一、（3*5=15分）設三維空間中四點 所形成的三個向量為 , , , 其中 . 已知 作為相鄰兩邊所成的平行四邊形的面積為 ， , , 作為共頂點三條棱所成的平行六面體的體積為 .

(1) 求 的值.

(2) 求平行于向量 且過點 的平面的方程.

(3) 求函數(shù) 在點 的梯度以及在該點沿 方向的方向?qū)?shù).

二、（3*5=15分）設函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間 上可導且導數(shù)大于 0，極限 存在. 證明：

(1) 在區(qū)間 上取值大于 0；

(2) 存在 ，使得

(3) 對上述 ，存在 ， ，使得

三、（5+10=15分）解答下列各題.

(1) 寫出 在 處的 階帶佩亞諾 (Peano) 余項的泰勒公式.

(2) 計算極限

四、（5+10=15分）設二元函數(shù) 有連續(xù)偏導數(shù)， ， ，且對任意實數(shù) 都滿足 .

(1)計算 ；

(2) 計算極限

五、（3*5=15分）設 .

(1) 若定義在 上的二元函數(shù) 具有連續(xù)的二階偏導數(shù)且滿足

證明： , ，其中 , 是二階連續(xù)可導的函數(shù).

(2) 若定義在區(qū)域 上的二元正值函數(shù) 具有連續(xù)的二階偏導數(shù)且滿足

驗證 滿足

(3) 設二元正值函數(shù) 具有連續(xù)的二階偏導數(shù)且滿足

試給出 的表達式.

六、（15分）設 具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且當 時,

記 證明： 在 處取到極值，計算這個極值并判斷是極大值還是極小值.

七、（10分）設定義域為 、值域為區(qū)間 的二元函數(shù) 具有二階連續(xù)偏導數(shù)且處處 。證明：對任意實數(shù) ，曲線 為直線的充分必要條件是

據(jù)說這是2025-2026學年北京大學第一學期的高等數(shù)學A試題，是否正確，請學友直接文后留言反饋！

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