《量子雜志》每周都會解釋推動現(xiàn)代研究的最重要思想之一。本周，數(shù)學(xué)特約撰稿人Joseph Howlett解釋了數(shù)學(xué)家為何喜歡對事物進(jìn)行分類。

圖源：Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志特約撰稿人）2025-3-17

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-3-18

18世紀(jì)的生物學(xué)都是關(guān)于分類學(xué)（taxonomy）的。生命驚人的多樣性使得人們很難得出生命如何起源的結(jié)論?？茖W(xué)家首先必須將事物按正確的順序排列，根據(jù)共同的特征對物種進(jìn)行分組——這并非易事 https://www.quantamagazine.org/phyla-and-other-flawed-taxonomic-categories-vex-biologists-20190624/ 。

從那時起，他們就利用這些龐大的目錄來了解生物之間的差異并推斷它們的進(jìn)化歷史?；瘜W(xué)家們出于同樣的目的建立了元素周期表——對元素進(jìn)行分類并了解它們的行為。物理學(xué)家們建立了標(biāo)準(zhǔn)模型 https://www.quantamagazine.org/a-new-map-of-the-standard-model-of-particle-physics-20201022/ 來解釋宇宙的基本粒子是如何相互作用的。

哲學(xué)家米歇爾·?？拢∕ichel Foucault，1926 - 1984）在其著作《詞與物——人類科學(xué)的考古學(xué)》（英文版為The Order of Things：事物的秩序）中將這種對分類的關(guān)注描述為科學(xué)的形成步驟。他寫道：“只有通過對所有可能差異進(jìn)行連續(xù)、有序和普遍的匯總，才能獲得對經(jīng)驗個體的認(rèn)識?！?/p>

數(shù)學(xué)家們從未擺脫過這種癡迷 https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-like-to-classify-things-20170815/ 。這是因為數(shù)學(xué)的動物園讓生物學(xué)目錄看起來像一個寵物動物園。它的居民不受物理現(xiàn)實的限制。任何可以想象的可能性，無論是存在于我們的宇宙中還是存在于某個假設(shè)的200維宇宙中，都需要考慮。

有無數(shù)種不同的分類可以嘗試——群（group）、結(jié)（knot）、流形（manifold）等等——而且每個分類中都有無數(shù)個對象需要分類。分類是數(shù)學(xué)家們了解他們正在研究的奇怪、抽象世界的方式，也是他們證明有關(guān)它的主要定理的方式。

以數(shù)學(xué)研究的核心對象“群”為例。“有限單群”（finite simple groups）——所有群的構(gòu)造積木——的分類是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一。數(shù)十位數(shù)學(xué)家花了近100年的時間才完成這項工作。最后，他們發(fā)現(xiàn)，除了26 個逐項列出的異常值外，所有有限單群都屬于三類 https://www.quantamagazine.org/groups-underpin-modern-math-heres-how-they-work-20240906/ 。

自1994年以來，一群敬業(yè)的數(shù)學(xué)家一直在研究該分類的“濃縮”證明——目前它包含10卷和數(shù)千頁，但仍未完成。但這項艱巨的任務(wù)不斷取得成果，最近幫助證明了一個幾十年前的猜想 https://www.quantamagazine.org/after-20-years-math-couple-solves-major-group-theory-problem-20250219/ ，即通過檢查群的一小部分，你可以推斷出很多關(guān)于群的信息。

數(shù)學(xué)不受現(xiàn)實的典型約束，它研究的是可能性。分類為數(shù)學(xué)家提供了一種探索無限潛力的方法。

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我們在小學(xué)學(xué)習(xí)的第一個數(shù)學(xué)分類涉及對數(shù)字進(jìn)行分類——分為正數(shù)和負(fù)數(shù)，或者可以寫成分?jǐn)?shù)的數(shù)字（有理數(shù)）和不能寫成分?jǐn)?shù)的數(shù)字（無理數(shù)）。

在最近的量子雜志專題中，Erica Klarreich描述了如何證明給定數(shù)字是無理數(shù)，即使數(shù)學(xué)家懷疑它是無理數(shù)，也是非常困難的 https://www.quantamagazine.org/rational-or-not-this-basic-math-question-took-decades-to-answer-20250108/ 。

而且數(shù)學(xué)家們也喜歡研究許多其他類型的數(shù)字（p進(jìn)數(shù)） https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/ 。

在其他領(lǐng)域，數(shù)學(xué)家根據(jù)事物在某種意義上是否“等價”對它們進(jìn)行分類。在拓?fù)鋵W(xué)中，如果一種形狀可以被拉伸或擠壓成另一種形狀而不會破裂或撕裂，則兩種形狀相同，因此屬于同一類。甜甜圈和咖啡杯相同，但與球體不同。

但判斷更復(fù)雜（和高維）的物體是否相同可能非常困難。例如，數(shù)學(xué)家們?nèi)栽谠噲D弄清楚某些維度上的所有形狀是否都必須等同于球面，或者是否允許更奇特的形式。

Kevin Hartnett在這篇拓?fù)鋵W(xué)概述 https://www.quantamagazine.org/in-topology-when-are-two-shapes-the-same-20210928/ 中寫道，“經(jīng)過幾個世紀(jì)的共同努力，數(shù)學(xué)家們甚至還未接近完成?！?/p>

同樣，分類在結(jié)理論中也發(fā)揮著重要作用。在一根繩子上打個結(jié)，然后將繩子的兩端粘在一起——這就是一個數(shù)學(xué)結(jié)。如果一個結(jié)可以在不剪斷繩子的情況下纏結(jié)或解開，以匹配另一個結(jié)，則這兩個結(jié)是等價的。

這個聽起來很平凡的任務(wù)有很多數(shù)學(xué)用途 https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-study-knots-20221031/ 參閱：。

2023年，五位數(shù)學(xué)家在結(jié)理論的一個關(guān)鍵猜想上取得了進(jìn)展 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-this-knot-cannot-solve-major-problem-20230202/ 。該猜想指出，所有具有某種性質(zhì)（“切片”）的結(jié)也必須具有另一種性質(zhì)（“絲帶”），證明排除了一個可疑的反例。（順便說一句，我經(jīng)常想搞明白為什么結(jié)理論學(xué)家堅持使用名詞作為形容詞。）

分類也可以變得更加抽象。理論計算機(jī)科學(xué)家和數(shù)學(xué)家都根據(jù)分類問題的“難度” https://www.quantamagazine.org/mathematicians-solve-decades-old-classification-problem-20210805/ 對其進(jìn)行分類 https://www.linkedin.com/pulse/why-computer-scientists-study-hard-problems-quanta-magazine-uphve/ 。

所有這些分類將數(shù)學(xué)中混亂的無限性變成了可訪問的秩序。這是控制數(shù)學(xué)想象洪流的第一步。

網(wǎng)絡(luò)上

倫敦瑪麗女王大學(xué)有一個在線數(shù)據(jù)庫 https://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/ ，里面有各種有限群及其性質(zhì)。我最喜歡的命名群是“復(fù)單李群”（complex simple Lie group）。（魔群Monster groups，包含小魔群的一個類別，答案太簡單了。）

我可以花一整天時間盯著繩結(jié)看，試圖判斷它們是否相同。澳大利亞國立大學(xué)的金·莫里森（Kim Morrison）和多倫多大學(xué)的德羅·巴爾納坦 （Dror Bar-Natan）制作的繩結(jié)圖冊 https://katlas.org/wiki/Main_Page 很好地匯集了繩結(jié)（以及它們在歷史和文化中的出現(xiàn)方式）。

還可以看看這個繩結(jié)動物園 https://knotplot.com/zoo/ ，你可以點擊每個繩結(jié)以交互式3D方式查看它。

數(shù)學(xué)家們總是忍不住要對整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行分類和重新分類。美國數(shù)學(xué)會最近一次是在2020年 https://zbmath.org/classification/ 。

或者你可以看看量子雜志更直觀的數(shù)學(xué)地圖 https://www.quantamagazine.org/the-map-of-mathematics-20200213/ 參閱：。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4866240

https://www.quantamagazine.org/phyla-and-other-flawed-taxonomic-categories-vex-biologists-20190624/

https://www.quantamagazine.org/a-new-map-of-the-standard-model-of-particle-physics-20201022/

https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-like-to-classify-things-20170815/

https://www.quantamagazine.org/groups-underpin-modern-math-heres-how-they-work-20240906/

https://www.quantamagazine.org/after-20-years-math-couple-solves-major-group-theory-problem-20250219/

https://www.quantamagazine.org/rational-or-not-this-basic-math-question-took-decades-to-answer-20250108/

https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/

https://www.quantamagazine.org/in-topology-when-are-two-shapes-the-same-20210928/

https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-study-knots-20221031/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-this-knot-cannot-solve-major-problem-20230202/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-solve-decades-old-classification-problem-20210805/

https://www.linkedin.com/pulse/why-computer-scientists-study-hard-problems-quanta-magazine-uphve/

https://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/

https://katlas.org/wiki/Main_Page

https://knotplot.com/zoo/

https://zbmath.org/classification/

https://www.quantamagazine.org/the-map-of-mathematics-20200213/

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