【毅言堂】

從覃慧玲老師的《找質(zhì)數(shù)》，理解教材設(shè)計(jì)的苦心

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊《找質(zhì)數(shù)》一課，位于第三單元《倍數(shù)與因數(shù)》的第5課時(shí)，在前4個(gè)課時(shí)中，分別學(xué)習(xí)倍數(shù)與因數(shù)概念，探索2，3，5的倍數(shù)特征活動(dòng)，找因數(shù)，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)的概念，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)。2022版新課標(biāo)中對于第三學(xué)段（5-6年級）內(nèi)容要求中，數(shù)與運(yùn)算部分，要求知道2，3，5的倍數(shù)的特征，了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，了解公因數(shù)和最大公因數(shù)，了解奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)量（或素?cái)?shù)）和合數(shù)；對這部分內(nèi)容的學(xué)業(yè)要求是，能找出2，3，5的倍數(shù)，在1~100的自然數(shù)中：能找出10以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)，10以內(nèi)兩個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)；能找出一個(gè)自然數(shù)的所有因數(shù)，兩個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)；能判斷一個(gè)自然數(shù)是否是質(zhì)數(shù)或合數(shù)。

教材內(nèi)容

解決第一個(gè)問題：什么是質(zhì)數(shù)？

原教材設(shè)計(jì)思路：

拼長方形活動(dòng)

準(zhǔn)備若干個(gè)小方塊，請同學(xué)們用它們拼出一個(gè)長方形，分別使用2、3、4、5、6個(gè)小方塊能拼出多少種長方形？你拼出的長方形的兩條鄰邊上各有幾個(gè)小方塊？

下圖是用2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)小方塊拼出的長方形

活動(dòng)解讀

當(dāng)學(xué)生用小方塊拼長方形之后，發(fā)現(xiàn)面積為2、3、5的長方形，形狀是相同的，區(qū)別只是“橫放”或“豎放”，這些長方形的一條邊上只有1個(gè)小方塊，而面積為4、6的長方形，則出現(xiàn)了多種形狀，它們的一條邊上可能不止一個(gè)小方塊，還包括特殊的長方形——正方形；

每個(gè)長方形各邊上的小方塊數(shù)量，與所需小方塊總數(shù)之間，存在如下關(guān)系：長×寬=總數(shù)(面積)，所以拼長方形活動(dòng)的實(shí)質(zhì)，是找因數(shù)；找因數(shù)的目的是為了分類，我們可按所拼成長方形的特征來分類：

只有一種形狀的——>只有兩個(gè)因數(shù)；

不止一種形狀的——>有兩個(gè)以上因數(shù)；

這樣就把除1外的非零自然數(shù)不重復(fù)、不遺漏地完成了分類.

接下來就順理成章地對每個(gè)分類進(jìn)行命名，便得到了質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念.

解決第二個(gè)問題：怎樣找質(zhì)數(shù)？

在課堂上我們可以根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義找到2，3，5，7，11，13等質(zhì)數(shù)，在全班學(xué)號范圍內(nèi)，這些不難辦到，同時(shí)學(xué)生自然會(huì)產(chǎn)生新問題：只有這些質(zhì)數(shù)嗎？更多質(zhì)數(shù)是多少？有限個(gè)還是無限個(gè)？質(zhì)數(shù)分布有規(guī)律嗎？

當(dāng)然，一開始，都是猜想，正如數(shù)學(xué)史上著名的猜想一樣，論證數(shù)學(xué)問題的一般經(jīng)歷是猜想、驗(yàn)證、拓展，這條路，在小學(xué)階段，需要讓學(xué)生體驗(yàn)。

限于小學(xué)五年級學(xué)生的認(rèn)知，我們不妨在百數(shù)表中尋找質(zhì)數(shù)，怎么找？根據(jù)概念，除1和自身之外，若還有別的因數(shù)，則一定是合數(shù)，而在百數(shù)表中找2，3，5的倍數(shù)，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過，不妨借用，這就是方法的遷移；

百數(shù)表本身的分布是有規(guī)律的，第一行是1-10，第二行是11-20，每列相鄰兩個(gè)數(shù)相差10，每行相鄰兩個(gè)數(shù)相差1；

去掉數(shù)字1后，先劃掉2的倍數(shù)，如下圖：

可以發(fā)現(xiàn)，除2外所有偶數(shù)消失了；接下來我勻繼續(xù)劃掉3的倍數(shù)，如下圖：

其實(shí)3的倍數(shù)分布是有規(guī)律的，接下來我們劃掉5的倍數(shù)，如下圖：

最后劃掉7的倍數(shù)，如下圖：

此處可繼續(xù)追問一下：是否還需要再劃掉11的倍數(shù)？13的倍數(shù)？

這是個(gè)很有意思的追問，部分學(xué)有余力的孩子會(huì)很有興趣知道為什么不再繼續(xù)劃下去，多數(shù)孩子會(huì)嘗試一下，發(fā)現(xiàn)已經(jīng)都被劃掉了，就不再深究了，然而培養(yǎng)孩子的創(chuàng)新能力，有必要多問一句；

一位數(shù)乘兩位數(shù)，最多三位數(shù)，而兩位數(shù)乘兩位數(shù)，至少三位數(shù)；我們已經(jīng)找出的質(zhì)數(shù)中，個(gè)位數(shù)只有4個(gè)，它們的倍數(shù)已經(jīng)覆蓋百數(shù)表中全部合數(shù)；而兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)，如果另一個(gè)因數(shù)是個(gè)位數(shù)，那必然在已劃掉的合數(shù)中，若另一個(gè)因數(shù)也是兩位質(zhì)數(shù)，則結(jié)果會(huì)超出100；

所以沒必要繼續(xù)劃掉11、13等兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)的倍數(shù)了.

解決第三個(gè)問題：為何找質(zhì)數(shù)？

其實(shí)這個(gè)問題最淺顯的答案，在最開始的拼長方形中，只能拼出一種形狀的長方形，是拼出結(jié)果中比較特殊的形狀，橫放或豎放都是一樣的，這種特殊性容易被五年級孩子接受；

接下來要說的是學(xué)生比較難理解，但更接近真實(shí)必要性的原因：

數(shù)學(xué)史話——質(zhì)數(shù)

1963年，數(shù)學(xué)家烏拉姆在參加大學(xué)教學(xué)會(huì)議時(shí)感到無聊，便在紙上將已知的質(zhì)數(shù)排成下圖樣式：

他隨即用方塊代表這些質(zhì)數(shù)，繪制到一定規(guī)模之后，發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)出一組組的直線，于是他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)令人難以置信的結(jié)果——質(zhì)數(shù)的排列隱約呈現(xiàn)一定的規(guī)律！這些規(guī)律至今仍困擾著世界上最頂尖的數(shù)學(xué)天才們。這種質(zhì)數(shù)方形螺旋因此被稱為烏拉姆螺旋。

利用烏拉姆螺旋，我們可以很好地解釋費(fèi)馬和歐拉發(fā)現(xiàn)的質(zhì)數(shù)生成器。這類生成器實(shí)際上是方形螺旋圖上的一條直線。雖然這條直線不能確保生成的全部都是質(zhì)數(shù)，但相對于其他方向，它能生成更多的質(zhì)數(shù)。例如，按照這一方法，我們可以簡潔明了地構(gòu)造一個(gè)質(zhì)數(shù)生成器，如 。事實(shí)證明，這是一個(gè)高質(zhì)量的質(zhì)數(shù)生成器，其效果甚至優(yōu)于歐拉的生成器。目前，在這張圖上發(fā)現(xiàn)的最高效的質(zhì)數(shù)生成器是下圖這個(gè)樣子：

這條線被稱為質(zhì)數(shù)黃金線，是目前發(fā)現(xiàn)的能生成最多質(zhì)數(shù)的生成器。但它是否最高效？這仍是一個(gè)數(shù)學(xué)猜想，期待有人能證明。

當(dāng)烏拉姆方形螺旋的研究成果傳到德國后，德國數(shù)學(xué)家們露出了意味深長的笑容。他們問道：“兄弟，你是否聽說過高斯？這個(gè)方法高斯在一百年前就已提出，而且他的方法更為高級?！?/p>

高斯的思路十分巧妙。最初，他試圖在復(fù)平面上找到一個(gè)類似于整數(shù)的概念——負(fù)整數(shù)？

他提出了另一種定義：若負(fù)整數(shù)的模與輻角均為整數(shù)，則該數(shù)稱為磨藏整數(shù)。

例如，數(shù)字1的表示形式如此，數(shù)字2的表示形式如此，依此類推。在此基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步定義負(fù)質(zhì)數(shù)，例如3的表示形式如此，5的表示形式如此，等等?，F(xiàn)在，我們將這些負(fù)質(zhì)數(shù)逐一繪制出來。觀察這些圖形，它們呈現(xiàn)出螺旋線的形態(tài)。通過這種方式，我們可以研究質(zhì)數(shù)在不同螺旋線上的分布規(guī)律。

高斯似乎打算沿著這一方向深入研究質(zhì)數(shù)的分布。他是否會(huì)比黎曼早一步得出zeta函數(shù)？然而，我們低估了高斯在數(shù)學(xué)思維上的靈活性，這令人嘆為觀止。他并未繼續(xù)深入質(zhì)數(shù)分布的研究，而是思考：既然已經(jīng)找到了負(fù)數(shù)的整數(shù)表達(dá)形式，那么如果研究的整數(shù)不是十進(jìn)制，而是二進(jìn)制、四進(jìn)制、八進(jìn)制或十二進(jìn)制呢？

高斯直接采用了分圓法，因?yàn)楸硎疽粋€(gè)單位圓。若要研究12進(jìn)制，可將圓分成12份，類似于鐘面。鐘面上的每個(gè)刻度對應(yīng)數(shù)字除以12的余數(shù)。因此，進(jìn)制即同余，同余即進(jìn)制。高斯瞬間將復(fù)平面分析與同余分析聯(lián)系起來，使得我們可以用復(fù)分析研究同余問題，反之亦然。這一數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)令人驚嘆。

高斯將同一進(jìn)制下不同余數(shù)的復(fù)數(shù)值相加，創(chuàng)造出了數(shù)論中極其重要的算法，后人稱之為高斯和。高斯利用這一方法證明了數(shù)論中第一個(gè)奠基性定理——二次互反律。該方法后來被拉馬努金的導(dǎo)師哈代握，并由此開創(chuàng)了數(shù)論的劍橋?qū)W派。哈代后來收了一位來自中國的學(xué)生，名為華羅庚。

華羅庚從哈代那里繼承了高斯和這一工具，并且他運(yùn)用高斯和的方法證明了完整三角和定理，該定理后來被稱為華氏定理。

借此機(jī)會(huì)，再次強(qiáng)調(diào)，切勿低估華羅庚先生的成就。由于戰(zhàn)爭原因，他的成果當(dāng)時(shí)僅限于國內(nèi)傳播。數(shù)論領(lǐng)域即便對頂級數(shù)學(xué)家而言也頗具挑戰(zhàn)性。

當(dāng)華羅庚的成果最終傳入歐美后，立即引起轟動(dòng)。他的證明被譽(yù)為臻于至善的證明。

中國還有一位天才數(shù)學(xué)家陳景潤先生，在數(shù)論研究領(lǐng)域中同樣取得了令世人矚目的成就，在驗(yàn)證哥德巴赫猜想過程中取得了突破性進(jìn)展。

正因?yàn)橘|(zhì)數(shù)的規(guī)律發(fā)現(xiàn)如此困難，所以需要極強(qiáng)保密性的密碼學(xué)，便有了足夠堅(jiān)實(shí)的根基。

質(zhì)數(shù)很有必要研究下去，通過對它的研究，誕生了無數(shù)數(shù)學(xué)猜想、定理、推論，為我們今天的科技發(fā)展提供了足夠的理論依據(jù)。

覃慧玲老師的這節(jié)課，并沒有按照教材上的編排去設(shè)計(jì)，而是借鑒了深圳市數(shù)學(xué)特級教師、正高級教師，黃愛華老師的改編，從更抽象的數(shù)的角度去探索質(zhì)數(shù)的奧秘，因?yàn)樵谇懊鎺坠?jié)課的教學(xué)中，我們大量采用了拼圖方式，學(xué)生對圖示已經(jīng)有了初步的理解，可以在思維上更深入一些，以“數(shù)”研質(zhì)數(shù)。

事實(shí)上北師大版教材，給使用老師們留下了足夠?qū)掗煹目臻g，在深入理解教材的基礎(chǔ)上，允許進(jìn)行大膽改編重組，作為一線教師，學(xué)習(xí)并模仿專家步伐，理解教學(xué)設(shè)計(jì)意圖之后，也可以進(jìn)行嘗試這種改編與重組，這對個(gè)人教學(xué)水平的提升有極大促進(jìn)作用。