去年七月份的時(shí)候，羅羅姐找我?guī)退匆幌滦录悠聰?shù)學(xué)的線上課怎么樣，因?yàn)樗f(shuō)自己數(shù)學(xué)屬于會(huì)做題但完全不會(huì)教的那種，看了很多啟蒙課程也不知道自己如何下手帶。其實(shí)小七的數(shù)學(xué)啟蒙做的算不錯(cuò)了，在《》這篇里我也明確指出，羅羅姐當(dāng)時(shí)的不淡定，是她的問(wèn)題，不是小七的問(wèn)題。但因?yàn)樾∑叩脑缙诜e累確實(shí)還不錯(cuò)，我覺(jué)得他將近五歲時(shí)跟著系統(tǒng)的課程進(jìn)行學(xué)習(xí)，也不算特別早，所以羅羅姐讓我?guī)退疾煺n程給小七選課，我就認(rèn)真去看了新加坡數(shù)學(xué)K2和一年級(jí)的課程體系，當(dāng)時(shí)主要是看的各知識(shí)點(diǎn)講解的上課錄屏，以及全部的配套練習(xí)冊(cè)。

研究了一段時(shí)間后，我給她的建議是，新加坡數(shù)學(xué)的課程體系和CPA教學(xué)法都沒(méi)問(wèn)題，雖然也會(huì)有動(dòng)畫引入知識(shí)點(diǎn)，但依賴動(dòng)畫的教學(xué)并不是特別多，小七可以上。只是上課時(shí)一定要觀察孩子的狀態(tài)，千萬(wàn)不要把孩子扔給屏幕就不管了，別說(shuō)小七那么大的孩子，即使學(xué)齡后大孩子，多數(shù)孩子如果沒(méi)有家長(zhǎng)看著，線上課也會(huì)習(xí)慣性走神，吃吃玩玩的，效果也不好。

我對(duì)新加坡數(shù)學(xué)的CPA教學(xué)法一直比較推薦，是基于專業(yè)上的積累。新版課標(biāo)推出后，我也一直積極參加各類相關(guān)培訓(xùn)，了解咱們國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教學(xué)的最新趨勢(shì)，也經(jīng)常和老師們一起教研學(xué)習(xí)，以期把更好的數(shù)學(xué)課堂帶給孩子們。

給大家舉個(gè)具體的例子：

前段時(shí)間，我聽四年級(jí)老師的數(shù)學(xué)課，正好在講乘法分配律，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是孩子四年級(jí)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)便運(yùn)算過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)，在接觸分配律之前，孩子能夠非常熟練的使用交換律和結(jié)合律，會(huì)覺(jué)得簡(jiǎn)便運(yùn)算很簡(jiǎn)單，學(xué)習(xí)分配律之后就全亂了，連之前掌握的運(yùn)算律也不能很好的使用了。

這是由多種原因造成的，首先是孩子通過(guò)各種定律的表面形式，通過(guò)背誦公式進(jìn)行記憶，容易把分配律的公式和乘法結(jié)合律的公式混淆；然后是孩子們單純的背誦公式，卻沒(méi)有真正理解這一定律的意義，比如3×25＋7×25＝（3＋7）×25，其實(shí)就是3個(gè)25加7個(gè)25就是10個(gè)25，如果孩子想乘法的含義，就很好理解；還有很重要的一點(diǎn)是乘法分配律的變式題目太多，根本沒(méi)法直接套公式，必須真正的理解才能舉一反三，比如13×99，45×102，算式 □×(△+○) = 56，如果已知 □×△ = 32，那么 □×○ = ?等。

當(dāng)時(shí)授課的老師是完全按照課本的編排授課的，對(duì)于課本上相關(guān)知識(shí)的呈現(xiàn)沒(méi)有任何問(wèn)題，但聽課過(guò)程中我一直在思考，這樣一節(jié)課講下來(lái)，孩子能真正理解乘法分配律嗎，再做那些變式練習(xí)題能輕松面對(duì)嗎？

課后我們幾位數(shù)學(xué)老師也在一起進(jìn)行了教研，如果單純按照課本編排，通過(guò)一道例題總結(jié)出形式，然后用文字和字母加以形式上的概括，之后進(jìn)行練習(xí)鞏固，是否可以幫助孩子更好的理解乘法分配律，能否幫助孩子突破這個(gè)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。

答案肯定是否定的。我自己也在邊查詢資料邊思考，有什么好辦法呢？

如果加入面積模型，讓孩子在方格紙上涂涂色，在點(diǎn)子圖上圈一圈，通過(guò)面積模型數(shù)形結(jié)合來(lái)學(xué)習(xí)乘法分配律，他們是否就更好理解此定律的本質(zhì)了。我們?cè)诤罄m(xù)班級(jí)上這節(jié)課時(shí)加入了面積模型，孩子果然理解的更加深刻了，不再單純依賴背誦公式。

其實(shí)2022版新課標(biāo)中關(guān)于乘法分配律就明確提出了學(xué)生不僅要記住公式，還要理解其背后的數(shù)學(xué)原理，例如通過(guò)具體的實(shí)例或圖形模型來(lái)解釋為什么分配律成立。只是新課標(biāo)頒布后，我們的教材改版還沒(méi)跟上，教師培訓(xùn)還沒(méi)全面覆蓋，教師理念的更新也需要時(shí)間，才會(huì)出現(xiàn)目前這種情況。而我在咱公號(hào)做分享七年了，可能也是希望以自己微薄的力量，讓更多朋友早點(diǎn)兒知道數(shù)學(xué)教育的大趨勢(shì)。

說(shuō)回新加坡數(shù)學(xué)。

我愿意幫羅羅姐研究各種數(shù)學(xué)課程和書籍，也是因?yàn)樨S富的資源可以幫我驗(yàn)證和優(yōu)化教學(xué)。比如和同事討論后，去查看新加坡數(shù)學(xué)網(wǎng)課中關(guān)于乘法分配律的授課方法，發(fā)現(xiàn)也是借助了面積模型便于孩子理解其含義：

其實(shí)新加坡數(shù)學(xué)所倡導(dǎo)的CPA教學(xué)法，與我們新課標(biāo)中的很多理念，如學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程等有相似之處。

關(guān)于CPA教學(xué)法的優(yōu)勢(shì)，我在之前的文章中和大家具體介紹過(guò)，就不再贅述了，可以翻看之前的文章做了解《》。

當(dāng)時(shí)幫小七看數(shù)學(xué)課時(shí)，我主要是看了K2和一年級(jí)的課程。前些日子羅羅姐說(shuō)大家有需求，希望我把各個(gè)年級(jí)的課程都研究一下，像之前的練習(xí)冊(cè)一樣，給大家一些專業(yè)的建議。我系統(tǒng)地聽了一段時(shí)間的新加坡數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課程，結(jié)合羅羅姐轉(zhuǎn)來(lái)的一些問(wèn)題和我自己的感受，從數(shù)學(xué)老師的專業(yè)角度展開和大家聊一聊他們的網(wǎng)絡(luò)課程。

一、CPA教學(xué)法：

橫向遞進(jìn)與縱向深化的雙重建構(gòu)

新加坡數(shù)學(xué)的靈魂在于CPA（Concrete-Pictorial-Abstract，具象-圖像-抽象）教學(xué)法，我聽了從低到高不同年級(jí)的課，發(fā)現(xiàn)這一理念在線上課程中體現(xiàn)在橫向單課閉環(huán)與縱向年級(jí)進(jìn)階中。

我們來(lái)看幾個(gè)不同年級(jí)的例子吧：

1.先來(lái)看一年級(jí)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)會(huì)遇到的一個(gè)難點(diǎn)，排隊(duì)問(wèn)題，教過(guò)一年級(jí)的老師都知道這是個(gè)難點(diǎn)。從左邊數(shù)是第6，從右邊數(shù)是第5，一共有幾人？

孩子總是習(xí)慣性的用6+5進(jìn)行計(jì)算，但畫出圖就能很清晰的看出這樣做的話，中間的人計(jì)算了兩次。

新加坡數(shù)學(xué)在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，就是引入了畫圖的方法，讓孩子更直觀地通過(guò)看圖，找到解決問(wèn)題的方法。

針對(duì)這類問(wèn)題，也做到了難度的遞進(jìn)，后續(xù)問(wèn)題中涉及到了兩種不同物體交叉排列的情況。

這種難度的題目已經(jīng)超出課本基礎(chǔ)，在校內(nèi)孩子是不會(huì)遇到的，屬于基于校內(nèi)知識(shí)點(diǎn)的拓展。

2.差倍問(wèn)題是孩子中年級(jí)學(xué)習(xí)中會(huì)遇到的一類非常典型的問(wèn)題。許多課外班教學(xué)時(shí)，會(huì)讓學(xué)生記憶解決這類問(wèn)題的公式，而新加坡數(shù)學(xué)則是先通過(guò)畫圖幫學(xué)生梳理題意，找到數(shù)量關(guān)系，再總結(jié)歸納方法。

同時(shí)大家可以看到，解決這道題的過(guò)程中，采用了畫條形圖的方法，這也是從低年級(jí)的實(shí)物圖向高年級(jí)的線段圖過(guò)度的中間階段。

學(xué)生通過(guò)條形圖，理解了題目中的數(shù)量關(guān)系，再總結(jié)出做題方法，這也是一位有經(jīng)驗(yàn)的校內(nèi)老師的處理方法，既理解了這樣做的原因，也總結(jié)了快速解決這類題目的方法。

3.高年級(jí)我們看一道幾何領(lǐng)域的題目吧，三角形的倍積模型。解決這類題目時(shí)，孩子已經(jīng)熟練掌握了三角形的面積計(jì)算方法，能直接通過(guò)計(jì)算解決，就不再需要繁瑣的畫圖過(guò)程了，這也是從之前幾年具象和圖像的積累過(guò)度而來(lái)。

在解決幾何領(lǐng)域的問(wèn)題時(shí)，多媒體的優(yōu)勢(shì)也會(huì)凸顯出來(lái)。借助視頻演繹，圖形的變換更加直觀，孩子能夠更加清晰的看到每一步變化的由來(lái)，比傳統(tǒng)的授課方式更便于理解。

一直關(guān)注咱們公號(hào)的朋友可否有印象，這道題目和上學(xué)期北京海淀區(qū)的期末試卷中的壓軸題是一個(gè)類型。

通過(guò)上面的幾個(gè)例子，不難看出，新加坡數(shù)學(xué)不僅在單一知識(shí)點(diǎn)講解時(shí)關(guān)注到CPA這樣一個(gè)過(guò)程，縱向來(lái)看，整個(gè)課程的設(shè)計(jì)中，學(xué)前和低年級(jí)孩子處于前運(yùn)算階段，主要以具象化學(xué)習(xí)為主；中高年級(jí)孩子處于具體運(yùn)算階段，以形象化學(xué)習(xí)為主，并最終過(guò)度到抽象化學(xué)習(xí)。

二、難度分級(jí)：

根據(jù)孩子情況理性選擇

因?yàn)樾录悠聰?shù)學(xué)的課程類型較多，我自己也是看了幾個(gè)不同的課，通過(guò)對(duì)比，才捋清楚它們之間的關(guān)系，我覺(jué)得重點(diǎn)需要關(guān)注兩大維度：

01

語(yǔ)言難度：警惕目標(biāo)混淆陷阱

我們首先要明白選擇新加坡數(shù)學(xué)的核心是為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，千萬(wàn)不要為了學(xué)英語(yǔ)而報(bào)數(shù)學(xué)課。

如果孩子英語(yǔ)基礎(chǔ)僅為校內(nèi)普娃水平，那就聚焦純數(shù)學(xué)思維，中文班就是最合適的，全英班對(duì)孩子的英語(yǔ)水平要求很高，如果孩子在面對(duì)一道數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，同時(shí)還要面對(duì)語(yǔ)言解碼的雙重負(fù)擔(dān)，那他很可能在數(shù)學(xué)思考和語(yǔ)言理解之間徘徊，難以專注于數(shù)學(xué)邏輯本身，這樣不僅數(shù)學(xué)學(xué)不好，英語(yǔ)也進(jìn)步有限。

比如七月份我看完課后跟羅羅姐說(shuō)，從數(shù)學(xué)角度小七可以上，羅羅姐八月份就給小七試聽并安排了全英班。小七當(dāng)時(shí)是可以聽橋梁書的聽力水平，但七八月學(xué)自然拼讀階段，一直在讀簡(jiǎn)單書升級(jí)，聽力基本沒(méi)進(jìn)步，八月開始上課后，就屬于題能看懂也會(huì)做，但老師全英授課，他面臨了數(shù)學(xué)思維和語(yǔ)言解碼的雙重負(fù)擔(dān)，并不能完全適應(yīng)，上課經(jīng)常不專注。于是就呈現(xiàn)出了羅羅姐所抱怨的他不聽課只做題的狀態(tài)。和小七一起上課的他幼兒園同學(xué)，上的雙語(yǔ)班，一直堅(jiān)持了下來(lái)；而羅羅姐覺(jué)得小七年紀(jì)小，數(shù)學(xué)課也不著急，先繼續(xù)英語(yǔ)拉聽說(shuō)，等新學(xué)年再上全英班。

總之，不要指望一堂課又學(xué)數(shù)學(xué)又學(xué)英語(yǔ)。全英班只適合英語(yǔ)水平已經(jīng)到幾乎母語(yǔ)水平的孩子，上數(shù)學(xué)課不是讓孩子學(xué)英語(yǔ)的，是在上課時(shí)聽說(shuō)運(yùn)用，在實(shí)踐中感受英語(yǔ)工具屬性的。所以，在選擇課程時(shí)，家長(zhǎng)一定要結(jié)合孩子的實(shí)際情況，理性分析，不要盲目跟風(fēng)。畢竟，適合孩子的才是最好的。

02

題目難度：跳一跳夠得著最好

這套網(wǎng)課和之前那套練習(xí)冊(cè)的設(shè)計(jì)理念還是有所不同的，之前那套練習(xí)冊(cè)相對(duì)更基礎(chǔ)，我也只推薦普娃使用，但這套網(wǎng)課的難度分級(jí)做得很好，課程上分了培優(yōu)班和競(jìng)賽班，同一節(jié)課中的知識(shí)難度也是由易到難，螺旋上升，這樣一來(lái)，不同程度的孩子就能從同樣的課中取得不同的發(fā)展。

對(duì)于大部分孩子來(lái)說(shuō)，我還是建議先從培優(yōu)班開始嘗試，課程中針對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，題目難度的設(shè)置通常是分四個(gè)等級(jí)，我們以面積的變式練習(xí)為例，具體來(lái)看看難度等級(jí)的劃分。

L1，L2：根據(jù)已知信息計(jì)算長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)和寬求面積，這是公式的直接利用；

L3，L4：建立起長(zhǎng)方形和正方形的聯(lián)系，如周長(zhǎng)相同或面積相同，再根據(jù)已知信息求另一個(gè)圖形的相關(guān)要素。

其中L1、L2就相當(dāng)于課本中的基礎(chǔ)題目，是必須掌握的，L3、L4已經(jīng)是培優(yōu)等級(jí)了，高于課本基礎(chǔ)。面對(duì)這一難度等級(jí)的題目，如果孩子在聽懂后獨(dú)立完成練習(xí)時(shí)，正確率能持續(xù)達(dá)到80%，注意一定是獨(dú)立完成，且持續(xù)多次啊，我覺(jué)得就可以考慮嘗試競(jìng)賽難度的課程了。

當(dāng)然，我們也不能盲目追求難度，一股腦兒地讓孩子去挑戰(zhàn)高難度題目，這樣很可能會(huì)打擊孩子的學(xué)習(xí)積極性，甚至產(chǎn)生畏難情緒。所以，在嘗試競(jìng)賽難度的課程前，家長(zhǎng)還需要和孩子進(jìn)行充分的溝通，了解孩子的意愿和信心程度。

總的來(lái)說(shuō)，任何課程難度的選擇，家長(zhǎng)都需要根據(jù)孩子的實(shí)際情況理性選擇，既要避免過(guò)于簡(jiǎn)單導(dǎo)致孩子缺乏挑戰(zhàn)，也要防止難度過(guò)高讓孩子產(chǎn)生挫敗感。只有在合適的難度下，孩子才能取得最佳的學(xué)習(xí)效果，真正享受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

三、理性看待網(wǎng)課：

線上課程是校內(nèi)學(xué)習(xí)的補(bǔ)充而非替代

無(wú)論選擇哪種數(shù)學(xué)課程，其核心目的都是幫助孩子建立扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，培養(yǎng)他們的邏輯思維和解決問(wèn)題的能力。而網(wǎng)絡(luò)課程作為教育的一種新興形式，為我們提供了更多的學(xué)習(xí)資源和選擇空間，但網(wǎng)課不能替代傳統(tǒng)的線下教育。

網(wǎng)課期間，我也做過(guò)幾年的十八線女主播，深深體會(huì)到線下教育中的師生互動(dòng)、同學(xué)間的交流合作，以及學(xué)校提供的豐富多樣的實(shí)踐活動(dòng)，都是網(wǎng)課難以完全復(fù)制的。

因此，在選擇網(wǎng)課時(shí)，我們需要理性看待，明確其定位，將其作為線下教育的一個(gè)有益補(bǔ)充而非替代。只有這樣，我們才能真正實(shí)現(xiàn)教育的多元化和個(gè)性化，為孩子們的未來(lái)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

新加坡數(shù)學(xué)課，是我為了給小七選而拜托小周老師研究的。

小周老師對(duì)課程的大綱以及授課節(jié)奏都比較認(rèn)可，我對(duì)小七計(jì)算的引導(dǎo)完全不得法時(shí)，她就建議我直接跟課走。

最好結(jié)果當(dāng)然是順暢的跟課走，可上了沒(méi)幾節(jié)課，因?yàn)樾∑弋?dāng)時(shí)的英語(yǔ)聽說(shuō)能力并沒(méi)有完全準(zhǔn)備好而暫時(shí)停課了。

但小七那會(huì)兒上課的打卡，給督導(dǎo)晴晴種了草，那是小周鑒定可以上的課程嘛，我就建議大七去試試。結(jié)果，一年級(jí)的大七，呈現(xiàn)出了我最想要的學(xué)習(xí)狀態(tài)。他聽力穩(wěn)定初章以上了，可以輕松聽明白老師講的步驟，因?yàn)闆](méi)上過(guò)任何線上線下的外教課，純聽音頻啟蒙的，所以前三節(jié)課還不怎么輸出，后面就穩(wěn)定輸出，拿英語(yǔ)積極和老師互動(dòng)了。大七媽跟我說(shuō)，課程設(shè)置很合理，根據(jù)孩子程度推送題目，學(xué)習(xí)效率很高，即使沒(méi)有英文版，就只有中文班，能讓大七對(duì)學(xué)數(shù)學(xué)有那么大的熱情，這個(gè)課她也愿意上。

因?yàn)榇笃邒尨蚩〞r(shí)描述的大七的狀態(tài)，以及聊天時(shí)她對(duì)新加坡數(shù)學(xué)課發(fā)自內(nèi)心的喜歡，學(xué)習(xí)群想報(bào)這個(gè)課的朋友非常多。但這個(gè)課到底適合哪個(gè)年齡段的孩子上，適合什么程度的孩子上，這些問(wèn)題大家甩出來(lái)時(shí)，我們也完全不專業(yè)，即使我算很用心的媽媽，即使大七媽是小學(xué)英語(yǔ)老師，沒(méi)有對(duì)各年級(jí)校內(nèi)教學(xué)節(jié)奏的充分了解，沒(méi)有意愿實(shí)打?qū)嵒〞r(shí)間一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)去研究新加坡數(shù)學(xué)課程的耐心和能力，真的也回答不了這些問(wèn)題。于是我就去求助小周老師，希望她整體研究下各年級(jí)課程，看大家是否值得上這個(gè)課。

現(xiàn)在關(guān)于新加坡數(shù)學(xué)課程本身小周老師介紹完了，是不是值得上，什么程度的孩子適合什么級(jí)別的課程，在群中所有參與試課和討論過(guò)程的朋友，都有更明確的結(jié)論。清明假期后，我邀請(qǐng)大七媽媽一起，從用戶角度，結(jié)合大家的具體問(wèn)題來(lái)做個(gè)總結(jié)。節(jié)后見。

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