簡(jiǎn)介

采用反饋回路的自動(dòng)控制系統(tǒng)（即將系統(tǒng)輸出反饋至輸入端）古已有之，如今已成為現(xiàn)代技術(shù)中不可或缺的組成部分。James Clark Maxwell 在150多年前發(fā)表的《論調(diào)節(jié)器》[1]中，首次嘗試嚴(yán)謹(jǐn)?shù)孛枋鰬?yīng)用反饋的控制回路。

在控制策略中，開環(huán)控制系統(tǒng)是控制器根據(jù)預(yù)定的輸入值來確定控制動(dòng)作，不依賴任何反饋。相比之下，閉環(huán)控制器包含持續(xù)的反饋機(jī)制，能夠進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，以提高精度、穩(wěn)定性和魯棒性，使其更適合在不斷變化的條件下實(shí)現(xiàn)所需的控制目標(biāo)。

目前，應(yīng)用最廣泛的閉環(huán)控制系統(tǒng)是比例-積分-微分 (PID) 控制器。這類控制器持續(xù)測(cè)量并調(diào)整系統(tǒng)輸出，使其與所需的設(shè)定點(diǎn)（即目標(biāo)過程或系統(tǒng)的給定目標(biāo)狀態(tài)）相匹配。由于 PID 控制器幾乎不需要系統(tǒng)的先驗(yàn)知識(shí)或模型，因此具有極強(qiáng)的通用性、成本效益高且易于實(shí)現(xiàn)。它們可應(yīng)用于多種過程：從液壓氣動(dòng)、模擬電路到數(shù)字電子技術(shù)。

因此，PID 控制器廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)和研究領(lǐng)域，包括制造業(yè)、光子學(xué)、傳感器、材料科學(xué)和納米技術(shù)。

PID 控制回路在日常生活和工業(yè)自動(dòng)化中無處不在，例如智能手機(jī)和自動(dòng)駕駛汽車中的陀螺儀、用于烹飪或處理樣品的烤箱、管道中的流量控制器，甚至用于管理交通。

同時(shí)，它們?cè)谝恍┣把匮芯款I(lǐng)域也十分突出，例如光學(xué)和光子學(xué)中對(duì)激光腔和干涉儀的穩(wěn)定、基于 MEMS（微機(jī)電系統(tǒng)）陀螺儀的閉環(huán)控制，以及掃描探針顯微鏡 (SPM) 中機(jī)械諧振器的表征。

本文將介紹 PID 控制回路的關(guān)鍵功能和原理，通過分析其基本構(gòu)成模塊，描述其優(yōu)勢(shì)和局限性，并概述整定和設(shè)計(jì)策略，以及如何通過蘇黎世儀器的鎖相放大器輕松實(shí)現(xiàn)。

PID工作原理與構(gòu)成模塊

PID 控制器的目標(biāo)是生成一個(gè)控制信號(hào) u(t)，用以動(dòng)態(tài)地最小化系統(tǒng)輸出 y(t) 與所需的設(shè)定點(diǎn) r(t) 之間的差異。

如圖1所示，在一個(gè)典型的控制方案中，首先將系統(tǒng)輸出 y(t) 反饋回來，并通過比較器與設(shè)定點(diǎn) r(t) 進(jìn)行比較，生成隨時(shí)間變化的誤差信號(hào) e(t)=r(t)?y(t)。隨后，環(huán)路控制器對(duì)該誤差信號(hào)進(jìn)行最小化處理，并生成控制信號(hào) u(t)。該控制信號(hào)被施加到執(zhí)行機(jī)構(gòu)上，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)輸出，從而啟動(dòng)閉環(huán)操作。為了持續(xù)最小化誤差，除了考慮當(dāng)前誤差外，考慮其隨時(shí)間累積（積分項(xiàng)）和其未來趨勢(shì)（微分項(xiàng)）也至關(guān)重要，如圖2所示。

圖 1. 最通用形式的 PID 控制回路示意圖。

圖 2. 誤差函數(shù)示例，突出顯示了 P、I 和 D 三項(xiàng)的貢獻(xiàn)。

在最一般情況下，誤差最小化是通過 PID 控制器環(huán)路控制器的三個(gè)主要部分實(shí)現(xiàn)的：比例項(xiàng)、積分項(xiàng)和微分項(xiàng)。

在數(shù)學(xué)上，最一般形式的完整控制函數(shù)可以寫成這三個(gè)獨(dú)立貢獻(xiàn)項(xiàng)的總和：

其中 Kp、Ki 和 Kd 分別是與比例項(xiàng)、積分項(xiàng)和微分項(xiàng)相關(guān)的增益系數(shù)。

比例項(xiàng)

比例項(xiàng)（用 P 表示）基于系統(tǒng)設(shè)定點(diǎn)與測(cè)量的系統(tǒng)輸出之間的瞬時(shí)誤差。這一項(xiàng)通過施加與誤差幅度成正比的校正，幫助將系統(tǒng)輸出快速拉回設(shè)定點(diǎn)，從而減少控制信號(hào)的上升時(shí)間，如圖3所示。誤差越大，比例項(xiàng)施加的校正越大；在固定 KP 的情況下，誤差越大，uP(t) 越大。由于 P 項(xiàng)需要非零誤差才能產(chǎn)生輸出，因此其本身不能完全消除誤差。系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，會(huì)殘留一個(gè)固有的穩(wěn)態(tài)誤差（或稱靜差）。

圖 3. 比例項(xiàng)的影響。增加Kp系數(shù)可以縮短上升時(shí)間，但穩(wěn)態(tài)誤差永遠(yuǎn)不會(huì)等于零。此外，比例項(xiàng)增益值過高可能會(huì)導(dǎo)致輸出振蕩。

積分項(xiàng)

積分項(xiàng)（用 I 表示）施加一個(gè)與誤差的時(shí)間積分（即誤差的累積歷史）成正比的校正。如果誤差持續(xù)累積，積分項(xiàng)會(huì)持續(xù)增大，導(dǎo)致對(duì)系統(tǒng)輸出施加更大的校正。與比例項(xiàng)不同，積分項(xiàng)能夠使控制器在瞬時(shí)零誤差的條件下，也能產(chǎn)生非零的控制信號(hào)。這一特性使控制器能夠?qū)⑾到y(tǒng)精確地帶到所需的設(shè)定點(diǎn)，徹底消除穩(wěn)態(tài)誤差。其效果如圖4所示。

圖 4： 在Kp=1恒定的情況下，積分項(xiàng)的影響。增加Ki，響應(yīng)速度會(huì)更快，但如果值增加太多，也會(huì)導(dǎo)致更大的振蕩和超調(diào)（綠色曲線）。

增大積分增益系數(shù) Ki 的值，會(huì)增加累積誤差對(duì)控制信號(hào)的貢獻(xiàn)。這意味著如果存在穩(wěn)態(tài)誤差，具有較大 Ki 的積分項(xiàng)將比小的積分項(xiàng)更快地驅(qū)動(dòng)控制信號(hào)以消除誤差。

然而，過度增加積分項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致輸出振蕩。如果累積了過多誤差，可能導(dǎo)致控制信號(hào)超調(diào)并在設(shè)定點(diǎn)周圍產(chǎn)生振蕩。這種現(xiàn)象有時(shí)被稱為積分飽和[2]。

微分項(xiàng)

微分項(xiàng)（用 D 表示）通過施加與誤差對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（即其變化趨勢(shì)）成正比的校正來控制誤差。這有助于減少誤差的變化率，從而提高控制回路的穩(wěn)定性和響應(yīng)速度。其目的是預(yù)測(cè)誤差信號(hào)的變化：如果誤差呈上升趨勢(shì)，微分項(xiàng)會(huì)嘗試補(bǔ)償，無需等待誤差變得顯著（比例動(dòng)作）或持續(xù)一段時(shí)間（積分動(dòng)作）。

在 PID 的實(shí)際實(shí)現(xiàn)中，微分項(xiàng)有時(shí)會(huì)被省略，因?yàn)樗鼘?duì)輸入信號(hào)的質(zhì)量高度敏感。當(dāng)控制信號(hào)中信號(hào)噪聲較大或設(shè)定點(diǎn)快速變化時(shí)，誤差的導(dǎo)數(shù)往往會(huì)變得非常大，導(dǎo)致 PID 控制器輸出急劇變化，可能引起控制回路的不穩(wěn)定或振蕩。

為了提高穩(wěn)定性，一種緩解策略是使用低通濾波器對(duì)誤差信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理。然而，低通濾波與微分控制在頻率響應(yīng)上相互抵消，因此只能進(jìn)行有限量的濾波。如果經(jīng)過正確校準(zhǔn)且系統(tǒng)具備足夠裕度，微分項(xiàng)可以對(duì)控制器性能做出決定性貢獻(xiàn)。微分項(xiàng)的效果如圖5所示。

圖 5： 微分項(xiàng)的目的是增加系統(tǒng)的阻尼。然而，如文中所述，過大的Kd值可能會(huì)使系統(tǒng)不穩(wěn)定或振蕩。圖中曲線是在保持比例和積分增益恒定（Kp=4 和 Ki=1 s?1）的情況下獲得的。

每個(gè)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響在很大程度上取決于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

因此，可以調(diào)整 Kp、Ki 和 Kd 增益的權(quán)重來微調(diào)控制回路的性能，以實(shí)現(xiàn)所需的響應(yīng)速度和準(zhǔn)確性。

某些應(yīng)用或簡(jiǎn)單系統(tǒng)中，可能只需要PID控制器三個(gè)控制項(xiàng)中的一個(gè)或兩個(gè)。要僅使用這些項(xiàng)的一部分來操作控制器，只需將未使用的項(xiàng)增益設(shè)為零，即可得到 PI、PD、P 或 I 控制器。

例如，PI 控制器在優(yōu)先考慮消除穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)穩(wěn)定性，而非極快響應(yīng)時(shí)間的應(yīng)用中很常見，因?yàn)樗鼈兊膭?dòng)態(tài)響應(yīng)相對(duì)較慢。一個(gè)典型的例子是烤箱溫度控制，通常使用 PI 控制器來確保精確的溫度調(diào)節(jié)并消除任何穩(wěn)態(tài)偏移，考慮到烤箱系統(tǒng)較慢的熱響應(yīng)特性。

初始參數(shù)推導(dǎo)（整定）

PID 控制器的主要優(yōu)勢(shì)之一是它們可以在不了解系統(tǒng)或沒有詳細(xì)模型的情況下實(shí)現(xiàn)。由于其啟發(fā)式的校準(zhǔn)程序，可以僅基于在校準(zhǔn)過程中進(jìn)行的簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)測(cè)試來計(jì)算系數(shù)。盡管如此，PID 參數(shù)的初始整定可能是一項(xiàng)復(fù)雜的任務(wù)。

存在幾種成熟的方法來推導(dǎo)初始系數(shù)集，其中許多涉及測(cè)量系統(tǒng)的開環(huán)特性參數(shù)。

開環(huán)指的是在沒有任何反饋控制下系統(tǒng)的行為，即有一個(gè)輸入信號(hào)輸入系統(tǒng)，僅測(cè)量結(jié)果輸出，但不反饋到輸入。輸入信號(hào)可以是階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)、正弦波或任何其他適合被控系統(tǒng)的信號(hào)類型。系統(tǒng)的輸出作為時(shí)間的函數(shù)被記錄下來，并可以進(jìn)行分析以確定系統(tǒng)的響應(yīng)特性，例如其時(shí)間常數(shù)、自然頻率和阻尼比。

尋找初始參數(shù)的一般策略通常包括三個(gè)步驟：

1. 獲取系統(tǒng)的開環(huán)響應(yīng)并測(cè)量一些特征參數(shù)，例如系統(tǒng)輸出的振蕩周期和過程延遲。

2. 基于測(cè)得的參數(shù)，計(jì)算增益系數(shù) Kp、Ki 和 Kd 的粗略值。

3. 調(diào)整 PID 增益系數(shù)以優(yōu)化控制回路的噪聲抑制、速度或魯棒性。

一些最廣泛應(yīng)用的粗調(diào)技術(shù)是 Ziegler-Nichols 方法[3]、Cohen-Coon 方法[4]、繼電反饋方法[5]和 Tyreus-Luyben 方法[6]。

在表1中，概述了一個(gè)基于 Ziegler-Nichols 方法的初始整定過程示例：

表 1： 基于 Ziegler-Nichols 方法的 PID 控制器初始整定的逐步程序。

模擬和數(shù)字 PID 控制器

近年來，由于現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列 (FPGA) 技術(shù)、微處理器和數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的出現(xiàn)，數(shù)字 PID 控制器（連同許多其他數(shù)字工具）在許多方面已經(jīng)超越了其模擬對(duì)應(yīng)物。特別是，數(shù)字形式的 PID 控制具有易于通過算法實(shí)現(xiàn)并由微控制器設(shè)備執(zhí)行的巨大優(yōu)勢(shì)。這極大地提高了其靈活性、性能和可處理應(yīng)用的數(shù)量。

數(shù)字和模擬 PID 控制器在處理信號(hào)和執(zhí)行控制操作的方式上有所不同。模擬控制器使用連續(xù)信號(hào)和模擬器件（如運(yùn)算放大器和電阻器）來執(zhí)行計(jì)算并生成控制信號(hào)。相反，數(shù)字 PID 控制器對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣和數(shù)字化，執(zhí)行計(jì)算并輸出離散的控制信號(hào)。數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的使用使得數(shù)字控制器能夠執(zhí)行更復(fù)雜的控制算法，從而避免了額外的模擬電路。模擬電路的物理特性可能會(huì)隨時(shí)間漂移，從而降低控制操作的質(zhì)量。

此外，數(shù)字控制器可以輕松實(shí)現(xiàn)配置的保存/調(diào)用以及與其他數(shù)字系統(tǒng)的集成，從而增加了其對(duì)更多控制問題和應(yīng)用的適應(yīng)性。

與所有數(shù)字信號(hào)處理實(shí)現(xiàn)一樣，數(shù)字 PID 控制器最常見的問題與量化和采樣有關(guān)。在離散時(shí)間間隔內(nèi)操作時(shí)，合理選擇采樣速率對(duì)于避免諸如混疊之類的偽影并確保精確控制至關(guān)重要。此外，在數(shù)字化平臺(tái)（例如 FPGA 或微處理器）上實(shí)現(xiàn)算法可能成本更高，并且需要額外的技術(shù)專長(zhǎng)以及對(duì)用于信號(hào)計(jì)算和調(diào)理的相應(yīng)數(shù)值方法的仔細(xì)評(píng)估。

最終，模擬和數(shù)字控制器之間的選擇通常取決于應(yīng)用要求、可用資源和所需的性能。

表2提供了兩種方法優(yōu)缺點(diǎn)的概述。

表 2： 模擬和數(shù)字 PID 控制回路之間的比較。

蘇黎世儀器為其鎖相放大器、阻抗分析儀和 Boxcar 平均器提供數(shù)字 PID 控制器作為升級(jí)選件。儀器的集成架構(gòu)允許用戶從多種不同的輸入和輸出信號(hào)中選擇 PID 的信號(hào)源。此外，通過選擇解調(diào)信號(hào)作為 PID 控制器的輸入，用戶可以獲得以下優(yōu)勢(shì)：

• 增強(qiáng)信噪比和穩(wěn)定性： 解調(diào)將所需信號(hào)與噪聲和干擾隔離，為控制器提供更“干凈”的輸入信號(hào)。

• 提高靈敏度并改進(jìn)系統(tǒng)響應(yīng)： 鎖相檢測(cè)放大微弱信號(hào)，實(shí)現(xiàn)更精細(xì)的調(diào)整，并增強(qiáng) PID 控制器對(duì)細(xì)微變化的響應(yīng)能力。

• 消除不需要的頻率分量： 解調(diào)濾除原始信號(hào)中存在的不需要的頻率分量，從而實(shí)現(xiàn)更準(zhǔn)確和高效的控制。

如圖6所示，可選擇的信號(hào)包括解調(diào)信號(hào)的幅度、相位（借此可構(gòu)建所謂的鎖相環(huán)，簡(jiǎn)稱 PLL[7]）、正交分量（Q分量）和同相分量（I分量）、Boxcar 輸出以及輔助輸入和輸出。集成的數(shù)字信號(hào)處理保證了最大的信噪比、最小的反饋回路延遲和高穩(wěn)定性的閉環(huán)反饋操作。反饋信號(hào)可作為模擬輸出使用，也可以直接應(yīng)用于內(nèi)部信號(hào)發(fā)生器輸出以控制其幅度、頻率、偏置和相位。

圖 6： 蘇黎世儀器鎖相放大器中 PID 控制器的數(shù)字處理架構(gòu)。根據(jù)具體應(yīng)用，可以使用不同的輸入和輸出信號(hào)。

數(shù)字化處理使得可以在同一儀器上嵌入多個(gè) PID 控制器，其輸入和輸出可以以串聯(lián)或并行方式配置使用，即它們彼此獨(dú)立或級(jí)聯(lián)連接。

鑒于圖6所示的架構(gòu)類型，鎖相放大器中嵌入的 PID 選件增強(qiáng)了儀器的多功能性，使其適用于各種應(yīng)用，即使特定應(yīng)用需求可能彼此顯著不同。

如前所述，確定 PID 控制器的適當(dāng)起始參數(shù)條件及其優(yōu)化可能是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。蘇黎世儀器提供的與硬件對(duì)接的軟件 LabOne? 提供了幾種工具來簡(jiǎn)化 PID 控制器的設(shè)置和優(yōu)化過程，使 PID 參數(shù)優(yōu)化過程更高效、更直接。

LabOne 工具（如 Sweeper 參數(shù)掃描儀、PID Advisor 和 Autotune PID 參數(shù)自動(dòng)整定）可以幫助用戶實(shí)現(xiàn) PID 控制回路，根據(jù)所需的性能提供直觀可調(diào)的帶寬、速度和初始整定參數(shù)。

例如，Sweeper 可用于通過掃描信號(hào)獲得被測(cè)設(shè)備 (DUT) 的開環(huán)響應(yīng)，然后 PID Advisor 基于預(yù)設(shè)的傳遞函數(shù)和通過 Sweeper 測(cè)量獲得的 DUT 開環(huán)特性選擇初始反饋增益參數(shù)。在閉環(huán)后，為了最小化殘余誤差信號(hào)并增強(qiáng)控制性能，可以將 Auto Tune 功能應(yīng)用于反饋信號(hào)以動(dòng)態(tài)調(diào)整反饋增益參數(shù)。

此外，由于 LabOne 支持最流行的編程語言（Python、C/C++、MATLAB?、LabVIEWTM 和 .NET），在設(shè)置控制回路及其后續(xù)優(yōu)化和改進(jìn)時(shí)確保了最大的靈活性。

挑戰(zhàn)與權(quán)衡

盡管 PID 控制器的多功能性和簡(jiǎn)單性使其能夠應(yīng)用于許多控制問題，但它們受到一些限制，并且無法提供所謂的最優(yōu)控制。最優(yōu)控制指的是最小化或最大化用于測(cè)量受控系統(tǒng)性能的某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（有時(shí)稱為成本函數(shù)）的一組控制信號(hào)，例如最小化能耗。

具體而言，PID 控制器滯后性的性質(zhì)（即不使用系統(tǒng)的明確模型來生成控制系數(shù)）使得它們對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的變化敏感，并且可能需要仔細(xì)調(diào)整以實(shí)現(xiàn)所需的性能。一些典型的缺點(diǎn)可能包括：

• 如果系統(tǒng)具有復(fù)雜或非線性的傳遞函數(shù)，性能會(huì)下降。在這些情況下，可能需要更先進(jìn)和計(jì)算量大的基于模型的控制方法，例如狀態(tài)空間控制或 H-infinity 控制[8]。

• D 項(xiàng)對(duì)噪聲和干擾信號(hào)的顯著敏感性，影響控制回路的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性?？梢詰?yīng)用緩解策略來部分解決這些問題——例如省略 D 項(xiàng)分量或?qū)ζ溥M(jìn)行低通濾波。

• 對(duì)死區(qū)時(shí)間或相位延遲的敏感性，即控制回路對(duì)系統(tǒng)或設(shè)定點(diǎn)變化做出響應(yīng)所需的時(shí)間。如果相位延遲太大，控制回路可能變得不穩(wěn)定并開始振蕩或表現(xiàn)出其他不良行為。

• 執(zhí)行器飽和： 由于執(zhí)行器的物理限制（例如，電機(jī)不能提供超過其最大扭矩的力），會(huì)在過程中引入非線性，從而影響物理系統(tǒng)。諸如抗積分飽和或設(shè)定值加權(quán)之類的技術(shù)可以幫助緩解這些問題，且只需對(duì)控制回路進(jìn)行相對(duì)較小的修改[9]。

環(huán)路帶寬

設(shè)計(jì) PID 控制器時(shí)要考慮的另一個(gè)重要因素是環(huán)路帶寬或閉環(huán)帶寬。該帶寬是控制回路可以有效控制系統(tǒng)的頻率范圍。寬帶環(huán)路對(duì)設(shè)定點(diǎn)或系統(tǒng)的變化響應(yīng)迅速，但也更容易出現(xiàn)振蕩和超調(diào)。相比之下，窄帶環(huán)路對(duì)設(shè)定點(diǎn)的變化不太敏感，并且可以以較慢的響應(yīng)時(shí)間為代價(jià)提供更平穩(wěn)和更準(zhǔn)確的控制信號(hào)。

鑒于速度和精度之間的這種權(quán)衡，理解所考慮應(yīng)用的要求對(duì)于選擇合適的環(huán)路帶寬至關(guān)重要。寬帶環(huán)路可能在需要快速響應(yīng)的應(yīng)用中更受歡迎，例如電機(jī)或其他機(jī)械系統(tǒng)的控制。相反，窄帶環(huán)路可能在穩(wěn)定性更重要的應(yīng)用中表現(xiàn)最佳，例如化學(xué)過程的控制或其他具有長(zhǎng)時(shí)間延遲的系統(tǒng)。

結(jié)論

由于能夠在不詳細(xì)了解其動(dòng)態(tài)的情況下，準(zhǔn)確快速地調(diào)整系統(tǒng)的輸出，PID 控制回路已成為在各種應(yīng)用中保持輸出穩(wěn)定性和可預(yù)測(cè)性的強(qiáng)大且廣泛使用的工具。在本文中，我們回顧了這些控制系統(tǒng)的基本原理和特性，并對(duì)其功能、參數(shù)整定策略、優(yōu)勢(shì)和權(quán)衡進(jìn)行了深入探討。

蘇黎世儀器的鎖相放大器憑借其集成于一體的架構(gòu)，允許用戶充分利用數(shù)字 PID 控制回路的所有優(yōu)勢(shì)，從而可以調(diào)整控制回路的操作，以滿足不同用例的需求。

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