近日，Annals of Mathematics在線發(fā)表了北大數(shù)學00級本科校友、北京大學講席教授袁新意的論文“Arithmetic bigness and a uniform Bogomolov-type result”；以及北大數(shù)學09級本科校友、美國密歇根大學安娜堡分校數(shù)學系副教授潘略的論文“On locally analytic vectors of the completed cohomology of modular curves II”。

Annals of Mathematics是國際頂尖數(shù)學期刊，以審稿周期長、審稿標準苛刻而著稱。

袁新意在北大課堂上

公元3世紀，古希臘數(shù)學家丟番圖系統(tǒng)地研究了不定方程，即尋找有理系數(shù)的多項式方程組的有理解，于是這類方程也叫做丟番圖方程。丟番圖方程從古希臘時期直至今日一直都是數(shù)論的一個核心問題，數(shù)學家們研究丟番圖方程的思想隨著數(shù)學的發(fā)展不斷提高，在引入代數(shù)幾何與復幾何的觀點后，丟番圖方程逐漸演進成現(xiàn)代丟番圖幾何。1922年，英國數(shù)學家莫德爾提出了一個看似樸素卻相當深刻的猜想，即虧格大于1的曲線只有有限個有理解。1983年，德國數(shù)學家Faltings證明了莫德爾猜想，這一工作無疑是丟番圖幾何的一個里程碑。1986年，美國數(shù)學家Mazur提出了一致莫德爾猜想，即虧格大于1的曲線的有理解的個數(shù)有某種一致的上界，而這個猜想最終被Vojta (1991)，Dimitrov-Gao-Habegger (2020) 和Kühne (2021) 共同解決。

2021年，袁新意獨立完成105頁的論文“Arithmetic bigness and a uniform Bogomolov-type result”。在論文中，袁新意構(gòu)造了曲線?？臻g上的算術(shù)典范線叢，這一構(gòu)造基于他和張壽武于當年早些時候合作發(fā)展的阿黛爾線叢的理論，推廣了之前Arakelov和張壽武在單個曲線上的算術(shù)典范線叢的構(gòu)造。他將一致Bogomolov猜想轉(zhuǎn)化為這個算術(shù)典范線叢的大性，并成功的證明了算術(shù)典范線叢的大性，從而給出了一致Bogomolov猜想和一致莫德爾猜想的一個全新的證明。與Dimitrov-Gao-Habegger和Kühne的方法相比，袁新意的方法更具理論化和幾何化，他得到的結(jié)果一方面適用范圍更廣，對數(shù)域和任何特征的函數(shù)域都適用，另一方面對于所得常數(shù)之間的依賴關(guān)系也更強。另外，這篇文章提供了研究曲線的算術(shù)不變量的比較與退化的一個新方法，在抽象的Arakelov幾何里也有深遠的影響。

袁新意，北京大學數(shù)學科學學院2000級本科校友。他的工作領(lǐng)域是數(shù)論和算術(shù)幾何，主要的工作方向是Arakelov幾何、丟番圖幾何、算術(shù)動力系統(tǒng)、志村簇與L函數(shù)。他在這些方向都有突破性的工作，被認為是相關(guān)領(lǐng)域的國際領(lǐng)軍數(shù)學家。于2020年初辭去美國加州大學伯克利分校的終身教職，回到北大，加盟北京國際數(shù)學研究中心?；貒ぷ骱螅麑⑾嚓P(guān)領(lǐng)域的工作繼續(xù)推向前進，特別是與合作者一起，發(fā)展了阿黛爾線叢的理論，完成了幾何Bogomolov猜想和整體域上的一致Bogomolov猜想的證明。他于2022年獲“科學探索獎”。2025年，袁新意接到2026年費城國際數(shù)學家大會（ICM2026）邀請，將于今年會議期間作45分鐘邀請報告。

密歇根大學安娜堡分校數(shù)學系副教授、北大數(shù)學校友潘略

潘略獨作發(fā)表了題為“On locally analytic vectors of the completed cohomology of modular curves II（模曲線完備上同調(diào)的局部解析向量的研究第二篇）”的重要研究成果。

該研究是作者先前關(guān)于模曲線完備上同調(diào)局部解析向量工作的延續(xù)。研究在模曲線的p無限水平上，分別沿"全純"與"反全純"方向構(gòu)建了微分算子。作為應用，研究重新證明了Emerton的經(jīng)典性結(jié)果：每一個在p處為正則de Rham且出現(xiàn)在模曲線完備上同調(diào)中的絕對不可約二維伽羅瓦表示，均來自一個特征形式。此外，研究對這些伽羅瓦表示在完備上同調(diào)中所附著的GL?(??) 局部解析表示給出了幾何描述。

潘略，北京大學數(shù)學科學學院2009級本科校友。于普林斯頓大學獲得博士學位；曾在芝加哥大學進行博士后研究，曾任普林斯頓大學數(shù)學系助理教授，現(xiàn)任密歇根大學安娜堡分校數(shù)學系副教授。研究方向為代數(shù)數(shù)論，特別是朗蘭茲綱領(lǐng)中的p進數(shù)方面，并在多個領(lǐng)域進行研究，包括上同調(diào)、伽羅瓦表示和巴拿赫表示、剩余表示和不可約表示等。

編輯、審核：胡大可

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