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本月主題：

1. 人群演算

2. 實(shí)體數(shù)學(xué)和無(wú)實(shí)體數(shù)學(xué)

作者：Tony Phillips（量子雜志主編）2025-4-30

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-5-5

1. 人群演算

當(dāng)兩組人以相反的方向行走通過(guò)走廊時(shí)，他們往往會(huì)形成一些由同方向的行人組成的人行路線。但是當(dāng)兩組人彼此垂直移動(dòng)時(shí)，沒(méi)有人行路線形成。這種現(xiàn)象在其他涉及膠體、等離子體和細(xì)胞自動(dòng)機(jī)的“主動(dòng)流”（active flows）中也被觀察到。

下面三張靜態(tài)圖片中，淺藍(lán)色和深藍(lán)色箭頭分別指示粒子的位置和運(yùn)動(dòng)方向。在第一張靜態(tài)圖片中，箭頭隨機(jī)散布，指向多個(gè)方向。在第二張靜態(tài)圖片中，箭頭更加水平。在最后一張靜態(tài)圖片中，深藍(lán)色箭頭向右移動(dòng)，淺藍(lán)色箭頭向左移動(dòng)的軌跡開(kāi)始形成。

一次模擬過(guò)程得到的相等時(shí)間間隔（從上到下）的三張靜止圖像，顯示粒子正在“形成人行路線”，深藍(lán)色箭頭向右移動(dòng)，淺藍(lán)色箭頭向左移動(dòng)。摘自尼古拉斯·貝恩（Nicolas Bain）和丹尼斯·巴托洛（ENS-Lyon） https://www.nature.com/articles/ncomms15969 的“模型二元活性液體中的臨界混合和普遍相關(guān)性”中的補(bǔ)充電影S1，Nat Commun 8,15969（2017）。在CC by 4.0許可證下使用。

3月24日在《美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院刊》上的一篇文章 https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2420697122 調(diào)查了人群行為的這一特征。參閱 。作者（由麻省理工學(xué)院的 Karol A. Bacik領(lǐng)導(dǎo)）研究了兩組人路徑之間的精確角度如何影響人行路線形成。正如他們所描述的那樣，他們結(jié)合使用了“理論分析、數(shù)值模擬和程式化實(shí)驗(yàn)”。

該團(tuán)隊(duì)在體育館中設(shè)置了一個(gè)8m×6m的矩形區(qū)域，每個(gè)短端設(shè)置了5個(gè)門。在每個(gè)門口對(duì)一組受試者進(jìn)行分組，并單獨(dú)指示穿過(guò)區(qū)域前往另一端的特定門。作者報(bào)告了五種“情景”的演變。在第一種情況下，受試者被指示直接走到另一側(cè)相同編號(hào)的門；在隨后的場(chǎng)景中，他們被分配了越來(lái)越多的斜路徑。以下是t=4、8、12和18的劇照，取自一段22秒的場(chǎng)景1和5并列視頻。

下面兩張靜態(tài)照片，每張都顯示兩組人（一組藍(lán)色，一組紅色）正朝著彼此走去。

藍(lán)色和紅色的人群現(xiàn)在混合在一起。在左側(cè)靜態(tài)照片中，他們形成了紅藍(lán)色的人行路線，而右側(cè)靜態(tài)照片則更加雜亂無(wú)章。

在左側(cè)靜態(tài)照片中，紅色和藍(lán)色的人群大部分已經(jīng)互相穿過(guò)。在右側(cè)靜態(tài)照片中，他們?nèi)匀换旌显谝黄稹?/p>

左側(cè)的人群仍然已經(jīng)穿過(guò)了人行路線，但右側(cè)仍留下一些行人。

在第一個(gè)和第五個(gè)場(chǎng)景中以相同的時(shí)間戳拍攝的靜止圖像。在場(chǎng)景1中，參與者被指示直接向前走。在后來(lái)的場(chǎng)景中，他們朝著越來(lái)越斜的方向行走。在視頻處理中，受試者被用紅色或藍(lán)色的圓盤來(lái)識(shí)別，這取決于他們來(lái)自哪一端。請(qǐng)注意，到最后一個(gè)時(shí)間戳?xí)r，場(chǎng)景1已經(jīng)完成，而場(chǎng)景5中的參與者仍在行走。PNAS 122（14）e2420697122中補(bǔ)充電影S1的劇照。在CC by 4.0許可證下使用。

圖源：研究人員提供

當(dāng)兩條路徑彼此成一個(gè)小角度時(shí)，作者觀察到一些人行路線，但有一個(gè)臨界角度，超過(guò)這個(gè)角度它就會(huì)消失。

他們的理論分析支持了這一觀察。作者假設(shè)所有“代理人”（智能體）都以相同的速度移動(dòng)，并分析了ρθ：具有首選方向θ的“代理人”的空間密度。ρθ隨位置和時(shí)間而變化。他們對(duì)ρθ推導(dǎo)出一個(gè)偏微分方程，并探索其解的穩(wěn)定性。他們確定一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)是方向分布的標(biāo)準(zhǔn)差γ：如果γ大于大約13°，則無(wú)序狀態(tài)是穩(wěn)定的。如果γ小于這個(gè)臨界角，則無(wú)序狀態(tài)不穩(wěn)定，并坍縮為以人行路線為特征的有序狀態(tài)。

2. 實(shí)體數(shù)學(xué)和無(wú)實(shí)體數(shù)學(xué)

具體與抽象、舉例與概括之間的創(chuàng)造性張力是數(shù)學(xué)家熟悉的話題。Danyal Farsani（挪威科技大學(xué)，特隆赫姆）和Omid Khatin-Zadeh（中國(guó)電子科技大學(xué)，成都）在2月19日的一篇文章中探討了數(shù)學(xué)教育的意義。https://www.frontiersin.org/journals/education/articles/10.3389/feduc.2025.1528755/full 他們區(qū)分了兩種數(shù)學(xué)教育方法。

第一種更傳統(tǒng)，使用“抽象符號(hào)和數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)的抽象表示”。他們稱這種方法為無(wú)實(shí)體的。它與實(shí)體方法形成鮮明對(duì)比，后者是參與“數(shù)學(xué)概念以身體運(yùn)動(dòng)或世界上其他物理材料表示”的過(guò)程的日益增長(zhǎng)的趨勢(shì)。

Farsani和Khatin-Zadeh引用了許多參考資料，表明從無(wú)實(shí)體到有實(shí)體的轉(zhuǎn)變解決了數(shù)學(xué)教育中的許多問(wèn)題。向?qū)W生展示有形且易于理解的概念，用作者的話來(lái)說(shuō)，使主題“更容易消化”。他們給出的一個(gè)很好的例子是微積分中導(dǎo)數(shù)的表示為曲線的斜率。導(dǎo)數(shù)作為比率極限的正式定義是無(wú)實(shí)體的，并且更難掌握。

但作者也觀察到，數(shù)學(xué)的某些重要方面是具體方法無(wú)法觸及的，而且在教育中過(guò)分強(qiáng)調(diào)具體的例子實(shí)際上可能會(huì)削弱數(shù)學(xué)思想。

他們的主要例子來(lái)自代數(shù)。有限群的概念可以以實(shí)體的方式傳遞。沒(méi)有給出示例，但他們可能想到了通過(guò)操縱材料模型來(lái)說(shuō)明多面體的對(duì)稱群，或者通過(guò)在黑板上寫出完整的乘法表來(lái)表示一個(gè)小的有限群。另一方面，兩個(gè)群之間的同構(gòu)性的重要概念更加抽象。

正如他們所說(shuō)，矩陣可以與幾何對(duì)象的對(duì)稱性同構(gòu)。它們每一個(gè)都可以以實(shí)體的方式呈現(xiàn)，但“它們之間沒(méi)有容易觀察到的相似之處”。同構(gòu)沒(méi)有感覺(jué)運(yùn)動(dòng)特征，它是一種純粹的心理結(jié)構(gòu)，但它是理解群的重要組成部分。

作者繼續(xù)推導(dǎo)出他們論點(diǎn)的教學(xué)后果：“這兩種模式都需要以均衡的方式并行強(qiáng)調(diào)。他們沒(méi)有給出如何實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的具體細(xì)節(jié)，但他們指出，目前這種良好的平衡“在我們的數(shù)學(xué)教育計(jì)劃中沒(méi)有觀察到（至少在伊朗、英國(guó)、智利、巴西、挪威和中國(guó)沒(méi)有）。

這次討論中缺少了對(duì)學(xué)習(xí)方式因?qū)W生而異的事實(shí)承認(rèn)。正如數(shù)學(xué)家所知道的那樣，拓?fù)鋵W(xué)家的“實(shí)體”內(nèi)容對(duì)分析學(xué)家來(lái)說(shuō)可能看起來(lái)非常抽象，反之亦然。分析學(xué)家可以查看一個(gè)包含長(zhǎng)序列項(xiàng)的方程，并“看到”將哪些項(xiàng)分組以證明所需的不等式；拓?fù)鋵W(xué)家可以查看一個(gè)結(jié)的兩個(gè)截然不同的投影，并“看到”如何操縱一個(gè)投影以匹配另一個(gè)投影。

這些心理觀點(diǎn)的差異可能不僅僅是訓(xùn)練的結(jié)果，而且很可能是最初促使選擇子學(xué)科的原因。可追溯到 Stanislas Dehaene https://www.science.org/doi/10.1126/science.284.5416.970 及其合作者的大量研究表明，大腦的不同部分參與計(jì)算的不同方面；我的感覺(jué)是，不同的孩子以不同的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是完全合理的，而理想的數(shù)學(xué)教育將利用這些差異為每個(gè)學(xué)生提供最好的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。

瑪麗蓮·伯恩斯（Marilyn Burns）的《大聰明的數(shù)學(xué)》（Math for Smarty Pants）https://archive.org/details/MathForSmartyPants-English-MarilynBurns/page/n113/mode/2up （利特爾·布朗出版社青少部，1982年）是一本非學(xué)術(shù)性但非常吸引人的書，擴(kuò)展了多元數(shù)學(xué)智能的概念，https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-mi1 包括邏輯、空間和語(yǔ)言；雖然它是針對(duì)年輕人的，但教師可以將其閱讀為建議了多種方法來(lái)接觸各種學(xué)生。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-march-2025/

https://www.nature.com/articles/ncomms15969

https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2420697122

https://www.frontiersin.org/journals/education/articles/10.3389/feduc.2025.1528755/full

https://www.science.org/doi/10.1126/science.284.5416.970

https://archive.org/details/MathForSmartyPants-English-MarilynBurns/page/n113/mode/2up

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-mi1

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