綜合與實踐：三角形旋轉(zhuǎn)放縮

2025年江西省中考數(shù)學第23題

在2022版新課標中，對于綜合與實踐版塊的要求相對原課標有較大提升，初中階段的綜合與實踐與小學不同，多采取項目式學習的方式，以問題解決為導向，并不單純是解題，學生在解決問題的過程中會運用到數(shù)學思想方法和其它學科的知識，通常情況下每一次項目式學習都有其目的，涉及到的數(shù)學思想方法并不相同。

三角形的旋轉(zhuǎn)放縮，源自于人教版數(shù)學九年級下冊的相似三角形，而旋轉(zhuǎn)變換則是在九年級上冊，安排在圓的前面，和七、八年級所學習的平移、全等、軸對稱等一起，構(gòu)成初中幾何的基本圖形變換方式，以這幾種基本圖形變換為基礎，可以衍生出更多變換類型，有一些便是我們熟悉的各種解題模型例如手拉手。

而從特殊到一般的研究思路，則貫穿整個數(shù)學學習過程。

題目

綜合與實踐

從特殊到一般是研究數(shù)學問題的一般思路，綜合實踐小組以特殊四邊形為背景就三角形的旋轉(zhuǎn)放縮問題展開研究。

特例研究

在正方形ABCD中，AC，BD相交于點O.

(1)如圖1，△ADC可以看成是△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)并放大k倍得到，此時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_________，k的值為__________；

(2)如圖2，將△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，并放大得到△AEF（點O，B的對應點分別為點E，F(xiàn)），使得點E落在OD上，點F落在BC上，求BF:OE的值；

(3)如圖2，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分線與BD的交點，將△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，并放縮得到△AEF（點O，B的對應點分別為點E，F(xiàn)），使得點E落在OD上，點F落在BC上，猜想BF:OE的值是否與α有關，并說明理由；

(4)若(3)中∠ABC=β，其余條件不變，探究BA，BE，BF之間的數(shù)量關系（用含β的式子表示）.

解析：

01

(1)在正方形ABCD中，我們很容易證明△AOB∽△ADC，如下圖所示：

通過它們的一組對應邊AO與AD的夾角可確定旋轉(zhuǎn)角為45°，相似比為1:√2，即k的值為√2；

02

(2)由題意可得△AOB∽△AEF，所以∠OAB=∠EAF，于是∠FAB=∠EAO，再加上∠AOE=∠ABF=90°，可得△ABF∽△AOE，得到AB:AO=BF:OE，而在△AOB中，AB:AO=√2，所以BF:OE=√2；如下圖所示：

03

(3)先根據(jù)題目要求完成作圖，如下圖：

借助前面探究的結(jié)果，我們用同樣的思路，先由題目條件得到△AOB∽△AEF，得∠OAB=∠EAF，所以∠BAF=∠OAE=α，又由AO:AE=AB:AF得AO:AB=AE:AF，所以△BAF∽△OAE，得BF:OE=BA:OA，對于△AOB，它是特殊等腰三角形，由菱形ABCD，∠ABC=60°可得等邊△ABC，而OC是AB邊上的垂直平分線，菱形對角線BD是∠ABC角平分線，由三線合一可得點O是△ABC的中心，所以△AOB是等腰三角形且∠ABO=30°，在這個三角形中，底是腰的√3倍，于是BA:OA=√3，即BF:OE=√3；

可知這個結(jié)果與α的值無關.

在解決最后一個探究之前，不妨將(2)，(3)兩個問題進行簡單的歸納，當四邊形ABCD由正方形變成含60°角的菱形，BF:OE的值由√2變成了√3，而正方形的對角線與邊長之比為√2，含60°角的菱形較長對角線與邊長之比為√3，它們與BF:OE之間是否存在必要聯(lián)系？

帶著這個問題，以及前面兩個小題的研究方法，再進入下一個問題；

04

(4)在備用圖中按(3)中要求作圖如下：

前面已經(jīng)探究出來的方法告訴我們，△AOB∽△AEF，依然可證明△ABF∽△AOE，既然前面已經(jīng)知道BF:OE的值與旋轉(zhuǎn)角無關，那么我們的重點應放在菱形ABCD的較長對角線與邊長的比值上，即△BAD的底與腰之比，而△BAD∽△AOB，因此我們要關注△AOB的底與腰之比，題目要求探索的三條線段分別是BE，BF，AB，其中BE在對角線BD上，AB是菱形的邊長，接下來我們需要建立這三條線段和我們已經(jīng)探索出的線段關聯(lián).

∠ABC=β，則∠ABO=1/2β，由OG是AB的垂直平分線可得Rt△GBO，可知cos1/2β=BG:OB，所以BG=OB·cos1/2β，進一步得到AB=2OB·cos1/2β，再由已經(jīng)證明過的相似三角形△ABF∽△AOE得AB:AO=BF:OE，而AB:AO=AB:OB=2cos1/2β，則BF:OE=2cos1/2β；

所以BF=2OE·cos1/2β，而OE=BE-OB=BE-AB/2cos1/2β，代入前面式子，可得BF=2(BE-AB/2cos1/2β)·cos1/2β=2BE·cos1/2β-AB.

解題反思

本題中的相似三角形的證明不是難點，事實上題目條件敘述的過程中，已經(jīng)把相似的條件都給出來了，而尋找相似三角形也不是難點，圖形呈現(xiàn)中并沒有給尋找相似三角形制造障礙，甚至于多次相似三角形中都屬于可以一眼瞧見的類型，這和某些省市中考題里，在相似三角形的構(gòu)造或?qū)ふ抑性O置障礙大不相同，對于這個知識點的難度設置，符合新課標的要求，非常難得。

相似既然不是難點，那么本題難在哪里？

首先是方法的遷移，從正方形中的特殊相似三角形，到正方形的一般相似三角形，再到特殊菱形中的相似三角形，最后到一般菱形中的相似三角形，和題目開頭所說的“從特殊到一般”吻合；

其次是線段比值的運用，我們在學習三角函數(shù)的時候，很多老師喜歡把這部分內(nèi)容簡化或弱化成幾個特殊三角函數(shù)值的記憶，最多利用邊長比為1：2：√5或3：4：5的直角三角形，這違背了課標中對三角函數(shù)的要求，教材中既然稱之為函數(shù)，我們需要讓它有函數(shù)味道，即角度大小和線段比值間，存在對應關系，從4個小題設置來看，√2，√3是特殊比值，而到最后的小題，比值變成了cos1/2β，若β是常量，則這個比值也是常量，學生如果理解了這一點，則此題再無難度，這仍然體現(xiàn)了從特殊到一般的思想。

最后說一下這道題的情景，新課標中說綜合與實踐“在社會生活和科學技術的真實情景中”，我們不能只看前半句，科學技術包括數(shù)學，于是數(shù)學本身也是真實情景，包括圖形、符號等抽象元素，數(shù)學原本就應該是學生腦海中的情景，抽象但真實。

在張欽博士的系列叢書《從優(yōu)秀試題中領悟初中數(shù)學教學》中，每冊書后的博士主張，值得認真閱讀學習，尤其是青年教師。