冬天是吃橙子的季節(jié)，當你吃橙子的時候，你是否想過這樣一個問題：在桌子上擺上幾個橙子，讓幾個橙子中間圍繞一個橙子，在保持互相不重疊的情況下，最多可以擺幾個？在三維空間里，答案是 12 個。這就是著名的親吻數(shù)問題。可是如果是在更高維的空間里呢？這個連牛頓也沒想明白的幾何難題，困擾了人類三百多年。

最近，上?？茖W(xué)智能研究院（下稱上智院）與北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)的聯(lián)合研究團隊打造了一個名為 PackingStar 的 AI 系統(tǒng)，不僅重現(xiàn)了人類已知的所有高維親吻數(shù)紀錄，還一口氣把從 25 維到 31 維的紀錄全部打破，并且在 12、14、17、20、21 等多個維度上打破了多球接吻數(shù)的最佳紀錄。

除此之外，它還在 14 維發(fā)現(xiàn)了超過 6,000 種全新的球體排列方式，并在一個特別難算的 13 維問題上，找到了一個更優(yōu)美的數(shù)學(xué)解。

圖 | AI 在親吻數(shù)問題上的突破（來源：受訪者）

Packing Star 團隊告訴 DeepTech：這是 AI 首次在親吻數(shù)/球堆積領(lǐng)域取得重大且數(shù)學(xué)上可理解的突破，產(chǎn)出的結(jié)構(gòu)具有明確數(shù)學(xué)意義，并揭示了前所未有的局部對稱整體非對稱模式。相比之下，DeepMind 的 AlphaEvolve 雖稍早在 11 維有一項微小改進，但其結(jié)果數(shù)學(xué)啟發(fā)性較弱。

“在技術(shù)層面，我們的系統(tǒng)展示了如何用簡潔優(yōu)美的 AI 工具解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題，或許能啟發(fā)年輕人對 AI for Math 的興趣?！背錾頂?shù)學(xué)專業(yè)的項目核心成員陶兆巍補充稱。

（來源：受訪者）

它全面刷新了人類之前已知的最佳紀錄。尤其是在 25 維，其所找到的排列結(jié)構(gòu)與著名的里奇格點（Leech lattice）這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的局部完美對應(yīng)，暗示這很有可能就是最優(yōu)解。在 13 維，它找到了一個包含 1,146 個球的優(yōu)雅結(jié)構(gòu)，其所有角度都是整齊的分數(shù)也就是有理數(shù)。

這雖然沒有打破球數(shù)總數(shù)的紀錄，但是這種整潔性更易于被數(shù)學(xué)家嚴格分析和理解，能為找到更優(yōu)解帶來一定的指南作用。同時，它還發(fā)現(xiàn)了 14 維中 6,000 多種全新的球體排列方式，為這個領(lǐng)域打開了巨大的寶庫。

它首次實現(xiàn)了非對稱規(guī)則構(gòu)型的系統(tǒng)性搜索。在沒有反向合成數(shù)據(jù)、憑借零或者少數(shù)初始的直覺，通過多智能體強化學(xué)習(xí)直接生成人類未曾發(fā)現(xiàn)的空間分布結(jié)構(gòu)。所發(fā)現(xiàn)的新的幾何構(gòu)型是人類可理解的，可以啟發(fā)新的數(shù)學(xué)構(gòu)造，同時還為后續(xù)研究提供了可用的構(gòu)造工具與搜索范式。

項目發(fā)起人馬成棟表示：這正是該團隊心中 AI for Math 的理想形態(tài)——不止于炫技，不止于展現(xiàn) AI 強大的優(yōu)化能力，而是真正貢獻出有生命力、能啟發(fā)后續(xù)探索的數(shù)學(xué)結(jié)果。

什么是親吻數(shù)？

1694 年，牛頓和他的朋友格雷戈里爭論：一個球周圍最多能放幾個同樣大小的球，并且它們只能接吻也就是相切，而不能擁抱也就是重疊，這便是親吻數(shù)問題。

如前所述，在人類的世界里答案是 12 個。但是，數(shù)學(xué)家的思維飛得更遠：在 4 維、8 維、24 維這些我們想象不出來的空間里，這個數(shù)字又是多少？

高維空間不是科幻，它就在我們身邊。比如，一段數(shù)字音樂可以使用成千上萬個維度的點來表示；現(xiàn)代通信和加密技術(shù)也極度依賴高維幾何。

親吻數(shù)問題，正是理解高維空間如何節(jié)省空間地裝東西的關(guān)鍵。它不僅是數(shù)學(xué)游戲，更為設(shè)計更高效的網(wǎng)絡(luò)、更穩(wěn)定的通信密碼、乃至理解宇宙的結(jié)構(gòu)提供了基石。

然而，維度一高，問題就變得復(fù)雜得可怕。在 8 維以上，可能的排列方式數(shù)量已經(jīng)超過了圍棋所有可能的棋局，依靠人腦和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)工具幾乎無法窮盡。過去半個世紀，數(shù)學(xué)家們殫精竭慮也只在少數(shù)維度得到了精確答案。

AI 如何玩轉(zhuǎn)高維？

讓 AI 來解答數(shù)學(xué)題，聽起來是讓它做奧數(shù)卷子，似乎難度很大。但是，Packing Star 團隊想了一個方法：把擺球問題變成一個兩人協(xié)作的拼圖游戲。

他們不再直接結(jié)算每個球在虛無縹緲的高維空間中的精確坐標，因為這非常容易出錯而且效率很低，所以他們轉(zhuǎn)而關(guān)注球與球之間的角度關(guān)系。所有角度信息可以整齊地填寫在一個特殊的表格里。

游戲中，一號玩家也就是填充者負責往表格里添加新的數(shù)字，試圖把表格擴大。但是，一開始它就像蒙著眼睛走路，難免會填錯。這時，二號玩家也就是糾正者出場了，它擁有更全局的視野，能夠找出表格里不和諧、不合理的地方，并把它們擦掉。

兩個 AI 代理人就這樣你添一筆、我改一畫，在反復(fù)試錯與合作中，共同拼出一張越來越大的、代表著更優(yōu)球體排列的完美表格。

圖 | 矩陣填充雙人游戲（來源：受訪者）

這個方法妙在哪里？它極其適合使用 AI 進行并行處理，可以同時探索海量的可能性。于是，原本令人望而生畏的、指數(shù)級爆炸的高維搜索空間，變得可以被高效探索。

這也說明，AI 不僅可以做復(fù)雜的計算，更能夠成為人類直覺的延伸，去探索那些因為維度太高、太抽象而超出了人類想象力的數(shù)學(xué)空間。而后，人類又可以接著去理解 AI 找到的新結(jié)構(gòu)，提出數(shù)學(xué)直覺，提煉理論邏輯。人類和機器就這樣循環(huán) play、實現(xiàn)科研閉環(huán)。

在后續(xù)計劃上，該團隊打算改進現(xiàn)有系統(tǒng)、拓展至全空間球堆積問題、探索在圖論等領(lǐng)域的應(yīng)用，以及嘗試觸及更高維度?！拔覀円查_始與更多數(shù)學(xué)家建立合作?！碧照孜”硎?。

運營/排版：何晨龍