文科背景的朋友們經(jīng)常會(huì)問我一個(gè)問題：數(shù)學(xué)到底哪里有趣了，數(shù)學(xué)之美又在哪 里？此時(shí)，我通常會(huì)講一些簡(jiǎn)單而又深刻的算術(shù)游戲，讓每個(gè)只會(huì)算術(shù)的人都能或多 或少地體會(huì)到一些數(shù)學(xué)的美妙。如果你從小就被數(shù)學(xué)考試折磨，對(duì)數(shù)學(xué)一點(diǎn)好感都沒 有，那么我相信這一節(jié)內(nèi)容會(huì)改變你的態(tài)度。

01

數(shù)字黑洞

任意選一個(gè)四位數(shù)（數(shù)字不能全相同），把所有數(shù)字從大到小排列，再把所有數(shù)字從小到大排列，用前者減去后者得到一個(gè)新的數(shù)。重復(fù)對(duì)新得到的數(shù)進(jìn)行上述操作，7 步以內(nèi)必然會(huì)得到6174。如果某一步計(jì)算的結(jié)果不足四位，那就在它前面添加0，把它補(bǔ)成四位，再進(jìn)行操作。例如，選擇四位數(shù)8080：

6174這個(gè)“黑洞”就叫做卡布列克（Kaprekar）常數(shù)。對(duì)于三位數(shù)，也有一個(gè)數(shù)字黑洞，即495。

02

特殊乘法的速算

如果兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)相同，個(gè)位數(shù)相加為10，那么你可以立即說出這兩個(gè)數(shù)的乘積。如果把這兩個(gè)數(shù)分別寫作AB和AC，那么它們的乘積的前兩位就是A和?1 A 的乘積，后兩位就是B和C的乘積。

比如，47 和 43 的十位數(shù)相同，個(gè)位數(shù)之和為 10，因而它們乘積的前兩位就是4x(4+1)=20，后兩位就是7x3=21。也就是說，47x43=2021。

類似地，61x69=4209，47x43=2021，86x84 =7224， 35x35=1225，等等。

這個(gè)速算方法背后的原因是，(10x+y)(10x+(10-y))=100x(x-1)+y(10-y)對(duì)任意x和y都成立。

03

翻倍，再翻倍！

將123 456 789翻倍，你會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果仍然是這9個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列：

123 456 789x2=246 913 578

我們?cè)俅螌?46913578翻倍，發(fā)現(xiàn)：

246 913 578x2=493 827 156

結(jié)果依舊使用了每個(gè)數(shù)字各一次。這僅僅是一個(gè)巧合嗎？我們繼續(xù)翻倍：

493 827 156x2=987 654 312

神奇啊，一個(gè)很有特點(diǎn)的數(shù)987 654 312，顯然每個(gè)數(shù)字又只用了一次。 你或許會(huì)想，這下到頭了吧，再翻倍就成10位數(shù)了。不過，請(qǐng)看：

987 654 312x2=1975 308 624

又使用了每個(gè)數(shù)字各一次，只不過這一次加上了數(shù)字0。再來？

1975 308 624x2=3950 617 248

恐怖了，又是每個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)一次。 出現(xiàn)了這么多巧合之后我們開始懷疑，這并不是什么巧合，一定有什么簡(jiǎn)單的方法可以解釋這種現(xiàn)象的。 但是，下面的事實(shí)讓這個(gè)問題更加復(fù)雜了。

到了第6次后，雖然仍然是10位數(shù)，但偏偏就在這時(shí)發(fā)生了意外：

3 950 617 248x2 = 7 901 234 4

看來，尋找一個(gè)合理的解釋，并不是一件輕而易舉的事情。

04

唯一的解

經(jīng)典數(shù)字謎題：用1到9組成一個(gè)九位數(shù)，使得這個(gè)數(shù)的第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)能被2整除，前三位組成的三位數(shù)能被3整除，以此類推，一直到整個(gè)九位數(shù)能被9整除。

沒錯(cuò)，真的有這樣猛的數(shù)：381 654 729。其中 3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整個(gè)數(shù)能被9整除。這個(gè)數(shù)既可以用整除的性質(zhì)一步步推出來，也可以利用計(jì)算機(jī)編程找到。

另一個(gè)有趣的事實(shí)是，在所有由 1到 9所組成的 362 880個(gè)不同的九位數(shù)中， 381 654 729 是唯一一個(gè)滿足要求的數(shù)！

05

幻方之幻

一個(gè)“三階幻方”是指把數(shù)字1到9填入 3x3的方格，使得每一行、每一列以及兩條對(duì)角線的3個(gè)數(shù)之和正好都相同。圖1就是一個(gè)三階幻方，每條直線上的3個(gè)數(shù)之和都等于15。

大家或許都聽說過幻方這東西，但是并不知道幻方中的一些美妙的性質(zhì)。例如，任意一個(gè)三階幻方都滿足，各行所組成的三位數(shù)的平方和，等于各行逆序所組成的三位數(shù)的平方和。對(duì)于上圖中的三階幻方，就有

利用線性代數(shù)，我們可以證明這個(gè)結(jié)論。

06

天然形成的幻方

從 1/19 到18/19 這18個(gè)分?jǐn)?shù)的小數(shù)循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度都是18。像圖 2那樣把這18個(gè)循環(huán)節(jié)排成一個(gè) 18x18的數(shù)字陣，這將恰好構(gòu)成一個(gè)幻方——每一行、每一列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都是81。

07

一個(gè)小魔術(shù)

在一張紙上并排畫 11 個(gè)小方格，叫你的好朋友背對(duì)著你（讓你看不到他在紙上寫什么），在前兩個(gè)方格中隨便填兩個(gè)1到10之間的數(shù)。從第3個(gè)方格開始，在每個(gè)方格里填入前兩個(gè)方格里的數(shù)之和。讓你的朋友一直算出第 10個(gè)方格里的數(shù)。假如你的朋友一開始填入方格的數(shù)是7和3，那么前10個(gè)方格里的數(shù)分別是：

現(xiàn)在，叫你的朋友報(bào)出第10個(gè)方格里的數(shù)，稍作計(jì)算你便能猜出第11個(gè)方格里的數(shù)應(yīng)該是多少。你的朋友會(huì)非常驚奇地發(fā)現(xiàn)，把第 11 個(gè)方格里的數(shù)計(jì)算出來，所得的結(jié)果與你的預(yù)測(cè)一模一樣！

其實(shí)，僅憑借第10個(gè)數(shù)來推測(cè)第11個(gè)數(shù)的方法非常簡(jiǎn)單，你需要做的僅僅是把第 10 個(gè)數(shù)乘以 1.618，得到的乘積就是第 11 個(gè)數(shù)了。在上面的例子中，由于 249x1.618 =402.882，約等于403，因此你可以胸有成竹地?cái)喽ǎ?1個(gè)數(shù)就是403。而事實(shí)上，154與249相加真的就等于403。

其實(shí)，不管最初兩個(gè)數(shù)是什么，按照這種方式加下去，相鄰兩數(shù)之比總會(huì)越來越趨近于1.618——這個(gè)數(shù)正是傳說中的“黃金分割”。

08

3個(gè)神奇的分?jǐn)?shù)

1/49 化成小數(shù)后等于 0.0204081632…，把小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字兩位兩位斷開，前五個(gè)數(shù)依次是2、4、8、16、32，每個(gè)數(shù)正好都是前一個(gè)數(shù)的兩倍。

100/9899 等于 0.01010203050813213455…，兩位兩位斷開后，得到的正好是著名的斐波那契（Fibonacci）數(shù)列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … ，數(shù)列中的每一個(gè)項(xiàng)都是它前面兩個(gè)項(xiàng)之和。

而100/9801則等于0.0102030405060708091011121314151617181920212223…。

利用組合數(shù)學(xué)中的“生成函數(shù)”可以完美地解釋這些現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。

《思考的樂趣：Matrix67數(shù)學(xué)筆記》

作者：顧森

中科院院士張景中、湯濤聯(lián)袂推薦

本書是一個(gè)瘋狂數(shù)學(xué)愛好者的數(shù)學(xué)筆記，面向所有喜愛數(shù)學(xué)的讀者。本書包括5部分內(nèi)容，即生活中的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)之美、幾何的大廈、精妙的證明、思維的尺度，涉及48篇精彩的文章。即使你不喜歡數(shù)學(xué)，也會(huì)為本書的精彩所傾倒。

這是一本標(biāo)新立異的趣味數(shù)學(xué)書。每一個(gè)讀過的人都會(huì)被深深吸引。這是一個(gè)熱愛思考的年輕人積攢的讓人一讀就欲罷不能的趣味書。

作者顧森其他圖書

《浴缸里的驚嘆：

256道讓你恍然大悟的趣題》

作者：顧森

《浴缸里的驚嘆》源自阿基米德的那句“Eureka”，是那種苦思冥想后恍然大悟的奇妙感覺。

本書精選自作者顧森十余年來精心收集的數(shù)學(xué)趣題，廣泛包含了幾何、組合、行程、數(shù)字、概率、邏輯、博弈、策略等諸多類別。

其中既有小學(xué)奧數(shù)當(dāng)中的經(jīng)典題目，又有難題。多數(shù)題目都很簡(jiǎn)單，基本不需要繁復(fù)的計(jì)算或者艱深的專業(yè)知識(shí)，只需動(dòng)腦或動(dòng)手就可以想出答案，但想出所有答案也不是那么容易，有利于激發(fā)讀者進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)問題的興趣。