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數(shù)學家們突破了“極小曲面”研究中長期存在的障礙，極小曲面在數(shù)學和物理學中都發(fā)揮著重要作用。

多孔螺旋面（Gyroid，一種三重周期性極小曲面TPMS）是一種面積極小化的曲面，已被用于材料設(shè)計和藥物輸送。

Gyroid最早由Alan Schoen于1970年發(fā)現(xiàn)。 它具有無窮多的連接面，并且不包含任何直線。 Gyroid結(jié)構(gòu)在自然界中廣泛存在，例如蝴蝶翅膀的微結(jié)構(gòu)，還有細胞內(nèi)膜的形態(tài)，也被應用于現(xiàn)代科技中，如3D打印、石墨烯結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域。

圖源：Paul Nylander

作者：Steve Nadis（量子雜志特約撰稿人） 2025-11-12

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2025-11-13

19世紀中期，比利時物理學家約瑟夫·普拉托（Joseph Plateau）——他自幼便開始設(shè)計和進行科學實驗——將金屬絲環(huán)浸入肥皂溶液中，并研究其形成的薄膜。當他將金屬絲彎成圓環(huán)時，肥皂膜會覆蓋在圓環(huán)上，形成一個扁平的圓盤。但當他將兩個平行的金屬絲環(huán)浸入溶液中時，肥皂膜會在兩個環(huán)之間延展，形成一個沙漏狀——數(shù)學家稱之為懸鏈旋轉(zhuǎn)面（catenoid，懸鏈線繞軸線旋轉(zhuǎn)生成的極小曲面）。不同的金屬絲框架會產(chǎn)生各種各樣不同的薄膜，有些形狀像鞍形或螺旋斜坡，有些則復雜到難以描述。

普拉托認為，這些肥皂膜應該始終占據(jù)盡可能小的面積。數(shù)學家稱它們?yōu)?strong>面積極小曲面（area-minimizing surface）。

數(shù)學家們花了近一個世紀才證明他是對的。1930年代初，杰西·道格拉斯（Jesse Douglas）和蒂博爾·拉多（Tibor Radó）分別獨立地證明了“普拉托問題”的答案是肯定的：對于三維空間中的任何閉合曲線（你的線框），總能找到一個與其邊界相同的二維極小曲面（你的肥皂膜）。這一證明后來為道格拉斯贏得了首屆菲爾茲獎。

此后，數(shù)學家們不斷拓展普拉托問題，希望更深入地了解極小曲面。這些曲面在數(shù)學和科學領(lǐng)域隨處可見——在幾何學和拓撲學重要猜想的證明中，在細胞和黑洞的研究中，甚至在生物分子的設(shè)計中。“它們是非常優(yōu)美的研究對象，”斯坦福大學的奧蒂斯·喬多什（Otis Chodosh）說道，“非常自然、引人入勝、令人著迷。”

數(shù)學家現(xiàn)在知道，普拉托的預測在七維以內(nèi)都是絕對正確的。但在更高維度上，情況就有所不同了：形成的極小曲面可能并不總是像圓盤或沙漏那樣光滑平整。取而代之的是，它們可能會在某些地方折疊、收縮或相交，形成所謂的奇點（singularities）。當極小曲面存在奇點時，理解和處理它們就變得更加困難。

因此，數(shù)學家們想要了解這種非光滑極小曲面的普遍程度，以及它們可能具有哪些性質(zhì)。如果奇點在給定維度中很少見，只在人為設(shè)定的條件下出現(xiàn)，那么只要你稍微調(diào)整一下線框，它們就會消失。你將得到一個光滑的極小曲面，更容易對其進行研究，從而有機會深入了解該維度中此類曲面的性質(zhì)。

肥皂膜在金屬絲框架內(nèi)拉伸，形成面積極小化的曲面。

圖源：衛(wèi)斯理大學

1985年，數(shù)學家們證明，在八維空間中，奇點確實可以被消除。但在更高維度中，喬多什說“一切都亂套了”。奇點的分析變得更加困難。近40年來，這個問題一直沒有取得實質(zhì)性進展。

這一障礙終于被打破了。2023年，喬多什（Chodosh）與萊斯大學的克里斯托斯·曼圖利迪斯（Christos Mantoulidis）和華威大學的費利克斯·舒爾茨（Felix Schulze）合作，證明在九維和十維空間中，光滑的極小化曲面是常態(tài) https://arxiv.org/abs/2302.02253 。今年早些時候，該團隊與康奈爾大學的王志涵（Zhihan Wang https://bicmr.pku.edu.cn/cn/content/show/70-3324.html ）合作，證明了在十一維空間中同樣如此。

這項研究標志著在理解更高維度中可能出現(xiàn)的奇異極小曲面方面取得了重大進展。數(shù)學家們現(xiàn)在可以利用這一成果來解決許多其他長期以來僅限于八維或更低維度的數(shù)學問題——這使得這些定理更加強大。

一段奇異歷史

1962年，數(shù)學家溫德爾·弗萊明（Wendell Fleming）證明，所有二維極小曲面——普拉托可能研究的任何肥皂膜——都必須是光滑的。具有奇點的二維極小曲面根本不存在。

這些二維曲面存在于我們熟悉的三維空間中。但當我們進入更高維度時會發(fā)生什么呢？那時問題就更難可視化了。例如，在四維空間中，我們線框的對應物是一個二維曲面，而普拉托問題要求我們找到一個三維形狀，用盡可能小的體積填充這個曲面。這個形狀會是什么樣子呢？斯坦福大學的布萊恩·懷特（Brian White）說，就我們所知，“它可能非常糟糕——像分形一樣，或者極其不規(guī)則?！?/p>

Christos Mantoulidis（左）、Felix Schulze（中）和 Otis Chodosh 證明，在九維和十維空間中，大多數(shù)極小化曲面都是光滑的。

圖源：Alison Law | Christos Mantoulidis | Gregor Fels

在弗萊明證明之后的幾年里，數(shù)學家們證明，這種情況在四維、五維、六維或七維空間中永遠不會發(fā)生。極小曲面總是光滑的。但在1968年，數(shù)學家吉姆·西蒙斯（Jim Simons，參閱）在八維空間中構(gòu)造了一個七維形狀，該形狀僅在一個點處存在奇點。次年，數(shù)學家們證明了這個形狀是一個極小曲面，從而確定了八維空間中的極小曲面實際上可能是奇異的。

于是問題就變成了：這些奇點到底有多糟糕？它們是罕見的還是常見的？能否通過稍微調(diào)整線框的形狀，以恰當?shù)姆绞较鼈儯俊叭绻阆肱宄粋€曲面的特性，奇點會使分析變得更加困難，”懷特說道。但如果奇點出現(xiàn)的頻率很低，而且你可以輕松地調(diào)整它們以獲得光滑的曲面，那么事情就會變得容易得多——例如，你可以使用微積分的工具。

1985年，羅伯特·哈特（Robert Hardt）和萊昂·西蒙（Leon Simon）證明了八維空間中的極小曲面具有一種優(yōu)良的性質(zhì)，數(shù)學家稱之為一般正則性（generic regularity）。但沒有人能夠找到如何將他們的方法應用于更高維度，以證明這種性質(zhì)是否存在。

這種情況持續(xù)了幾十年——直到Chodosh、Mantoulidis和Schulze介入。

進入陌生領(lǐng)域

這三位數(shù)學家想要探索未知的更高維度領(lǐng)域，并了解其極小曲面的本質(zhì)，就像生物學家試圖了解新發(fā)現(xiàn)島嶼上的動植物群一樣。于是，他們開始著手研究能否消除這些奇點。

懸鏈旋轉(zhuǎn)面（catenoid，左）和Costa（科斯塔，右）曲面都是面積極小曲面。

其中Costa曲面，由巴西數(shù)學家Costa科斯塔于1982年發(fā)現(xiàn)，是一個完備的極小嵌入曲面，具有虧格為1和三個孔洞。它是一個有限拓撲曲面，平均曲率為零，廣泛應用于數(shù)學和計算機圖形學中。

圖源：Wikimedia Commons

他們首先在八維空間中重新證明了哈特和西蒙幾十年前得出的結(jié)論，這次他們采用了一種不同的方法，并希望檢驗這種方法的有效性。首先，他們假設(shè)了與他們想要證明的相反的情況：當你對定義曲面的線框進行微小擾動時，奇點（單個點）始終存在。每次進行擾動，你都會得到一個新的極小曲面，該曲面仍然具有奇點。然后，你可以將所有這些極小曲面堆疊在一起，使得奇點所在的點構(gòu)成一條直線。

但這不可能。1970年，數(shù)學家赫伯特·費德勒（Herbert Federer）發(fā)現(xiàn)， n維空間中極小化曲面上的任何奇點，其維度至多為n-8。這意味著在八維空間中，任何奇點都必須是零維的：一個孤立點。直線是不允許的。喬多什、曼圖利迪斯和舒爾茨將費德勒的證明推廣到八維空間中的曲面堆疊。然而，在他們的證明中，他們卻構(gòu)造了一個包含這樣一條直線的曲面堆疊。這個矛盾表明他們最初的假設(shè)是錯誤的——這意味著，你最終還是可以通過擾動線框來消除奇點。

王志涵和他的同事證明，當11維空間中的極小化曲面上形成奇點時，可以通過調(diào)整使其消失。

圖源：Yueqing Feng

他們現(xiàn)在覺得可以著手解決九維問題了。他們的證明方法與之前相同：他們假設(shè)最壞的情況，進行一系列擾動，最終得到一個無限堆疊的極小曲面，這些曲面都存在奇點。然后，他們引入了一種名為分離函數(shù)（separation function）的新工具，用于衡量這些奇點之間的距離。如果任何擾動都無法影響奇點，那么這個分離函數(shù)應該始終保持很小。但三人組證明，有時這個函數(shù)的值會很大：某些擾動可以使奇點消失。

數(shù)學家們證明了九維空間中極小曲面的一般正則性 https://arxiv.org/abs/2302.02253 。他們能夠?qū)⑼瑯拥淖C明應用于十維空間——但在十一維空間中，奇點的處理變得更加棘手。他們的方法對一種特定的三維奇點失效了。“奇點的類型多種多樣，”曼圖利迪斯說，“任何成功的證明都必須足夠?qū)挿?，能夠處理所有這些奇點?！?/p>

團隊決定與曾深入研究過這類奇點的王志涵合作。他們共同改進了分離函數(shù)，使其也能適用于這種情況。他們已經(jīng)解決了11維空間中的這個問題 https://arxiv.org/abs/2506.12852 。

“他們將我們的理解拓展了幾個維度，這真是太棒了，”懷特說。

但他們可能需要找到不同的方法來處理更高維度的問題?！拔覀冃枰环N新的成分，”舒爾茨說。

與此同時，數(shù)學家們期望這項新成果能夠幫助他們在數(shù)學和物理的其他問題上取得進展。幾何學和拓撲學中許多猜想的證明——例如關(guān)于具有特定曲率性質(zhì)的形狀的存在性和行為——都依賴于極小曲面的光滑性。因此，這些猜想此前僅被證明到八維。現(xiàn)在，其中許多猜想可以推廣到九維、十維甚至十一維。

廣義相對論中的一個重要論斷——正質(zhì)量定理（positive mass theorem）——也是如此。該定理粗略地指出，宇宙的總能量必然為正。1970年代，理查德·舍恩（Richard Schoen）和丘成桐（Shing-Tung Yau）利用極小曲面證明了七維及以下維度的正質(zhì)量定理。2017年，他們將結(jié)果推廣到所有維度。如今，普拉托問題的最新進展為驗證九維、十維和十一維的正質(zhì)量定理提供了一種新方法。“他們提供了一種更直觀的推廣方法，”懷特說，“不同的證明會帶來不同的見解?！?/p>

這項研究也可能帶來許多意想不到的后果。普拉托問題已被用于研究各種其他問題，包括冰川融化機制 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-melting-ice-stays-smooth-20211006/ 。數(shù)學家們希望該團隊的新方法能夠幫助他們更深入地理解這些聯(lián)系。

至于普拉托問題本身，現(xiàn)在有兩種前進的方向：要么數(shù)學家們繼續(xù)證明更高維度上的一般規(guī)律性，要么他們會發(fā)現(xiàn)，在11維以上，奇點就無法再被消除。舒爾茨說，那也將“算是一個奇跡”——又一個待解之謎?！盁o論哪種結(jié)果，都將令人興奮。”

參考資料

https://arxiv.org/abs/2302.02253

https://arxiv.org/abs/2506.12852

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-melting-ice-stays-smooth-20211006/

https://bicmr.pku.edu.cn/cn/content/show/70-3324.html

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