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本月主題：

1. 糾纏烷Perplexanes，一類新型分子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

2. 幾何學(xué)與大腦遺傳學(xué)

作者：Tony Phillips（石溪大學(xué)數(shù)學(xué)教授）2025-7-30

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-8-1

1. 糾纏烷Perplexanes，一類新型分子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖源：JACS 147期 CC BY 4.0

分子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在納米技術(shù)中的重要性日益凸顯。分子結(jié)已被用于加速化學(xué)反應(yīng) https://www.chem.ox.ac.uk/catalysis ，并被用作癌癥治療的遞送劑。Fredrik Schaufelberger在2020年發(fā)表于《自然通訊化學(xué)》的一篇文章 https://www.nature.com/articles/s42004-020-00433-7 中詳細(xì)闡述了這些應(yīng)用及其他應(yīng)用。他在文中寫道：“分子結(jié)正從學(xué)術(shù)好奇演變?yōu)橐活惥哂袑嶋H應(yīng)用價值的機械互鎖分子，能夠在納米尺度上執(zhí)行獨特的任務(wù)。”

《美國化學(xué)會志》五月刊發(fā)表的一篇論文分享了一種改進(jìn)的工藝 https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268 ，用于生產(chǎn)這些復(fù)雜拓?fù)涞姆肿?。?jù)該研究的作者稱，合成分子結(jié)和鏈的嘗試一直“挑戰(zhàn)合成化學(xué)的極限”，因為構(gòu)建塊通常是亞基的線性鏈，而結(jié)和鏈本質(zhì)上是曲線的環(huán)狀物體。

為了解決這個問題，他們采用了一種新的分子合成方法，使用三足（Y形）構(gòu)建塊。這使得他們能夠以66%的產(chǎn)率合成四面體籠狀分子。相比之下，他們報告稱，之前最先進(jìn)的方法的產(chǎn)率為0.8% - 20%。當(dāng)他們利用允許非平面耦合的柔性肽來豐富合成時 https://en.wikipedia.org/wiki/Zirconocene ，反應(yīng)產(chǎn)生了具有“不尋常的互鎖和交織組合”的新型分子。這些新型分子就是Perplexanes（糾纏烷）。

模擬霍普夫連接和右手三葉結(jié)的Perplexanes。

SCXRD代表單晶X射線衍射（single-crystal X-ray diffraction），該技術(shù)用于確定精確的分子結(jié)構(gòu)。

圖源（裁剪自）：JACS 147期 https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268 CC BY 4.0。

這對拓?fù)鋵W(xué)家來說是個挑戰(zhàn)嗎？作者評論道：“分支成分越多，復(fù)雜性越高，這應(yīng)該能讓我們探索到一些尚未被數(shù)學(xué)界定的新的拓?fù)渥宇悺！保哟种攸c是Tony教授強調(diào)的。）

2. 幾何學(xué)和大腦遺傳學(xué)

在6月13日發(fā)表于《科學(xué)進(jìn)展》

Science Advances

核心觀察結(jié)果是，不同形狀的膜會以不同的頻率振動。這也是不同樂器產(chǎn)生不同聲音的原因之一。大鼓的音調(diào)比小鼓低，因為小鼓只能以高頻振動，而大鼓的振動速度更慢。一個曲面可能振動頻率（實際上是振動頻率的平方；參見下文）的集合稱為其頻譜（spectrum，譜）。

從計算角度來看，曲面的頻譜由一個稱為波動方程（wave equation）的偏微分方程確定。對于非常簡單或?qū)ΨQ的曲面，波動方程及其頻譜可以用幾何和微積分在紙上計算出來。

舉個例子。木板上兩個釘子之間拉著一根繩索，稱為弦（cord，我們可以把它看作一張一維的“膜”），撥動它就會振動，在很多情況下會產(chǎn)生可聽見的聲音。

為了簡化記譜，我們以長度為π的弦為例。選擇一端作為起點，用x表示沿弦的距離。用f(x,t)表示弦從其在靜止位置x，經(jīng)過時間t之后移動了多遠(yuǎn)。使用這些項，波動方程就寫成?2f/?t2=c2 ?2f/?x2，其中c是波沿弦傳播的速度。

該方程表明，在弦上任何一點，其垂直加速度都與其凹度（concavity）成正比。這是有道理的，因為當(dāng)x處的形變向下凹陷（ ?）時，彈性會向下拉x（↓），而當(dāng)形變向上凹陷（ ?）時，彈性會向上拉x（↑）。

函數(shù)f_k(x,t)=sin(kx) cos(kct)（其中k=1,2,3,...）是波動方程的解。每一個基本解，設(shè)定t=0，都對應(yīng)于弦的一種特定初始配置。這些配置被稱為振動模式（modes of vibration）。通過傅里葉分析，弦的任何初始配置都可以寫成這些模式的線性組合。對于撥動弦的情況，其初始垂直速度為零，波動方程的解是f_k的相應(yīng)線性組合。

基本解的可能頻率均為c/(2π)的整數(shù)倍，而弦的頻譜是這些頻率的平方： c2/(4π2)， c2/π2， 9c2/(4π2)等等。（就調(diào)性tonality而言，如果 c/(2π) 是音符的音高，則 c/π 是其高八度音，而 3c/(2π) 是八度音上方的純五度音）。

兩端固定的弦的前三種振動模式。弦長度等于π，實線分別為 sin x 、sin 2x 和 sin 3x 的圖形。每幅圖下方是該模式的示意圖：藍(lán)色表示對應(yīng)函數(shù)值為正，紅色表示對應(yīng)函數(shù)值為負(fù)，白色表示函數(shù)接近于零。

圖源：Tony Phillips

一旦我們知道了基本解的結(jié)構(gòu)，這種方法就可以推廣到更復(fù)雜的情況。每個解的形式為h(x) cos(kct)（其中h是以x為唯一變量的函數(shù)）。寫出滿足波動方程

?2(h(x) cos(kct))/?x2 = 1/c2 ?2(h(x) cos(kct))/?t2

的解，得到

?2h/?x2 cos(kct) = 1/c2 h(x) ?2(cos(kct))/?t2

簡化為

?2h/?x2 = -k2h

這意味著算子 ?2/?x2（測量每個點的凹度）取 h(x)的倍數(shù)（-k2）。我們稱 h 是 ?2/?x2在特征值為 -k2 時的特征函數(shù)（eigenfunction）。在弦的例子中， sin (2x) 是特征值為-4時，算子 ?2/?x2 的特征函數(shù)。

對于曲面， ?2/?x2 有一個類似算子，稱為拉普拉斯-貝爾特拉米（Laplace-Beltrami）算子。該算子通常表示為Δ，包含有關(guān)局部幾何的信息；波動方程現(xiàn)在是

?2f/?t2 = c2Δf

其中 f 是曲面變量和時間的函數(shù)。計算譜的過程與一維情況相同：如果在曲面上定義的函數(shù) h(x,y) 是 特征值為-k2時 Δ 的特征函數(shù)，則 h(x,y) cos(kct) 將是該曲面上的波動方程的解。

假設(shè)我們可以確定足夠多的特征函數(shù) h?, h?, … ，使得曲面的任何初始配置 f(x,y) 都可以寫成線性組合 a?h?+a?h?+ …，其過程類似于傅里葉分析。然后，如果 -k?2 是與 h? 相關(guān)的特征值，則和

a?h? cos(k?ct) + a?h? cos(k?ct)+ …

是初始配置為 f(x,y) 的波動方程的解。

特征值的集合（按照慣例，不帶負(fù)號：k?2, k?2, … ），按升序排列，即為曲面的拉普拉斯-貝爾特拉米譜，或者簡稱為“譜”。注意，各個特征函數(shù)的振動頻率是相應(yīng)特征值的平方根乘以 c 得到的。

拉普拉斯-貝爾特拉米算子在半徑為 1 的二維球面上的第一個非零特征函數(shù)，其藍(lán)紅白約定規(guī)則同上，在各列中列出了它們對應(yīng)的特征值。這些函數(shù)傳統(tǒng)上稱為球諧函數(shù)（spherical harmonics，球面諧波函數(shù)）

圖源：Mireia Crispin（劍橋大學(xué)）的視頻演示 https://youtu.be/5PMqf3Hj-Aw 經(jīng)許可使用

曲面的譜在多大程度上決定了它的形狀？馬克·卡克（Mark Kac）在其1966年的論文《能聽到鼓的形狀嗎？》

Can one hear the shape of a drum?

通常情況下，我們無法聽到鼓的形狀，但反例卻很難構(gòu)造。對于絕大多數(shù)曲面，如果兩個譜相同，則它們必定是等距的，即幾何上等價。

在最近的論文中，作者假設(shè)人類海馬體的形狀屬于這一類，并使用計算出的頻譜作為形狀的數(shù)值表征。海馬體過于復(fù)雜，波動方程無法精確求解；因此，他們利用計算機構(gòu)建了一個由微小三角形組成的三維模型，并使用離散版本的波動方程計算頻譜。

正如他們所寫的，“這種多維內(nèi)稟的形狀表示，作為等距不變量，與坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)、平移和縮放無關(guān)，無需進(jìn)行容易出錯的個體間圖像配準(zhǔn)，并且會隨著（曲面）的任何變化而連續(xù)變化?！?/p>

成人腦干的拉普拉斯-貝爾特拉米特征函數(shù) (Sci. Adv. 11(24), 10.1126/sciadv.adr1644 https://doi.org/10.1126/sciadv.adr1644 )

圖中顯示了前五個特征函數(shù)，以及特征函數(shù) 10、20、30、40 和 49 及其對應(yīng)的特征值。顏色約定與上述類似，但藍(lán)綠色表示正值，棕色表示負(fù)值。

根據(jù) CC BY-NC 許可使用，略作編輯

Primus及其同事研究了拉普拉斯-貝爾特拉米譜（Laplace-Beltrami spectrum），該譜由其前49個特征值表示。他們發(fā)現(xiàn)了19862個人的22 個不同大腦區(qū)域的譜圖，并記錄了他們的基因組。

由于作者關(guān)注的是形狀而非大小，因此對譜圖進(jìn)行了歸一化處理。對于每個大腦區(qū)域，他們進(jìn)行了多元綜合統(tǒng)計檢驗 https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC7360598/ ，以尋找譜圖與基因組之間的相關(guān)性。

他們報告了DNA中的 80 個單字母變化，其中 31 個此前是未知的，這些變化“與至少一個大腦結(jié)構(gòu)的形狀獨立相關(guān)”。具體來說，他們發(fā)現(xiàn)大腦形狀與高血壓、缺血性中風(fēng)和精神分裂癥易感基因標(biāo)記之間存在顯著相關(guān)性，“表明（拉普拉斯-貝爾特拉米譜）可能作為早期疾病的生物標(biāo)記。”

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-june-2025/

https://www.chem.ox.ac.uk/catalysis

https://www.nature.com/articles/s42004-020-00433-7

https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268

https://en.wikipedia.org/wiki/Zirconocene

https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268

https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.adr1644

https://youtu.be/5PMqf3Hj-Aw

https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/m207b/kac.pdf

https://doi.org/10.1126/sciadv.adr1644

https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC7360598/

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