題目[2026考研數(shù)學(xué)一第3題]: 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義，則( ).

(A) 當(dāng) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增時(shí)， 為極小值

(B)當(dāng) 是極小值時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增

(C)當(dāng) 的圖形在 上是凹的時(shí)， 在 上單調(diào)遞增

(D)當(dāng) 在 上單調(diào)遞增時(shí)， 的圖形在 上是凹的

對(duì)于這個(gè)題目，一些網(wǎng)絡(luò)上給出的選項(xiàng)是（D），下面咱們分析一下，看看這個(gè)選擇題到底選哪個(gè)選項(xiàng)是正確的！

參考分析:題目?jī)H給出 有定義，未說(shuō)明連續(xù)性:

(A):反例 此時(shí) 在 遞減， 遞增，但 是孤立點(diǎn)且為局部極大值。故選項(xiàng)(A)錯(cuò)誤。

(B):極值點(diǎn)不一定是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn). 反例

當(dāng) ， , 是極小值，但在 的任意鄰域內(nèi)函數(shù)振蕩，不具有單調(diào)性。故(B)錯(cuò)誤。

(C)：當(dāng) 的圖形在 上是凹的時(shí)， 在 上單調(diào)遞增. 這是凹曲線(凸函數(shù))的一個(gè)基本幾何性質(zhì)，通常稱為三弦引理的推論. 即

若 是定義在區(qū)間 上的凸函數(shù)，對(duì)于任意的三個(gè)點(diǎn) ，記

是函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn), 是線段 的斜率， 是線段 的斜率， 是線段 的斜率, 則 , 即

幾何直觀：對(duì)于一個(gè)下凸（凹）的曲線（形狀像碗），若固定右端點(diǎn) ，讓左邊的動(dòng)點(diǎn) 逐漸向右移動(dòng)（即 增大），那么連接動(dòng)點(diǎn) 和固定點(diǎn) 的割線斜率會(huì)越來(lái)越大.

數(shù)學(xué)推導(dǎo)：設(shè) 在區(qū)間 上是曲線圖形是凹的（凸函數(shù)）, 根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于 ，有如下斜率不等式：

在本題中，令 為固定右端點(diǎn), 令 ，這是點(diǎn) 與 的連線斜率. 對(duì)于任意 ，由于 的曲線是凹的，根據(jù)凸函數(shù)性質(zhì)可得

即 . 因此，斜率函數(shù) 是單調(diào)遞增的.

選項(xiàng) (D)：當(dāng) 在 上單調(diào)遞增時(shí)， 的圖形在 上是凹的. 這是一個(gè)充分性命題, 僅僅保證動(dòng)點(diǎn)與右端點(diǎn)連線的斜率單調(diào)遞增，并不能保證曲線在整個(gè)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)都大于等于0（即不能排除局部有“鼓起”的情況）.

反例構(gòu)造：構(gòu)造一個(gè)函數(shù) ，使得它與點(diǎn) 的連線斜率 是單調(diào)遞增的，但函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)某處是上凸的.

設(shè) ，定義斜率函數(shù)為 , 當(dāng)取 時(shí), 在 上單調(diào)增加, 則由 可解得 . 計(jì)算該函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，得

由此可知 在 內(nèi)為正, 在 內(nèi)為負(fù),在 內(nèi)為正, 故 在 內(nèi)為凸曲線,并非在整個(gè)定義域上都是凹曲線. 所以選項(xiàng) (D) 錯(cuò)誤.

【注】：對(duì)于凹凸曲線的函數(shù)這些性質(zhì)的討論是考研中的一個(gè)重點(diǎn)，出現(xiàn)的頻率相對(duì)比較高，比如去年也是此類問(wèn)題，而且是一個(gè)大題。對(duì)于這類抽象題的思路一般也具有通用性，很多時(shí)候都是基于上面提到的三弦引理。所以對(duì)于三弦引理的結(jié)論不僅要記住，而且要能夠證明。更多相關(guān)類型的典型題和高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析綜合提高專題訓(xùn)練可以查閱。

以上分析是否正確、嚴(yán)謹(jǐn)

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