數(shù)學家族（上）
1.數(shù)學家族的第一代兄弟

17世紀80年代末和90年代初，當牛頓和萊布尼茨為微積分發(fā)明的居先權發(fā)生爭議時，在大陸數(shù)學家中有兩個兄弟站出來熱烈地為萊布尼茨辯護，這就是貝努利數(shù)學家族的第一代貝努利兄弟：雅克.貝努利(1654-1705年）和約翰.貝努利(1667-1748)，人們通常稱他們?yōu)槔县惻值堋?/p>

貝努利兄弟生于瑞士巴塞爾的一個牧師家庭，他們都曾有過一段自學數(shù)學的經(jīng)歷。

雅克曾根據(jù)他父親的意愿，最初在巴塞爾大學學神學，因為他的父親希望他將來能成為一個牧師。可是，雅克在法國、德國和荷蘭等國進行廣泛的旅行后，由于受到所結(jié)識的一些數(shù)學家的影響，對數(shù)學產(chǎn)生了興趣。從1670年以后，雅克即開始自學數(shù)學。當時，微積分尚未發(fā)表，雅克找來一些數(shù)學著作，開始研究人們當時極為關注的求曲線的切線等數(shù)學問題。在研究中，他主要研究了笛卡爾的《幾何》、華里斯的《無窮算術》、巴羅的《幾何講義》等著作。雅克也幾乎走到了獨立地發(fā)明微積分的邊緣。正在這時，萊布尼茨的微積分成果相繼發(fā)表，雅克對萊克尼茨極為敬佩，他前往德國，與萊布尼茨進行短期合作。1686年返回巴塞爾當上了巴塞爾大學的數(shù)學教授。

雅克的弟弟約翰，他的父親最初曾想讓他去經(jīng)商，而他本人卻想去學醫(yī)。但此后不久，在哥哥的影響下，他也開始自學數(shù)學。從1695年起，約翰因其在數(shù)學上初露才華，被聘為荷蘭格羅寧根大學的數(shù)學教授。1705年，其兄不幸去世，約翰應聘返回瑞士，接替了他哥哥在巴塞爾大學的數(shù)學教授職位。

2.變分法與概率論基礎的奠定

雅克.貝努利對于當時數(shù)學的貢獻，主要在于奠定了變分法與概率論的基礎。

變分法所涉及的一些基本數(shù)學問題，即求極值的問題，可以追溯到古希臘數(shù)學發(fā)展時期。那時，阿基米德就曾證明，在給定的周長之間，所圍成的各種幾何圖形的面積，以圓形的面積為最大。在古代，極值問題不僅為一些著名數(shù)學家所關注，而且流行在一些民間的傳說中。在迦太基傳說中，就有一則求極值的數(shù)學故事：有人給戴多皇后一張牛皮，要她用這張牛皮圍出盡可能大的面積。戴多皇后把牛皮割成長條，然后用長條圍出一個半圓。這說明，求極值問題遠在古代已經(jīng)引起了人們的關注。

進入17世紀后，由于力學和數(shù)學的發(fā)展，類似的數(shù)學問題又重被人們提出，在伽利略和萊布尼茨的有關著作中，都曾出現(xiàn)過類似的數(shù)學問題。

1696年，約翰向他的哥哥提出了6個數(shù)學難題，這些數(shù)學難題都不是用當時的數(shù)學方法能一下子解決得了的。其中有一個問題是這樣的：在給定的一根水平軸上畫出的所有半橢圓中，怎樣才能求一個半橢圓，使物體沿著它的凹面下滑時，所需要的時間最短。這一問題實際上就是求最速降線問題。用通常的數(shù)學術語來說，也就是求曲線，它能使最初為零的質(zhì)點在重力作用下從起點沿曲線降到終點時，所需時間最短。

對于約翰提出的最速降線問題，雅克一時無法作出回答。此后經(jīng)過三年多的努力，他終于從微積分中引出一種新方法，即是在求極值方法的基礎上，運用積分方法求出某一積分的極值。1697年12月，約翰在《博物雜志》上發(fā)表了他向雅克提出的數(shù)學問題。1700年，作為對約翰提出的問題的解答，雅克在《博物者學報》上發(fā)表了一篇著名的論文：《等周問題實解》。在文中，雅克除了討論最速降線問題之外，還討論了涉及到求極值的另一個重要問題：等周問題，即在一切具有定長的平面閉曲線中，求出一條圍成的面積最大的曲線。無論是等周問題，還是最速降線問題，都是微積分中求極值方法的運用和發(fā)展。文中還討論了求極值方法的一般原理與普遍方法。這樣，雅克就以微積分中的求極值方法這一基本數(shù)學問題為生長點，在微積分中開辟了變分法這一新的數(shù)學分支。

由于變分法的建立，不但推動了微積分本身的發(fā)展，而且初步奠定了力學和物理學中變分原理的數(shù)學基礎。這樣，雅克就把微積分從純粹數(shù)學與應用數(shù)學兩方面向前推進了一步。

雅克除了奠定變分法的基礎之外，在微積分的早期發(fā)展中，也曾取得一些類似于萊布尼茨的重要成果。1694年，雅克出版了《微分學方法，論反切線》這一重要論著。在書中，雅克對微積分的基本原理和方法進行了比較系統(tǒng)的研究，特別是推進了常微分方程與積分法的研究。這一著作在微積分的早期發(fā)展中產(chǎn)生過重要影響，并被一些數(shù)學史家譽為微積分的奠基作之一。

雅克對近代數(shù)學發(fā)展的另一個重要貢獻，是進一步奠定了概率論的基礎。

在雅克之前，概率論已有最初的萌芽。荷蘭科學家惠更斯1657年發(fā)表的《論機會游戲的演算》，可以算是近代數(shù)學史上最早的概率論著作。

雅克在1685-1690年間對概率論進行了研究。1685年，他在《博物雜志》上發(fā)表的一些論文中，重新提出了惠更斯在《論機會游戲的演算》中提出過的一些概率論問題：若甲乙兩人在賭博游戲中同擲一顆骰子，先擲出是么點的為勝。甲乙兩人開始各擲一次，然后各擲兩次，接著各擲三次，依此繼續(xù)下去，兩人獲勝的概率各有多少；或者，甲先擲一次，乙接著擲二次，甲擲三次，乙接著擲四次，兩人獲勝的概率又各有多少。通過提出這些問題，雅克開始了對概率論的研究。

1690年，雅克完成了賭博游戲中勝負概率的計算方法的研究，找到了以排列組合為基礎的一種普遍的數(shù)學方法。運用這一方法，可以確定某一事件的概率范圍，即使某個在多種機率中出現(xiàn)的事件概率無限地趨向這個已經(jīng)確定的概率。這樣，雅克就找到了一種處理隨機現(xiàn)象的數(shù)學方法。自此之后，概率論也就從惠更斯所最初提出的一些基本問題，開始成為一門以隨機數(shù)學現(xiàn)象為基本研究對象的新的數(shù)學分支。

同年，雅克在《博物者學報》上發(fā)表了關于概率論的一些初步解答。后來，他又進一步總結(jié)了他在概率論方面的研究成果，完成了《猜測的藝術》這一早期概率論的奠基之作。在這一著作中，雅克比較詳盡地論述了以下問題：其一，概率論的基本問題；其二，排列與組合理論的研究；其三，機會和對策中的概率問題；其四，概率論在民間、道德和經(jīng)濟問題等方面的實際應用。這樣，概率論也就由雅克的《猜測的藝術》的完成而奠定了初步的數(shù)學基礎。

雅克的《猜測的藝術》雖然直到1713年才出版，但他出版后，即對概率論的發(fā)展產(chǎn)生重要影響。不久以后，這一新的數(shù)學分支即成為人們極為關注的數(shù)學領域，新的著作相繼問世，新的成果不斷出現(xiàn)，直至19世紀成為科學研究中基本的數(shù)學方法。

雅克除了作為變分法與概率論的奠基人而聞名于近代數(shù)學史外，還在級數(shù)與解析幾何的研究中有過重要貢獻。在級數(shù)方面，雅克在1704年出版了《關于無窮級數(shù)及其有限和的算術運用》一書，推進了級數(shù)理論方面的研究。在解析幾何方面，雅克還在笛卡爾坐標的基礎上建立了極坐標。由于極坐標的建立，使得曲線及其方程的研究有了新的發(fā)展。

雅克是貝努利家族的第一個對近代數(shù)學產(chǎn)生重要影響的數(shù)學家。