導語

歲末年初，回望這一年的知識探索之旅。這一年，人工智能依然在狂飆突進，但我們也看到了更多的困惑：

• 智能涌現(xiàn)的底層機制是什么?

• 如何用數(shù)學與物理的語言描述復雜系統(tǒng)?

• 面對高維、非線性、非平衡系統(tǒng)，我們?nèi)鄙偈裁垂ぞ?

在集智學園，我們相信答案藏在復雜科學的深處。

多年來，我們持續(xù)深耕復雜系統(tǒng)與人工智能領域的課程建設。2025 年，我們更進一步——攜手北京師范大學系統(tǒng)科學學院、華僑大學、北京郵電大學、武漢大學、北京工業(yè)大學等多個學術(shù)機構(gòu)的 26 位研究學者，為這座知識大廈添磚加瓦：更加注重數(shù)學與物理基礎，打造了一條從數(shù)學筑基到系統(tǒng)整合的學習路徑。2025年的7 門系統(tǒng)化課程，涵蓋線性代數(shù)、拓撲學、統(tǒng)計物理、涌現(xiàn)動力學、重整化群、系統(tǒng)科學前沿，構(gòu)建起理解復雜系統(tǒng)的知識框架。

這不僅是一年的課程回顧，更是一場從數(shù)學筑基到系統(tǒng)涌現(xiàn)的知識之旅——邀請你一起出發(fā)。

王朝會丨整理

一個知識階梯

2025 年，集智學園構(gòu)建了一條更加清晰的認知升級路徑：

第一階：數(shù)學筑基→ + ，打造科研人的底層工具箱

第二階：物理深化→ + + ，理解系統(tǒng)涌現(xiàn)的深層機制

第三階：系統(tǒng)整合→ 系統(tǒng)科學前沿（ + ），構(gòu)建完整的復雜系統(tǒng)思維框架

從最基礎的數(shù)學語言，到統(tǒng)計物理的思維方式，再到涌現(xiàn)動力學的核心機制，最終在系統(tǒng)科學的高度上完成整合，形成理解復雜世界的完整框架。

第一階：數(shù)學筑基——科研人的底層工具箱

工欲善其事，必先利其器。復雜系統(tǒng)研究的第一步，是掌握正確的數(shù)學語言。集智學園精心制作了拓撲學和線性代數(shù)基礎課程。

1、線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課

你真的懂線性代數(shù)嗎？

矩陣不只是數(shù)字的排列，特征值不只是計算的結(jié)果。在系統(tǒng)科學的視角下，線性代數(shù)是理解“結(jié)構(gòu)”、刻畫“變換”、判斷“穩(wěn)定性”、提取“信息”的基本思維框架。

無論你研究 AI、生物信息、網(wǎng)絡科學還是物理工程，幾乎所有復雜系統(tǒng)的建模與推理都指向這種底層語言。

由諸葛昌靖、周進兩位老師主講的《線性代數(shù)》課程以系統(tǒng)科學的視角重新解構(gòu)線性代數(shù)，帶你越過技巧、直達本質(zhì)，在跨學科的真實問題中建立起科研必備的數(shù)學基石。

課程目標：

1. 從向量空間到內(nèi)積空間，建立完整的幾何直覺

2. 理解秩、零空間、特征方向的系統(tǒng)科學意義

3. 掌握矩陣分解背后的降維與結(jié)構(gòu)提取思想

4. 連接真實科研場景：透視復雜網(wǎng)絡的核心

課程大綱（8講+2次加餐）：

1. 游戲角色如何平滑變形？——線性映射與向量空間如何保持結(jié)構(gòu)不變性

2. 人耳如何分離不同音調(diào)？——內(nèi)積與正交分解如何實現(xiàn)信號解耦

3. Transformer如何計算注意力？——矩陣乘法如何編碼信息關(guān)聯(lián)與變換

4. 大模型為何能壓縮參數(shù)？——信息重構(gòu)、信息冗余及其有效維度

5. 系統(tǒng)長期行為由什么決定？——特征值如何刻畫穩(wěn)定性與主導模式

加餐：透視復雜網(wǎng)絡的核心——特征值與特征向量初探(上)

1. AI繪畫如何表示“戴帽子的貓”？——奇異值分解（SVD）如何構(gòu)建語義潛在空間

加餐：透視復雜網(wǎng)絡的核心——特征值與特征向量初探(下)

1. 大模型能“推理”嗎？——形式邏輯如何界定數(shù)學證明與統(tǒng)計模仿的邊界

2. 線性代數(shù)如何成為通用建模語言？——跨學科應用案例

課程詳情：

2、拓撲學的思維革命：從空間直覺到系統(tǒng)科學

• 為什么咖啡杯在數(shù)學上等于甜甜圈？

• 為什么混沌系統(tǒng)中會出現(xiàn)“奇怪吸引子”的模式？

• 為什么神經(jīng)網(wǎng)絡、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從拓撲角度理解？

與幾何學追求“測量”不同，拓撲學探索的是形之骨架。在拓撲視角下，咖啡杯與甜甜圈屬于同一種結(jié)構(gòu)，因為它們都有一個“洞”。拓撲學的研究對象可以是平面與曲線，也可以是高維流形、網(wǎng)絡、乃至狀態(tài)空間（“可能性空間”）。系統(tǒng)的整體性質(zhì)和相互關(guān)系通過連續(xù)映射與結(jié)構(gòu)連接來刻畫。拓撲學不僅是數(shù)學的抽象分支，更是一種系統(tǒng)的思維方式，用于理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性和復雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏繞，從量子場論到腦科學中的概念，拓撲學思想正在各學科中深刻地重塑我們的認知方式。

由金威老師主講的《拓撲學的思維革命》課程以問題為導向、歷史為線索、思想為核心，帶領學習者循著數(shù)學思想的發(fā)展脈絡，理解拓撲學如何從幾何與分析的邊界中誕生，并演化為刻畫“關(guān)系與整體”的普適語言。

課程目標：

1. 揭示拓撲概念形成背后的思想動力與邏輯轉(zhuǎn)折

2. 超越傳統(tǒng)數(shù)學課程，不僅傳授知識，更是一場思維訓練

3. 聚焦核心概念，深入理解“關(guān)系”“結(jié)構(gòu)”“不變”的本質(zhì)

課程大綱（9講+1次加餐）：

1. 七橋一筆參形數(shù)，歐拉示性開新章——拓撲學的誕生

加餐：諸賢辟鴻蒙，新學燃火種——拓撲學如何推動數(shù)學史

1. 集諸物降凝為空間，衡度量升以演拓撲——結(jié)構(gòu)思維與拓撲空間的概念

2. 形變?nèi)f端守樞機，異體同構(gòu)共天倪——映射與同胚，拓撲與范疇

3. 地脈豁然一貫通，隨心煉石籠天穹——連通性與緊致性

4. 觀徑變以探廣宇，析域類而彰群倫——同倫與同調(diào)簡介（一）

5. 勘玄府而竅辨，布算譜則群列——同倫與同調(diào)簡介（二）

6. 審其陰陽，以別柔剛——同調(diào)與上同調(diào)、曲率與整體性

7. 見大象之形，致無窮之用——拓撲思想在理論與現(xiàn)實中的應用

8. 形器有涯，玄理無疆——總結(jié)與拓展：從幾何直觀到系統(tǒng)思維

課程詳情：

第二階：

物理深化——理解系統(tǒng)涌現(xiàn)的深層機制

從微觀到宏觀，涌現(xiàn)如何發(fā)生？有了數(shù)學工具，下一步是理解物理世界的運作規(guī)律。統(tǒng)計物理、涌現(xiàn)動力學與重整化群方法，正是連接微觀與宏觀、個體與整體、局部與全局的理論橋梁。

3、統(tǒng)計物理基礎：從微觀隨機到宏觀確定

大量微觀粒子的隨機運動，如何涌現(xiàn)出穩(wěn)定的宏觀定律？

這是統(tǒng)計物理的核心問題，也是理解復雜系統(tǒng)的關(guān)鍵。從氣體分子到神經(jīng)網(wǎng)絡，從相變到臨界現(xiàn)象，統(tǒng)計物理在此不只是解釋熱現(xiàn)象的一門理論，而是一種在高維復雜世界中組織信息、發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)、提煉規(guī)律的方式。

由李永樂老師主講的《統(tǒng)計物理基礎》課程，以熱力學和經(jīng)典力學為起點，依次展開 Boltzmann 統(tǒng)計、系綜理論、量子統(tǒng)計、相變與非平衡統(tǒng)計等核心內(nèi)容，圍繞一個核心問題展開：大量微觀粒子的隨機運動如何涌現(xiàn)出穩(wěn)定的宏觀定律？

課程目標：

1. 從微觀隨機到宏觀確定的思維訓練

2. 從平衡與非平衡、從經(jīng)典到量子

3. 掌握處理多粒子系統(tǒng)和復雜隨機過程的通用工具

課程大綱（8講）：

1. 宏觀熱力學量之間的關(guān)系？——熱力學量、熱力學基本定律、麥克斯韋關(guān)系、特性函數(shù)

2. 熵究竟“數(shù)”的是什么？——熱力學的統(tǒng)計基礎

3. 多體系統(tǒng)的狀態(tài)如何描述？——相空間與系綜理論基礎

4. 如何描述恒溫系統(tǒng)？——正則系綜與配分函數(shù)（2次課程）

5. 粒子數(shù)不再固定，會發(fā)生什么？——巨正則系綜與開放體系

6. 對于量子系統(tǒng)，統(tǒng)計規(guī)則如何改變？——量子統(tǒng)計基礎與簡單氣體

7. 相變與非平衡現(xiàn)象如何描述？——相變與非平衡統(tǒng)計初步

課程詳情：

4、復雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)動力學

• 什么是復雜系統(tǒng)？什么是涌現(xiàn)？

• 復雜系統(tǒng)涌現(xiàn)行為的機理是什么？

• 什么是序參量？怎樣尋求復雜系統(tǒng)的序參量？

• 如何建立復雜系統(tǒng)的序參量動力學描述？

從鳥群的集體飛行到神經(jīng)元的同步放電，從心跳的節(jié)律到人工智能的涌現(xiàn)能力，復雜系統(tǒng)的集體行為背后隱藏著深刻的動力學規(guī)律。

由鄭志剛老師主講的《復雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)動力學》系列課程，從涌現(xiàn)的基本物理和數(shù)學原理出發(fā)，構(gòu)建涌現(xiàn)動力學的基本理論框架，并將其應用于節(jié)律行為、同步、集群、時空斑圖、智能與人工智能等熱點問題。

課程目標：

1. 微觀相互作用如何涌現(xiàn)宏觀集體行為

2. 序參量理論：用更少變量描述復雜系統(tǒng)

3. 從基本原理到同步、集群、智能等前沿應用

課程大綱（8講+回顧）：

1. 復雜系統(tǒng)涌現(xiàn)的理論基礎

2. 復雜系統(tǒng)涌現(xiàn)的序參量理論

3. 時域的涌現(xiàn)：節(jié)律與集體振蕩

4. 時域的涌現(xiàn)：同步（一）

5. 時域的涌現(xiàn)：同步（二）

6. 空域的涌現(xiàn)：集群

7. 時空的涌現(xiàn)：非線性波與斑圖

8. 神經(jīng)網(wǎng)絡動力學

復雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)動力學系列課程回顧與展望

課程詳情：

5、重整化群分析在非線性物理中的應用

面對高維、非線性、非平衡的復雜系統(tǒng)，如何找到有效的分析方法？

重整化群方法始于場論，在凝聚態(tài)相變中發(fā)展，經(jīng) Widom、Kadanoff 和 Wilson 等人拓展，成為聯(lián)系不同尺度物理規(guī)律的有力工具。在復雜系統(tǒng)研究中，它可以幫助我們進行狀態(tài)粗?；С龃至；蟮姆匠?，也可以用來解析或數(shù)值計算非線性動力系統(tǒng)中的重要軌道。

由蘭岳恒老師主講的《重整化群分析在非線性物理中的應用》課程系統(tǒng)講述重整化群這一理論框架，怎樣用來分析高維非線性系統(tǒng)的性質(zhì)，實現(xiàn)方程的求解與約化。

課程目標：

1. 從復雜系統(tǒng)建模出發(fā)，講述對稱性、不變性與變換群的關(guān)系

2. 重整化群在非線性動力學中的應用：約化方程、搜尋重要軌道

3. 連接 Koopman 算符本征函數(shù)等現(xiàn)代方法

4. 聯(lián)接動力學和統(tǒng)計方法的橋梁和有力工具

課程大綱（6講）：

1. 復雜系統(tǒng)及其建模

2. 對稱性、不變結(jié)構(gòu)與變換群

3. 重整化初步

4. 非線性動力學的重整化群分析

5. 重整化群確定非線性體系的重要軌道

6. 重整化群分析的更多應用

課程詳情：

第三階：系統(tǒng)整合——構(gòu)建復雜系統(tǒng)思維框架

有了數(shù)學工具和物理深化，我們終于可以站在系統(tǒng)科學的高度，將所有知識整合為一個完整的思維框架——從微觀機制到宏觀結(jié)構(gòu)，從理論分析到實際應用，從生命系統(tǒng)到人工智能。

6+7、系統(tǒng)科學前沿（第一期+第二期）

當 AI 遇到瓶頸，當智能涌現(xiàn)成為謎題，當復雜系統(tǒng)的規(guī)律難以捉摸，我們需要回到更基礎的問題：

• 系統(tǒng)科學的核心思想是什么？

• 如何用系統(tǒng)的視角理解統(tǒng)計物理、生命智能、社會行為？

• 復雜網(wǎng)絡、人工智能與系統(tǒng)科學有什么深層聯(lián)系？

• 如何將系統(tǒng)科學應用于數(shù)字化轉(zhuǎn)型等產(chǎn)業(yè)實踐？

北京師范大學系統(tǒng)科學學院與集智學園聯(lián)合推出《系統(tǒng)科學前沿》兩期系列課程，第一期以系統(tǒng)科學的理論基礎與核心方法論為重點，第二期以前沿探索與產(chǎn)業(yè)應用的深度拓展為重點。這個系列課程是本年度的爆款課程，有超過600人加入，歡迎更多朋友加入，共同走進系統(tǒng)科學。

第一期課程大綱（10講）：

1. 無盡的前沿——系統(tǒng)科學簡介

2. 統(tǒng)計物理與地球復雜系統(tǒng)

3. 群體行為與多主體建模

4. 復雜網(wǎng)絡理論及其應用

5. 自組織理論

6. 復雜系統(tǒng)與人工智能

7. 大腦復雜性中的前沿專題

8. 生命復雜性

9. 社會經(jīng)濟系統(tǒng)復雜性探索

10. 科學學與復雜系統(tǒng)研究

課程詳情：

第二期課程大綱（10講）：

1. 復雜系統(tǒng)相變與臨界現(xiàn)象

2. 用系統(tǒng)思維降解數(shù)字化項目集群的復雜性難題

3. 信息和復雜度對生命系統(tǒng)的約束

4. 探索腦與智能的復雜性

5. 復雜網(wǎng)絡視角下的腦結(jié)構(gòu)與功能

6. 探索科學文獻空間的復雜性

7. 多主體建模 vs 系統(tǒng)動力學

8. 復雜性理論破解材料之謎

9. 揭示復雜國際貿(mào)易演變背后的驅(qū)動機制

10. 大腦學習記憶之中的復雜性

課程詳情：

2026 年，繼續(xù)前行

從數(shù)學到物理，從筑基到涌現(xiàn)，從理論到實踐。

2025 年，我們用數(shù)學與物理的語言，構(gòu)建起理解復雜系統(tǒng)的框架。

2026 年，這場從基礎到前沿的系統(tǒng)科學探索，邀請你一起繼續(xù)前行。集智學園將繼續(xù)深耕系統(tǒng)科學與復雜系統(tǒng)領域，推出更多高質(zhì)量課程，舉辦更多學術(shù)活動，連接更多學術(shù)與產(chǎn)業(yè)資源。

如果你也相信：

• 復雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)規(guī)律可以被理解和預測

• 數(shù)學和物理是理解復雜世界的基本語言

• 系統(tǒng)科學的思維方式能帶來真正的創(chuàng)新

• 從微觀到宏觀、從局部到整體的系統(tǒng)視角至關(guān)重要

• 跨學科的知識整合是未來科研的必然趨勢

那么，歡迎加入我們。

筑基·涌現(xiàn)——我們在集智學園等你。