在人工智能與大數(shù)據(jù)飛速發(fā)展的今天，線性代數(shù)已成為理工科領(lǐng)域的“重器”。繼上一篇關(guān)于矩陣秩的探討之后，本文將視線轉(zhuǎn)向了矩陣?yán)碚撝袘?yīng)用極為廣泛的另一核心領(lǐng)域——特征值問題。

撰文|朱慧堅（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授）、丁玖（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué) 與統(tǒng)計學(xué)院教授）

在此前文章中，我們已經(jīng)討論了矩陣乘法、矩陣求逆、求廣義逆及其在最小二乘問題中的應(yīng)用。在這篇文章里，我們繼續(xù)談?wù)摼仃?，不過將重心從算子意義下的逆運(yùn)算轉(zhuǎn)移到特征值問題。矩陣的特征值問題不僅用途極其廣泛，而且其思想的光芒也在其他數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)到處閃現(xiàn)，無論是同樣有具體內(nèi)容的常微分方程論，還是比矩陣概念更加抽象的泛函分析，都能看到它的身影。特征值問題對矩陣形狀只有一個限制條件：它必須是個方陣，即行數(shù)等于列數(shù)的矩陣。從之前的文章我們知道，一個 行 列的實(shí)矩陣 = ( ) 是將 維歐幾里得空間 映射到 維歐幾里得空間 的線性算子，它把 中的每一個向量 = ( 1 , … , ) 變換到 中的一個向量 = ( 1 , … , ) ，其中

如果將 和 都寫成列向量的形式，上面從 到 的對應(yīng)關(guān)系即為 = 。

從現(xiàn)在起我們只考慮方陣，即假設(shè) 為一個 行 列矩陣，或言之， 是一個 階方陣（也稱 階矩陣）。如此， = 和 都屬于同一個空間 ，這樣我們 就可以對它們進(jìn)行比較。而在任何學(xué)科的特征值問題中，這種比較是通過相等關(guān)系來刻畫的。通常規(guī)定，兩個向量 相等 是指它們的分量個數(shù)（也叫做它們的維數(shù)）相等，且對應(yīng)的分量都相等。

復(fù)數(shù)域上的特征值

現(xiàn)在定義矩陣特征值問題：對于給定的 階方陣 ，如果存在數(shù) 和非零向 量 ∈ ，使得等式

= λ

成立，則稱 為 的一個特征值， 為 的對應(yīng)于特征值 的一個特征向量。請讀者注意，特征值 可以是 0 ，也可以不是 0 ，然而特征向量 絕不能是零向量。道 理很簡單，因?yàn)楫?dāng) = 0 時，等式兩端恒等于零向量，所有的數(shù) 都滿足特征值 方程，就沒有“特征”可言了。因此，為了避免這種平凡的情況，滿足特征值問題等式的那個向量 不應(yīng)該是零向量。

但是這里的定義好像隱藏了一個問題。上面的敘述繼承了我們之前文章中的一個約定做法，只假定矩陣 的所有元素都是實(shí)數(shù)，因而它定義了 線性算子 : → ，也就是說對所有的向量 , ∈ 及所有的實(shí)數(shù) 和 ，都有

( + ) = + 。

現(xiàn)在問題來了，既然矩陣 和向量 都是定義在實(shí)數(shù)域 上，似乎很自然地希望特征值也應(yīng)該屬于同一個實(shí)數(shù)域。讀者可能要問，在這個看似合理的要求下，矩陣是否總存在至少一個特征值。我們先來看一個直觀易懂的例子。

設(shè)想我們把 ? 平面上的每個向量都圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90 度。這是將 2 映到 2 上的一個線性算子。因?yàn)槊總€非零向量都旋轉(zhuǎn)了一個直角，故它們當(dāng)中不可能有向量旋轉(zhuǎn)成同一方向或相反方向的向量，所以這個實(shí)域上的旋轉(zhuǎn)算子不存在實(shí)特征值，在幾何上看是顯而易見的。若用代數(shù)的方法解釋這個現(xiàn)象，不用高中平面解析幾何的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式，而用我們一直提倡的算子思想，很容易寫出該旋轉(zhuǎn)所對應(yīng)的 2 階方陣：這個 9 0 度的旋轉(zhuǎn)將向量 (1 , 0 ) 旋轉(zhuǎn)到向量 (0 , 1 ) ，而把向量 (0 , 1 ) 旋轉(zhuǎn)到向量 (? 1 , 0) 。因而這個旋轉(zhuǎn)算子由矩陣

表示。我們來檢查是否存在實(shí)數(shù) 和非零實(shí)向量 ( , ) 使得

上述方程等價于聯(lián)立線性方程組 ? = λ 和 = 。由此得 = ? 2 。若 ≠ 0 ，則 2 + 1 = 0 ，它在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解。若 = 0 ，因 ( , ) ≠ (0 , 0) ，則 ≠0 。同樣的代換邏輯用在 上（ = ? 2 ），也導(dǎo)出 2 + 1 = 0 。所以上述旋轉(zhuǎn) 矩陣 在實(shí)數(shù)域內(nèi)不存在特征值，自然也沒有對應(yīng)的特征向量了。

即便是從前沒有學(xué)過矩陣?yán)碚摰淖x者，也可能已經(jīng)想象出了走出困境的方法：在復(fù)數(shù)范圍里求解特征值問題，理由是 1806 年被業(yè)余數(shù)學(xué)家阿爾岡（ Jean-Robert Argand ， 1768 - 1822 ） 首次無漏洞證明的代數(shù)基本定理“非常數(shù)單 變量多項(xiàng)式至少有一個復(fù)數(shù)根”。（在這之前多位著名數(shù)學(xué)家如歐拉和拉格朗 日都給出了漏洞不一的“證明”，其中“數(shù)學(xué)王子”高斯（ Carl Friedrich Gauss ， 1777 - 1855 ） 于 22 歲時放進(jìn)其博士論文的證明漏洞最小，但其中的“拓 撲漏洞”要等到 121 年后才被一位 27 歲的俄羅斯數(shù)學(xué)家奧斯特羅夫斯基（ Alexander Markowich Ostrowski ， 1893 - 1986 ）完全填補(bǔ)，從中可見復(fù)數(shù)的神 秘、深奧和魅力。）

所以，從現(xiàn)在開始，我們在復(fù)數(shù)域上研究矩陣特征值問題。令 為一個 階 復(fù)方陣，即 的每個元素都是復(fù)數(shù)。自然每一個實(shí)矩陣也是復(fù)矩陣。將 維歐幾里得空間 中的實(shí)向量的每個實(shí)數(shù)分量換成復(fù)數(shù)，得到的向量空間稱為 維 酉空 間 ，記成 ，其中兩個復(fù)向量 = ( 1 , … , ) 和 = ( 1 , … , ) 的 內(nèi) 積 定義為

這里的兩個向量 和 都被看成為列向量，上標(biāo)記號“ ? ”表示對矩陣實(shí)施的 “ 共 軛轉(zhuǎn)置 ”運(yùn)算，即將矩陣 轉(zhuǎn)置 （行變成列） 后的所有元素求其共軛復(fù)數(shù)。酉空間 由上述內(nèi)積誘導(dǎo)出的 2 -范數(shù) 也稱為 酉范數(shù) 。和歐幾里得空間 中的正交概念相仿，在酉空間 里，如果向量 和 的內(nèi)積為零，即 ? = 0 ，則說它們是彼此 正交 的，用符號 ⊥ 表示。

給定的 階復(fù)矩陣 定義了線性算子 : → 。如果存在一個復(fù)數(shù) 和非零復(fù)向量 使得 = z ，則稱 為 的一個 特征 值 ，而 為 的與特征值 相關(guān)的一個 特征向量 。

回到剛才考慮過的 90 度旋轉(zhuǎn)矩陣 ，它被視為把 2 維酉空間 2 映到自身的復(fù) 域上的一個線性算子。與之前只考慮實(shí)數(shù)域情形不一樣的是，此時，特征值方 程 2 + 1 = 0 在復(fù)數(shù)域中有兩個根 和 ? ，因此這個被看成復(fù)方陣的 2 階實(shí)方陣 有且僅有兩個特征值。此外，這兩個虛數(shù)特征值還彼此共軛。通過求解對應(yīng)于 的線性方程組 ? = i 及 = 和對應(yīng)于 ? 的線性方程組 ? = ? 及 =? ，我們獲得與特征值 相關(guān)的一個復(fù)特征向量 (1 , ? ) 及與特征值 ? 相關(guān)的一個復(fù)特征向量 (1 , ) 。仔細(xì)觀察后，又一個現(xiàn)象出現(xiàn)了：對應(yīng)于相異特征值的特征向量 (1, ?) 和 (1 , ) 彼此正交。我們將在下一篇文章中解釋為什么。

再一次檢視上段兩組關(guān)于 2 維特征向量兩分量 和 的方程，容易發(fā)現(xiàn)，它們都是齊次線性方程組，即如果將它們分別改寫成“標(biāo)準(zhǔn)形式”，就是

+ = 0 , ? = 0; ? = 0 , + = 0 。

這類方程組有個好性質(zhì)，即如果 ( 1 , 1 ) 和 ( 2 , 2 ) 都是方程組的解，則它們的所 有“線性組合”也是同一個方程組的解，即對任意復(fù)數(shù) 1 和 2 ，向量

都滿足該方程組。由此推出，雖然只有兩個特征值，但每個特征值都率領(lǐng)了由無限多個士兵組成的特征向量隊(duì)伍。這說明，對應(yīng)于同一個特征值的所有特征向量全體，再插進(jìn)零向量，這個集合將構(gòu)成一個向量空間。因?yàn)槿绱藰?gòu)造的向 量空間是 2 的子集，它被叫做 2 的子空間。

特征多項(xiàng)式與凱萊-哈密爾頓定理

熟悉了上面這個簡單例子，我們就可以討論一般矩陣特征值問題的基本性 質(zhì)。設(shè) = ( ) 為一 階復(fù)矩陣。根據(jù)特征值問題的定義。復(fù)數(shù) 是方陣 的一個特征值意味著關(guān)于未知復(fù)向量 的方程 = 有非零解。將這個方程改寫成 與之等價的齊次方程形式

( ? ) = 0 ，

其中 是 階的單位矩陣，運(yùn)用以前學(xué)過的矩陣是否可求逆的語言（ 參見我們的《返樸》文章《》），我們便可得知， 是 的特征值 當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 ? 是無逆可求的（因?yàn)橛商卣髦档亩x， 是 的特征值等價于性質(zhì)“算子 ? 不是單射”，因而它的逆矩陣不存在）。而矩陣無逆的一 個簡單判別準(zhǔn)則就是它的行列式等于零。方陣 的行列式一般簡潔地寫成 | | 或 det ，其中的 det 是英文單詞 determinant （行列式）的前三個字母。這樣一 來，我們獲得 是 的特征值的一個充分必要條件：

定理1.復(fù)數(shù) 是方陣 的特征值當(dāng)且僅當(dāng) | ? | = 0 。

那么，若 是 階的，會有多少個 滿足定理 1 中的等式呢？要回答這個問 題，我們用 取代 ,將上面定理中的等式變成含有未知數(shù) 的方程

| ? | = 0 。 （ 1 ）

根據(jù)定理 1，方程（ 1 ）的所有解給出 的所有特征值。那么到底有幾個解呢？ 前面我們對平面上的一個 2 階旋轉(zhuǎn)實(shí)矩陣證實(shí)了它有兩個特征值，我們再考察一 般的 3 階復(fù)矩陣（注意其 ( 3 , 3 ) 元素 不是虛數(shù)單位）

它所對應(yīng)的特征值方程是

假定大家知道怎樣計算三階行列式，那么上述方程的左端展開后變成

其中 Tr ( ) = + + 是 的主對角線元素之和，稱為 的跡。因?yàn)檫@個三次多 項(xiàng)式頂多有三個相異的復(fù)數(shù)根，故 頂多有三個不同的特征值。如果記入重根 的重數(shù)， 恰好有三個特征值。每個特征值作為多項(xiàng)式 | ? | 之根的重數(shù)（或| ? | 在復(fù)數(shù)域上的因式分解中相應(yīng)線性因子的冪指數(shù)）稱為該特征值的代數(shù) 重數(shù)。

上面對三階矩陣的結(jié)論可以直接推廣到 階矩陣 。此時，由行列式的經(jīng)典 定義或等價的按行或按列拉普拉斯展開計算公式，易見行列式 | ? | 展開后是變量 的 階復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，故根據(jù)代數(shù)基本定理，多項(xiàng)式方程 | ? | = 0 至多有 個相異復(fù)數(shù)根，它們就是 的所有相異特征值 1 , … , 。如果考慮到根的重 數(shù)，就恰好有 個根，因此 階矩陣 恰好有 個（可以相同的）特征值。設(shè)

為 | ? | 的唯一線性因式分解，則對 = 1 , … , ，線性因子 ? 的冪指數(shù) 稱 為特征值 的 代數(shù)重數(shù) 。直接展開| ? | ，考慮到 ?1 項(xiàng)只能來自主對角線元素的乘積，我們可以發(fā)現(xiàn)該項(xiàng)的系數(shù)為 ? Tr () ，其中 Tr () 是 的主對角線元素之和，叫做 的 跡 ；常數(shù)項(xiàng)為 ( ?1 ) | | 。另一方面，根據(jù)多項(xiàng)式根與系數(shù)關(guān)系的韋達(dá)定理，對比同次項(xiàng)系數(shù)可知，按代數(shù)重數(shù)計（允許重復(fù)），所有特征值之和等于Tr()，所有特征值之積等于||。確定特征值的多項(xiàng)式 | ? | 被命名為方陣 的 特征多 項(xiàng)式 ，而對應(yīng)的方程 | ? | = 0 則稱為 的 特征方程 。

方陣的一大好處是它可以代入一個多項(xiàng)式，即若 ( ) = 0 + 1 + ? + 是 一多項(xiàng)式，則定義 ( ) = 0 + 1 + ? + 。 矩陣論中最著名的定理 之一是如下的

凱萊-哈密爾頓定理：設(shè)方陣 的特征多項(xiàng)式 | ? | 為 () ，則 ( ) = 0 。

這個定理是深入研究矩陣特征值問題的基礎(chǔ)，或許可以稱它為“矩陣特征 值問題基本定理”。凱萊（ Arthur Carley ， 1821 - 1895 ）開創(chuàng)了矩陣時代，而愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密爾頓（ William Rowan Hamilton ， 1805 - 1865 ）則是四元數(shù)之 父。

美國數(shù)學(xué)普及家貝爾（ Eric Temple Bell ， 1883 - 1960 ） 在巨著 Men of Mathematics （《大數(shù)學(xué)家》）中描繪了哈密爾頓的晚景：

“ 哈密 爾 頓于 1865 年 9 月 2 日因痛 風(fēng)去 世 ， 享年 61 歲 。 去世后 ， 人 們發(fā)現(xiàn)他留下了大量雜亂無章的手稿 ， 以及大 約 60 本厚重的數(shù)學(xué)手稿 。 目前 ， 他的 著作正在 編纂成冊 。 從他手稿的狀況可以看出 ， 他生命最后三分之一的 時間里 ， 家庭生活十分 艱辛 ： 無數(shù)盛著干 癟肉排殘渣的餐盤被埋在堆積如山的紙張 中 ， 還有足夠一家人使用的餐具從雜亂的紙張中被翻了出來 。 ”

2008 年，楊振寧先生提到他少年時所讀到的這個凄慘故事，表示他絕不能 像哈密爾頓那樣在太太離世后過“相當(dāng)漫長的孤獨(dú)生活”。這樣的堅定信念給他帶來了堪稱幸福的二十年晚年生活。

幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)的關(guān)系

現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向探索，當(dāng)方陣 的一個特征值 已知后，怎樣求出它所對應(yīng)的全部特征向量。根據(jù)特征向量的定義，所有滿足齊次線性方程組

( ? ) = 0

的非零向量 ∈ 組成了矩陣 與特征值 相關(guān)的特征向量全體。根據(jù)線性方程組的解理論，這個集合和零向量單點(diǎn)集 { 0 } 的并集是 的一個子空間，稱為 對應(yīng)于特征值 的 特征子空 間 。試問，這個向量空間到底有多大呢？或者更精確地說，它的維數(shù)等于幾？

讓我們回憶與矩陣相伴的幾個重要概念。設(shè) 為一 行 列復(fù)矩陣，它的 個列向量所張成的 的子空間稱為 的 值空間 或 列空 間 ，記為 ( ) ；它的 個行向量所張成的 的子空間稱為 的 行空 間 。我們在《返樸》最近推出的文章《》 中已經(jīng)證明：矩陣 的值空間 ( ) 的維數(shù)等于 的行空間的維數(shù)，這個共同的非負(fù)整數(shù)稱為 的 秩 。在一般的線性代數(shù)教科書中， 的秩被等價地定義為 的非零子行列式（也叫 的子式） 的 最大階數(shù)。作為線性算子，矩陣 的定義域 中被 映射到 中零向量的那些向量的全體是 的一個子空間，稱為 的 零空 間 ，記作 () 。在前述的文章中 我們已經(jīng)證明： 的零空間的維數(shù)加上 的值空間的維數(shù)等于 的列數(shù)。

零空間的概念馬上讓我們知曉，與方陣 的特征值 相關(guān)的特征子空間恰恰 就是奇異矩陣 I ? A 的零空間。我們把 ( I ? A ) 的維數(shù)稱為特征值 的 幾何重數(shù) 。這樣， 的任何特征值既有代數(shù)重數(shù)，也有幾何重數(shù)，前者來自特征多項(xiàng)式的因式分解，顯示出特征值的代數(shù)特色，后者來自特征子空間的尺寸，量化了特征向量群體的幾何維度。那么，它們之間是否具有永恒的大小關(guān)系？

是的，同一個特征值的幾何重數(shù)總是向上“仰視”代數(shù)重數(shù)的，即它小于或等于代數(shù)重數(shù)。下面是一個滿足“小于”關(guān)系的簡單例子。令

注意它是非對稱的實(shí)矩陣，其特征多項(xiàng)式為

故 僅有一個相異特征值 0 ，其代數(shù)重數(shù)為 2 。為了得到 0 的幾何重數(shù)，我們求解 方程對應(yīng)于特征值 0 的特征向量方程組 (0 ? ) = 0 ，所得到的特征子空間(0 ? ) 是 2 的一維子空間 {( , 0 ) : ∈ } 。故特征值 0 的幾何重數(shù)等于 1 ，它確 實(shí)小于代數(shù)重數(shù) 2 。

當(dāng)然也有矩陣，其特征值的幾何重數(shù)就等于代數(shù)重數(shù)，最簡單的例子莫過 于將上面 2 階矩陣中的右上角元素?fù)Q成 0 而成為零矩陣，它的特征多項(xiàng)式依然是 2 ，但對應(yīng)于唯一特征值 0 的特征子空間則是全空間 2 ，因此幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)均為 2 。后面我們將給出保證兩個重數(shù)相等的一個一般性的充分條件。運(yùn)用 本文以及我們之前文章引進(jìn)的概念和方法，下面對任意方陣給出“幾何重數(shù)不大于代數(shù)重數(shù)”的一個易懂證明。設(shè) 階方陣 的特征值 的幾何重數(shù)為 ，代數(shù)重數(shù)為 。令 1 , … , 為特征子空間 ( ? ) 的一個 基底 （即 1 , … , 線性無關(guān) ，且它們共同 張成 ( ? ) ；前者意指只要 1 , … , 的某個線性組合 1 1 +? + = 0 ，必定有 1 = ? = = 0 ，后者說 ( ? ) 內(nèi)的每一個向量都可以寫成 1 , … , 的線性組合形式）。則可在 中取 ? 個線性無關(guān)的向量 +1 , … , ，使得將它們放在一起的 個向量 1 , … , , +1 , … , 構(gòu)成 的一個基底。以它們?yōu)榱邢蛄啃纬梢粋€ 階方陣 = [ 1 , … , , … , ] ，則它是可逆矩陣，其逆矩陣 ?1 滿足等式 ?1 = 。由于行列式保持矩陣的乘積運(yùn)算不變，我們也獲得對應(yīng)的行列式等式 | ?1 || | = | ?1 | = | | = 1 。

定義新矩陣 = ?1 U 。則由

可知 和 有相同的特征多項(xiàng)式。現(xiàn)在，

又因?yàn)??1 = ?1 [ 1 , … , , … , ] = = [ 1 , … , , … , ] ，我們進(jìn)一步有

只要把上式中的最后那個按列劃分的矩陣按前 行和后 ? 行進(jìn)行分塊，使之成為一個 2 × 1 階塊矩陣，其上面那塊的左邊是個 階對角矩陣 ，其中 是 階單位矩陣，那么我們就看出 ?1 實(shí)際上具有 2 階塊上三角形狀，即

其中子矩陣 和 分別是 的子矩陣 [ ?1 +1 , … , ?1 ] 的上下部分。這樣一 來，

既然 | ? | = | ? | ，而 ( ? ) 是 | ? | 的素因子分解中所有線性因子 ? 的乘積，必然 ( ? λ ) 要整除 ( ? ) ，故得結(jié)論 ≤ 。

由于上述結(jié)論在矩陣?yán)碚撝械闹匾?，我們把它寫成定理的形式?/p>

定理2.設(shè) 是一個方陣的特征值，則它的代數(shù)重數(shù)大于或等于它的幾何重數(shù)。

當(dāng)矩陣的特征值具有相等的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)時，我們稱這個特征值是半 單 的，特別地，如果代數(shù)重數(shù)等于 1 （此時幾何重數(shù)也必定等于 1 ，因?yàn)樘卣髯涌臻g至少是一維的向量空間），則說此特征值是 單 的。我們在文章的后面部分將給出半單特征值在“簡化”矩陣結(jié)構(gòu)的行動中所起的關(guān)鍵作用。

矩陣可對角化的充要條件

我們繼續(xù)討論特征值的基本性質(zhì)。首先我們證明，對應(yīng)于給定方陣不同特征值的特征向量線性無關(guān)。為了給出證明的思想，我們只考慮三個特征向量的 情形。設(shè) 1 , 2 , 3 為 階方陣 的相異特征值，其各自對應(yīng)的特征向量分別為 1 , 2 , 3 。我們要證：假如有三個復(fù)數(shù) 1 , 2 , 3 滿足 1 1 + 2 2 + 3 3 = 0 ，則這三個數(shù)全部為零。欲證 1 = 0 ，將矩陣 ( 2 ? )( 3 ? ) 左乘上式兩邊， 便得

即 1 ( 2 ? 1 )( 3 ? 1 ) 1 = 0 。因?yàn)?1 為非零向量且 ( 2 ? 1 )( 3 ? 1 ) ≠ 0 ，故 1 = 0 。同理可證 2 = 0 和 3 = 0 。用同樣的手段就能證明一般性的結(jié)論：

定理3.設(shè) 1 , . . . , 為一個方陣兩兩不相等的特征值，其對應(yīng)的特征向量分別是 1 , . . . , ，則 1 , . . . , 線性無關(guān)。

有了定理 3 作后盾，就容易推出如下的事實(shí)：假設(shè) 階方陣 的所有相異特征值為 1 , . . . , 。對 = 1 , … , ，如果 1 , … , 為特征子空間 ( ? ) 的一個基底，那么向量 11 , … , 1 1 , 21 , … , 2 2 , . . . , 1 , … , 線性無關(guān)。

現(xiàn)在進(jìn)一步假定這些特征值 1 , . . . , 都是半單的，即對 = 1 , … , 都有 = ，其中 和 分別為 的幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)。那么顯然有 1 + 2 + ? + = 。因?yàn)?維向量空間中的任何 個線性無關(guān)的向量都提供了這個空間的一個基底，故在所有特征值均為半單的條件下，特征向量集

是 維酉空間 的一個基底。這個基底有什么實(shí)用的價值嗎？

價值之一是它可以用來“化簡矩陣”！矩陣既然是數(shù)組，其非零元素就可能稠密分布，擁擠不堪，令人眼花繚亂，比如大數(shù)學(xué)家希爾伯特（ David Hilbert ， 1862 - 1943 ） 于 1894 年引進(jìn)的“希爾伯特矩陣”，它的第 行第 列元素是 + ? 1 的倒數(shù)，所以這是個處處沒有零元素的“最稠密矩陣”。數(shù)學(xué)能將 復(fù)雜對象像變魔術(shù)一樣化簡到一目了然，而好的數(shù)學(xué)演講者能將復(fù)雜理論解釋得如水晶般透明。如果有個辦法能讓手中的一般矩陣搖身變?yōu)樵貛缀跞珵榱愕膶蔷仃嚕３衷染仃嚨闹饕再|(zhì)不變，那可是一件再好不過的事了。

對所要化簡的 階方陣 ，只需一個條件，即它所有的特征值 1 , . . . , 都是半單的，我們就能完成使命。分別對應(yīng)于 1 , . . . , 的各特征子空間的基底組成了由（ 2 ）式排列而成的 基底。以這些特征向量按（ 2 ）的次序?yàn)榱袠?gòu)造 階 方陣 ，則它是非奇異矩陣。由

我們發(fā)現(xiàn) ?1 是對角矩陣，它的對角元素從左上到右下依次是 1 個 1 ， 2 個 2 ，等等，直到 個 。這樣，我們證明出了矩陣的一個“對角矩陣標(biāo)準(zhǔn)型定 理”：

定理4.令 1 , . . . , 為 階方陣 的所有相異特征值，并設(shè)它們都是半單的。則存在 階非奇異矩陣 使得 ?1 = 為一 階塊對角矩陣，其對角塊依次是

兩個同階方陣 和 ，如果滿足關(guān)系 ?1 = ，其中 是某個非奇異矩 陣，那么我們就說 與 是“ 相似 ”的，有時如同中學(xué)平面幾何教科書上表示兩個三角形相似的符號那樣寫成 ～ 。定理 4 表明，所有其特征值均為半單的矩陣相似于一個對角矩陣，它的對角元素由這些特征值按各自的重數(shù)一一排列。一個特殊的情形是， 階矩陣 有 個相異的特征值，這時 一定相似于某個對角 矩陣。

如果一個矩陣與一個對角矩陣相似，我們則說它是“ 可 對角化 ”的。上面 的定理 4 提供了可對角化矩陣的一個充分條件。反過來，只要給定的矩陣 相 似于一個對角矩陣，則它的所有特征值都是半單的。事實(shí)上，設(shè) 是一對角矩 陣，其對角元素為 1 , . . . , （彼此可以相同），且 = [ 1 , . . . , ] 是一非奇異矩陣，滿足 ?1 = 。則前式等價于 = 。對矩陣等式

按列寫出，就是 = ， = 1 , … , 。換言之， 1 , . . . , 是矩陣 分別對應(yīng)于特征值 1 , . . . , 的特征向量。既然這 個線性無關(guān)的特征向量組成 的一個 基底， 的所有相異特征值都是半單的。到此，我們論證出了如下的“等價性 定理”：

定理5.一個方陣可對角化當(dāng)且僅當(dāng)它的所有相異特征值都是半單的。

相似矩陣的性質(zhì)與埃爾米特矩陣初探

與三角形一樣，矩陣之間的相似關(guān)系是個“ 等價關(guān)系 ”，即（ i ）每個方陣 與它自己相似，這時建立相似關(guān)系的矩陣 就可取為單位矩陣；（ ii ）若 與 相似，則 與 相似，這是因?yàn)??1 = 隱含 = ?1 = ( ?1 ) -1 ?1 ；（ iii ）若 與 相似且 與 相似，則 與 相似，道理是 ?1 = 和 ?1 = 推出

?1 ?1 = ?1 = ，

因此 ( ) -1 () = 。

相似的矩陣同樣具有許多共同的性質(zhì)，就好比雙胞胎不僅外貌酷似，連性 情也往往相投。前面已經(jīng)說過，如果 ～ ，那么 | ? | = | ? | ，即它們 有完全一樣的特征多項(xiàng)式，所以它們不僅有一模一樣的特征值，而且每個共同的特征值的代數(shù)重數(shù)也一樣。但是它們的幾何重數(shù)會有不相等的危險性嗎？

答案是否定的。我們只需驗(yàn)證對每一個特征值，這兩個相似矩陣各自對應(yīng)的特征子空間之間存在一個自然得體的單射加滿射關(guān)系（稱為 雙射 ）。由于 ～ ，存在非奇異矩陣 使得 = ?1 。簡單計算給出 = 當(dāng)且僅當(dāng)

( ?1 ) = ( ?1 ) 。若將 ?1 寫成 ，則 ∈ ( ? ) 當(dāng)且僅當(dāng) ∈ ( ? ) ，由此， 是 與 相關(guān)的特征向量等價于 ?1 是 與 相關(guān)的特征向量。因?yàn)??1 是可逆算子，它建立了 ( ? ) 和 ( ? ) 之間的一一對應(yīng)。 特別地，特征值 關(guān)于 的幾何重數(shù)等于 關(guān)于 的幾何重數(shù)。

然而，正如前面的簡單例子所顯示的，并非方陣的每個特征值都是半單 的。事實(shí)上，只要有一個特征值是非半單的，矩陣就不可能對角化。在這個最一般的非半單特征值情形下，人們退而求其次，引進(jìn)了所謂的“廣義特征向量”的概念，猶如當(dāng)矩陣無逆可求時可以尋覓“廣義逆矩陣”（參看我們之前在《返樸》發(fā)表的文章 《》 ）。披在廣義特征向量身上的外衣是世界品牌“若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型”，它比半單特征值旗幟下的對角矩陣標(biāo)準(zhǔn)型只多了一條與主對角線平行、含有非零元素的次對角線，卻具有豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容。未來有機(jī)會時我們將集中討論若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

不過，有好幾類矩陣不會讓我們擔(dān)心，因?yàn)樗鼈兌伎蓪腔?，其中的一?長相最漂亮，叫埃爾米特矩陣類，其中的每個矩陣 滿足等式 ? = ，即 的共軛轉(zhuǎn)置矩陣就是它自己。埃爾米特（Charles Hermite，1822-1901）是法國數(shù)學(xué)家，他第一個證明了自然對數(shù)的底2.71828 ?是超越數(shù)。在元素全是實(shí)數(shù)時，埃爾米特矩陣就是更易識別的實(shí)對稱矩陣，即=。任給埃爾米特矩陣，對應(yīng)于不同特征值的特征向量不僅如上所證線性無關(guān)，而且更進(jìn)一步地“兩兩正交”。酉空間中向量的內(nèi)積此時派上了大用場。然而，我們只能在后一篇文章中仔細(xì)地品味這類矩陣更多的幾何特性。

在下一次詳細(xì)討論埃爾米特矩陣前，我們考察一個 2 階實(shí)對稱矩陣的特征值 問題，所取的矩陣有個在“數(shù)值代數(shù)”中最得寵的學(xué)名叫 Householder 矩陣（也叫反射矩陣； Alston Scott Householder （ 1904 -1993 ）是美國數(shù)學(xué)家，他最廣為人知的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是這種形式簡單、極其有用的埃爾米特矩陣 = ? 2 ? ，其中 的酉范數(shù)等于 1 ；他的著作《數(shù)值分析中的矩陣?yán)碚摗肥且徊繉懛í?dú)特的經(jīng)典之作），如下所示：

除了多了一個負(fù)號，它幾乎就是文章最早舉例的那個非對稱實(shí)矩陣。這個實(shí)對稱矩陣的特征多項(xiàng)式是

故它有兩個單特征值 1 和 ?1 。和之前特征值為正負(fù)虛數(shù)單位的矩陣相比，這里 復(fù)數(shù)被毫不留情地擠出特征值隊(duì)伍之外。第一個特征值占有特征向量 (1 , ? 1) ，第二個特征值對應(yīng)的特征向量是 (1 , 1) 。不難發(fā)現(xiàn)這兩個特征向量相互正交！

有了這個例子墊底，未來我們就可以深入探討實(shí)對稱矩陣、埃爾米特矩陣、正交矩陣、酉矩陣，乃至更加一般的正規(guī)矩陣的特征值問題了。

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