一、（3*5=15分）設(shè)三維空間中四點(diǎn) 所形成的三個(gè)向量為 , , , 其中 . 已知 作為相鄰兩邊所成的平行四邊形的面積為 ， , , 作為共頂點(diǎn)三條棱所成的平行六面體的體積為 .

(1) 求 的值.

(2) 求平行于向量 且過點(diǎn) 的平面的方程.

(3) 求函數(shù) 在點(diǎn) 的梯度以及在該點(diǎn)沿 方向的方向?qū)?shù).

二、（3*5=15分）設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間 上可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)大于 0，極限 存在. 證明：

(1) 在區(qū)間 上取值大于 0；

(2) 存在 ，使得

(3) 對(duì)上述 ，存在 ， ，使得

三、（5+10=15分）解答下列各題.

(1) 寫出 在 處的 階帶佩亞諾 (Peano) 余項(xiàng)的泰勒公式.

(2) 計(jì)算極限

四、（5+10=15分）設(shè)二元函數(shù) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， ， ，且對(duì)任意實(shí)數(shù) 都滿足 .

(1)計(jì)算 ；

(2) 計(jì)算極限

五、（3*5=15分）設(shè) .

(1) 若定義在 上的二元函數(shù) 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足

證明： , ，其中 , 是二階連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù).

(2) 若定義在區(qū)域 上的二元正值函數(shù) 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足

驗(yàn)證 滿足

(3) 設(shè)二元正值函數(shù) 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足

試給出 的表達(dá)式.

六、（15分）設(shè) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且當(dāng) 時(shí),

記 證明： 在 處取到極值，計(jì)算這個(gè)極值并判斷是極大值還是極小值.

七、（10分）設(shè)定義域?yàn)? 、值域?yàn)閰^(qū)間 的二元函數(shù) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且處處 。證明：對(duì)任意實(shí)數(shù) ，曲線 為直線的充分必要條件是

據(jù)說這是2025-2026學(xué)年北京大學(xué)第一學(xué)期的高等數(shù)學(xué)A試題，是否正確，請(qǐng)學(xué)友直接文后留言反饋！

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