《元數(shù)學基礎》

該書所涉及的是數(shù)學和元數(shù)學的基礎問題，旨在以明確的、具體有限的基本版圖作為出發(fā)點，建立嚴格的元數(shù)學形式理論體系，以期實現(xiàn)對弗雷格 “第三領域” 以及哥德爾 “概念王國”的一種恰當解釋。

近日，北京雁棲湖應用數(shù)學研究院（BIMSA）研究員馮琦的學術著作《元數(shù)學基礎》三卷本正式出版。

在本書前言中，馮琦將討論起點追溯至一個貫穿西方思想史的根本問題：系統(tǒng)性確保理性思維正確性的基本原理究竟是什么。自亞里士多德以來，這一問題始終是形而上學與邏輯學關注的核心；當其被限定在數(shù)學范圍之內，便形成了經典的“數(shù)學基礎問題”。

自弗雷格、佩亞諾、懷特黑德與羅素、希爾伯特、策梅洛等學者以來，數(shù)學基礎研究圍繞著數(shù)學的基本原理、其構成方式以及可靠性持續(xù)展開。然而，在數(shù)理邏輯與集合論的發(fā)展過程中，一個長期存在的張力逐漸顯現(xiàn)：形式化數(shù)學理論的建立，往往仍需依賴直觀的、非形式的元理論作為出發(fā)點。

《元數(shù)學基礎》正是在這一背景下展開其理論工作。作者認為，關鍵不在于回避弗雷格法則，而在于將其作為具體、可操作的“工具與方法”加以解釋。在限定于具體、有限范圍的條件下，數(shù)學歸納法與遞歸定義可以被理解并實施為算法；而在即將跨越邊界之時，則明確終止算法的執(zhí)行。

在此思路下，本書將弗雷格（1879）提出的數(shù)理邏輯基本法則，與策梅洛（1908）對康托爾樸素集合論的公理化工作，以及弗倫克爾（1922）的補充理論加以系統(tǒng)整合，形成作者提出的 CFZFC 理論框架( Cantor–Frege–Zermelo–Fraenkel–Axiom of Choice )。這一框架嘗試在不訴諸語義解釋的前提下，以具體、有限的邏輯工具與集合論公理，建立元數(shù)學形式理論本身。

《元數(shù)學基礎》共分三卷，循序推進上述理論構想:

第一卷聚焦純粹而具體的“有限性”理論，完成兩項基礎性工作：一是在一個具體、有限的字符表上，詳細解釋并嚴格論證全書所使用的集合論語言下一般性、確保正確性的具體工具和方法；二是逐步引入集合論語言下的基本公理與基本概念，并在此基礎上，對“有限性”“自然數(shù)”以及“基本算術律”作出形式化解釋。

第二卷在此基礎上建立基本實在無窮的具體形式理論，引入第一無窮公理，明確其對于“自然數(shù)”標準表示問題的形式解答，構建徹底有限集合的論域，并為完整形式理論概念文字的建立奠定基礎。

第三卷則完成元數(shù)學形式理論 CFZFC 概念文字的系統(tǒng)建構：利用徹底有限集合的資源建立一階邏輯形式系統(tǒng)與元數(shù)學基本概念；在集合論形式理論框架下實現(xiàn)一階邏輯的形式語義解釋，形式化表述塔爾斯基真實性定義并引入哥德爾完備性定理；完整建立 CFZFC 概念文字形式理論，并在這一新的概念文字系統(tǒng)中，進一步探討邏輯哲學中的“邏輯真理”定義問題。

作者指出，《元數(shù)學基礎》需要論證的結論本身多為眾所周知的簡單而基本的事實，但對這些結論的機械形式論證則必然是細致而冗長的。因此，作者特別提醒讀者，在閱讀冗長、機械而嚴密的形式證明時，需要保持一種耐心而審慎的態(tài)度。

對于有意系統(tǒng)學習數(shù)理邏輯的學生而言，本書匯集了大量具體而實際的形式演繹推理實例；對于有意探討數(shù)學定理機器證明的讀者而言，書中亦蘊含著一系列可供分析的演繹推理算法。作者相信，《元數(shù)學基礎》將成為數(shù)學、計算機科學乃至哲學領域年輕學者的有益參考，對于關注數(shù)學基礎、數(shù)理邏輯、數(shù)學定理機器證明以及人工智能相關問題的讀者而言，書中提供了豐富而具有啟示意義的材料。

作者 - BIMSA研究員馮琦

研究方向為數(shù)理邏輯、公理化集合論及無窮組合理論。在實數(shù)集正則性領域與Magidor、Woodin合作完成奠基性工作，與Jensen合作構建復雜內模型理論，在大基數(shù)與印證原理研究中取得系列突破，并與Woodin合作推進連續(xù)統(tǒng)假設研究。出版《數(shù)理邏輯導引》、《集合論導引》、《元數(shù)學基礎》等教材。曾任國際符號邏輯協(xié)會東亞分會理事長及理事、中國科學院數(shù)學研究所副所長。1977年考入哈爾濱工業(yè)大學計算機科學系，1988年獲賓州州立大學博士學位。1990年赴新加坡國立大學任講師，1998年任中科院數(shù)學所研究員。2004-2007年執(zhí)教清華大學數(shù)學系，期間參與數(shù)學院-新加坡國立大學-加州伯克利分校聯(lián)合培養(yǎng)項目，曾擔任德國柏林洪堡大學Mer Cator客座教授。2000年獲國家杰出青年科學基金，2003年入選中科院百人計劃，2017年獲北京市教學名師獎。

本文轉自：北京雁棲湖應用數(shù)學研究院。

（本文編輯：劉四旦）

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