函數(shù)y=ln(18x+29)+ln(15-42x)的性質(zhì)歸納

主要內(nèi)容：

本文通過導(dǎo)數(shù)知識解析函數(shù)y=ln(18x+29)+ln(15-42x)單調(diào)性和凸凹性，并通過函數(shù)的定義域、單調(diào)性、凸凹性等性質(zhì)。

※.函數(shù)的定義域

根據(jù)函數(shù)特征，函數(shù)自變量出現(xiàn)在對數(shù)函數(shù)中，則有對數(shù)的真數(shù)部分為正數(shù)，即有不等式組：

18x+29＞0且15-42x＞0，

由18x+29＞0求出，x＞-29/18，

由15-42x＞0求出，x＜5/14.

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?-29/18, 5/14).

※.函數(shù)的單調(diào)性

本處以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來解析其單調(diào)性，并計(jì)算單調(diào)區(qū)間，具體過程如下：

y=ln(18x+29)+ln(15-42x)

y'=18/(18x+29)+(-42)/(15-42x)

=[18(15-42x)-42(18x+29)]/[(18x+29)(15-42x)],

=-(1512x+948)/[(18x+29)(15-42x)].

令y'=0，則1512x+948=0，此時(shí)x=79/126≈-0.63，即：

1.當(dāng)x∈(-29/18, 79/126)時(shí)，y'＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；

2.當(dāng)x∈[79/126，5/14)時(shí)，y'＜0，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)。

※.函數(shù)的凸凹性

繼續(xù)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，有：

y''=-[1512*(18x+29)(15-42x)-(1512x+948)(270-756x-756x-1218)]/[(18x+29)(15-42x)]2

=-[1512*(18x+29)(15-42x)+(1512x+948)2]/[(18x+29)(15-42x)]2

=-[-2*7562x2-1512*948x+1512*435+(1512)2x2+1512*948x+(948)2]/[(18x+29)(15-42x)]2

=-[2*(756)2x2+1512*435+(948)2]/[(18x+29)(15-42x)]2。

可知y''＜0，所以函數(shù)y在定義區(qū)間上為凸函數(shù)。