+100；

02

(2)將前面所得w與x的二次函數(shù)關(guān)系式化為頂點式為：w=-(x-21)2+541，所以排隊人數(shù)在第21分鐘達到最大值，最大人數(shù)為541人；

03

(3)仍然根據(jù)研究條件，若有n條安檢通道，則排隊人數(shù)w與安檢時間x之間的函數(shù)關(guān)系為w=-x2+(60-6n)x+100，它的對稱軸是x=30-3n，因此30-3n≤10，解得n≥20/3，而n為整數(shù)，故n=7.

解題思考

本題取材于生活中的真實情境——排隊，研究排隊人數(shù)、安檢時間、安檢通道數(shù)之間的關(guān)系，題目并沒有要求學生獨立建模，而是給出了模型的大部分，再讓學生完善，從而降低了題目難度，讓更多學生可以上手.

在綜合與實踐教學中，我們需要幫助學生用數(shù)學眼光去“讀”懂題目描述，當我們建立的模型是二次函數(shù)時，頭腦中首先應(yīng)該出現(xiàn)的是它的函數(shù)圖象——拋物線，開口向下；

在這個理解的基礎(chǔ)上，再去看模型應(yīng)用中“第幾分鐘達到最大值”，對應(yīng)的函數(shù)圖象性質(zhì)中頂點坐標的意義，就容易找到解題思路，本題實際上比較簡單，因為最難的部分是建模，題目已經(jīng)幫助完成了大半，只需要學生完成簡單應(yīng)用。