女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

平面密鋪，特別是周期性密鋪，可以作為穿珠編織圖案的基礎(chǔ)，稱為斜紋編織。我們描述了特定的方法來創(chuàng)建復(fù)雜而美麗的斜紋編織從周期性的拼塊，通過放置珠子或附近的頂點(diǎn)或邊緣的拼塊和編織在一起的線。我們還介紹了星形拼接的概念及其相關(guān)的斜紋編織。我們將創(chuàng)建的斜紋編織組織成幾個(gè)類，并探索它們之間的一些關(guān)系。然后，我們使用結(jié)果來設(shè)計(jì)許多分層圖案的插圖。最后，我們證明了每一個(gè)正常的拼塊都會(huì)產(chǎn)生斜紋編織，為進(jìn)一步探索提供了很多機(jī)會(huì)。

1.介紹

穿珠編織者通過用針線連接珠子(任何有孔的物體)來創(chuàng)造各種各樣的設(shè)計(jì)，包括類似機(jī)器織物的平織(圖1)。由像罌粟籽一樣小的珠子(因此被稱為種子珠)制成的串珠織物通常用于制作珠寶，尤其是手鐲和項(xiàng)鏈。出于美觀和實(shí)用的原因，串珠織物通常設(shè)計(jì)有圖案，該圖案可以重復(fù)以視覺上吸引人的方式覆蓋任意大的區(qū)域。這與平面密鋪的數(shù)學(xué)理論有著天然的聯(lián)系。然而，雖然藝術(shù)家和數(shù)學(xué)家已經(jīng)研究了幾個(gè)世紀(jì)，但相對來說，很少有人用作珠飾設(shè)計(jì)。在本文中，我們將探索從平面周期性多邊形密鋪中產(chǎn)生的串珠圖案(我們稱之為斜紋編織)，并表明這僅僅是數(shù)學(xué)密鋪中所有可能的串珠設(shè)計(jì)的冰山一角。

在第二部分，我們將回顧密鋪的數(shù)學(xué)理論的思想和符號。我們還將介紹星形密鋪的新概念。在第3、4和5節(jié)中，我們將繼續(xù)探索一些可以從多邊形密鋪中獲得的復(fù)雜而美麗的串珠圖案，并提供一些例子和插圖。我們對創(chuàng)建這些圖案的不同方法進(jìn)行了分類，并探討了它們之間的一些關(guān)系。在第六節(jié)中，我們將證明無限類的密鋪，即規(guī)則密鋪，可以作為斜紋編織的基礎(chǔ)，這為將來更多的探索和研究提供了機(jī)會(huì)。

2. 平面密鋪

在本節(jié)中，我們將簡要回顧密鋪數(shù)學(xué)理論中的定義和符號；欲了解更多信息，請參考Grunbaum和Shephard[11]以及Kaplan [12]的著作。我們還將介紹星形密鋪的概念。它將是我們許多串珠圖案的來源。

2.1.正常的多邊形密鋪

平面密鋪是用有限的拼塊覆蓋平面的任何方式，使得沒有間隙并且沒有兩個(gè)拼塊重疊。拼塊僅在孤立點(diǎn)(三個(gè)或更多拼塊相交的地方)或弧線(兩個(gè)拼塊相交的地方)相交。這些點(diǎn)和弧將分別稱為密鋪的頂點(diǎn)和邊。單個(gè)拼塊的邊界被分成這些邊和頂點(diǎn)的序列，這些邊和頂點(diǎn)也被稱為拼塊的頂點(diǎn)和邊。如果有可能用平行四邊形的網(wǎng)格覆蓋一個(gè)密鋪，使得每個(gè)平行四邊形內(nèi)部的圖案是相同的，那么這個(gè)密鋪就是周期性的。一個(gè)平行四邊形內(nèi)的密鋪塊稱為平移單元，它可以通過定義網(wǎng)格的向量的重復(fù)平移來重建整個(gè)圖案。我們主要對單個(gè)拼塊是多邊形的密鋪感興趣，因?yàn)檫@是我們可以用珠子編織的密鋪。一般來說，多邊形的邊和角不必與密鋪的邊和頂點(diǎn)相對應(yīng)(例如，見[11，圖1.1.4])。然而，在本文中，我們將關(guān)注邊對邊的多邊形密鋪，其中拼塊的邊對應(yīng)于多邊形的邊，頂點(diǎn)對應(yīng)于角。為此，我們將在討論中交替使用術(shù)語“邊”和“側(cè)”(以及“頂點(diǎn)”和“角”)。圖2顯示了周期性多邊形密鋪的三個(gè)例子，圓形(代表珠子)放置在每個(gè)邊的中點(diǎn)。

圖1：基于平面重復(fù)密鋪的平面編織（自上而下順時(shí)針方向）：只有頂點(diǎn)珠的 "雪花之星"編織法、超級 RAW 編織法、六角形斜紋編織法和只有頂點(diǎn)珠的阿基米德星編織法（另見跨邊緣編織法部分）。

我們需要為我們的密鋪圖添加另一個(gè)技術(shù)限制。如圖 3 所示，考慮一個(gè)無限嵌套的相似多邊形集合，并添加額外的邊來連接多邊形的相應(yīng)頂點(diǎn)。那么，包含奇異點(diǎn)的局部就包含了無限多的邊和頂點(diǎn)。由于我們將通過在邊和頂點(diǎn)上縫合珠子來進(jìn)行斜紋編織，因此這是一個(gè)問題！

圖3：不是局部有限的密鋪。

另一個(gè)問題出現(xiàn)在拼塊有孔（如圖 4（左））或兩個(gè)拼塊在不相交的弧線上接觸（如圖 4（右））的情況。在第一種情況下，串珠織物會(huì)直接散開；在第二種情況下，編織時(shí)圖案的一部分會(huì)脫離其余部分。

圖4：一種密鋪，其拼塊不是簡單連接的，而是在兩條不相交的邊上接觸的拼塊。

為了避免這些問題，我們只討論正常拼塊[11，第 3.2 節(jié)]。如果（1）每個(gè)拼塊都是拓?fù)鋱A盤（即它沒有孔，如圖 4（左），且環(huán)繞其外側(cè)的環(huán)不相交），（2）每兩個(gè)拼塊的交點(diǎn)都是一個(gè)連集（因此拼塊不能在兩條或兩條以上不相交的邊上相碰，如圖 4（右）），（3）拼塊是均勻有界的（拼塊有最小和最大尺寸，與圖 3 不同），那么這個(gè)拼塊就是正常的。在本文中，"密鋪 "一詞僅指正常的多邊形密鋪，通常是周期性密鋪。

2.2. 正則密鋪、阿基米德密鋪和對偶密鋪

密鋪法頂點(diǎn)的價(jià)數(shù)是與該頂點(diǎn)相交的邊的數(shù)目或與該頂點(diǎn)相交的拼塊的數(shù)目（對于正則表達(dá)式密鋪法而言，這兩個(gè)值是等價(jià)的）。在所有拼塊都是正多邊形的拼塊法中，頂點(diǎn)的類型是以頂點(diǎn)為中心循環(huán)列出的與頂點(diǎn)相鄰的拼塊的邊數(shù)。因此，如果一個(gè)頂點(diǎn)與 n1、n2......、nk邊數(shù)的拼塊相連，那么它的類型就由符號 n1·n2·n3 ... nk 表示。由于有很多方法可以做到這一點(diǎn)（取決于我們從哪塊拼塊開始，以及我們繞頂點(diǎn)的方向），標(biāo)準(zhǔn)的做法是取所有可能性中在詞典圖形上排在第一位的符號。我們使用指數(shù)符號來表示一個(gè)圖形連續(xù)重復(fù)了幾次；例如，3·12·12 也可以寫成 3·12^2。如果一個(gè)平面圖的所有頂點(diǎn)都是同一類型，我們用 (n1·n2·n3 ... nk) 表示該平面圖；這種平面圖稱為阿基米德平面圖，共有 11 個(gè) [11, 第 2.1 節(jié)]。其中包括 (3^6)、(4^4 ) 和 (6^3 ) 正則密鋪，它們都是p^r形式的密鋪圖（圖 2）。有 k 個(gè)頂點(diǎn)類型的密鋪，即任何頂點(diǎn)都可以通過密鋪的對稱性指向相同類型的任何其他頂點(diǎn)，稱為 k-uniform 密鋪，用符號表示為 (a1·b1·c1 ...; a2·b2·c2 ...;...; ak·bk·ck ...) 。

給定一個(gè)由正多邊形組成的密鋪圖 T，我們在T的每個(gè)密鋪圖中心放置一個(gè)頂點(diǎn)，并用垂直于 T 邊的邊連接頂點(diǎn)，從而定義它的對偶密鋪圖 T*（例如，見 [12, 第 4.2 節(jié)]）。例如，圖 5 顯示 (4^4 ) 的對偶密鋪是 (4^4 )（因此這個(gè)密鋪是對偶的），而 (6^3 ) 的對偶瓦形是 (3^6)（反之亦然）。

圖 5：密鋪圖 4^4 和 6^3 及其對偶密鋪圖（用虛線表示）。

阿基米德密鋪的對偶是11個(gè)拉維斯密鋪[12，第4.2節(jié)]。由于阿基米德密鋪的拼塊是正多邊形，因此拉維斯密鋪的頂點(diǎn)也是正多邊形，這意味著如果v條邊在頂點(diǎn)相交，則任意兩條連續(xù)邊之間的角度是360°/v。我們用對偶阿基米德密鋪的符號來表示每個(gè)拉維斯密鋪。

2.3.星形密鋪

星形密鋪由多個(gè)星形副本組成，如圖6和圖7所示，它們連接在一起形成周期性密鋪。任何多邊形密鋪都可以用來構(gòu)造星形密鋪。

有n=3個(gè)點(diǎn)的星形是一組n個(gè)三角形，角與角相交，使得它們的底邊形成一個(gè)有n條邊的多邊形(三角形都指向外)。星形的n個(gè)點(diǎn)是n個(gè)三角形的n個(gè)頂點(diǎn)。如果一顆星的所有三角形都是等邊全等的，并且內(nèi)部多邊形是規(guī)則的，那么這顆星就是規(guī)則的(圖7)。如果內(nèi)部多邊形是規(guī)則的，并且三角形都是等腰的(但不一定是等邊的或全等的),并且底邊在內(nèi)部多邊形上，則星形是半規(guī)則的。圖6中的八角星是半規(guī)則的。

圖6：3、4、6、8點(diǎn)的星星。

圖7：3、4、6點(diǎn)的常規(guī)星星。

為了從初始多邊形密鋪創(chuàng)建星形密鋪，我們在每個(gè)頂點(diǎn)放置一顆星，如下所示。選擇小于頂點(diǎn)處任一邊長度一半的距離d。在距離頂點(diǎn)d處畫一條垂直于每條邊的線段，其端點(diǎn)與相鄰邊的垂線相交。這些線段將形成頂點(diǎn)在內(nèi)部的多邊形的邊。然后我們在每條邊上放置一個(gè)三角形來形成一個(gè)星形，這樣星形的點(diǎn)就落在初始密鋪的每條邊的中點(diǎn)上。圖8顯示了在三個(gè)規(guī)則密鋪上的這種變換的例子。

圖8：(4^4)、(3^6)和(6^3)的星密鋪：開普勒星、大衛(wèi)星和阿基米德星。

給定的密鋪可能有許多不同的星形密鋪，這取決于距離d的選擇。在本文中，我們將選擇盡可能規(guī)則的星形(盡管這通常不是必需的)。如果所有的星都是正則且全等的，那么星密鋪就是正則的?；谄矫?4^4)、(3^6)和(6^3)的三個(gè)規(guī)則密鋪，有三個(gè)規(guī)則星形密鋪?；?3^6)的星形密鋪更普遍地稱為阿基米德密鋪(3 6 3 6)；由于六角星類似于大衛(wèi)之星，我們稱這種密鋪(及其相關(guān)編織)為大衛(wèi)之星?；?6^3)的星形密鋪也非常類似于密鋪(3 6 3 6)，除了在(3 6 3 6)的每個(gè)三角形內(nèi)有一個(gè)附加的三角形；我們稱之為阿基米德之星。我們基于(4^4)繪制的正星形密鋪不是正多邊形的密鋪(八邊形不是正的)，而是類似于兩個(gè)均勻的密鋪(3 4 3 12；3 12^2 ).該密鋪由天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開普勒于1619年發(fā)表，因此我們稱開普勒星的一個(gè)星密鋪為(4^4)開普勒星密鋪，以紀(jì)念他在密鋪理論方面的開創(chuàng)性工作。

如果所有的星都是半正則的，那么星密鋪就是半正則的。任何頂點(diǎn)是正則的密鋪都誘導(dǎo)半正則星形密鋪，因?yàn)榕c每個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)的邊都是以該頂點(diǎn)為中心的正多邊形邊的垂直平分線。特別地，我們可以考慮上一節(jié)提到的11個(gè)拉維斯密鋪。除了三個(gè)正則星密鋪，兩個(gè)基于拉維斯密鋪的半正則星密鋪是雪花之星和夜空。雪花之星是與(3 6 3 6)對偶的星形拼法，即由60顆鉆石(絎縫者稱為嬰兒塊或翻滾塊)組成的密鋪(圖9，左)。雪花之星是由三點(diǎn)和六點(diǎn)的規(guī)則星組成的。夜空是與(4 8 ^ 2)對偶的星密鋪，即圖9中的等腰直角三角形密鋪。

圖9：拉維斯密鋪和它們的星密鋪的例子：雪花之星和夜空。

3. 在邊緣編織珠子：僅邊緣編織和邊緣覆蓋斜紋編織

我們?nèi)绾螌⑵磯K變成串珠圖案？通常，密鋪的斜紋編織是用于將排列在(或靠近，如圖12所示)密鋪的邊緣和頂點(diǎn)上的珠子連接在一起的編織，使得密鋪中每個(gè)拼塊上的珠子按順序連接(例如，成環(huán))。最顯而易見的方法是在拼塊的每條邊上都放一個(gè)珠子，這樣珠子的孔就與拼塊的相應(yīng)邊對齊了。這就是所謂的邊緣斜紋編織。圖2顯示了三種常規(guī)密鋪的邊緣珠織圖，圖10顯示了用真正的珠和線編織的這些相同的片段。

圖10：三角形編織(3^6)、原始編織(4^4)和六角編織(6^3)的示例，帶有火拋光的4mm珠子。

編織的方法是將線穿過每個(gè)珠子，使圖案中每個(gè)拼塊周圍的珠子都用線連接起來。每個(gè)拼塊周圍的珠子一般都縫成一個(gè)環(huán)形，但圖 2 中的拼塊并沒有暗示特定的穿線路徑，事實(shí)上，可以有許多不同的穿線路徑。在實(shí)踐中，珠子的大小可能各不相同，或者一條邊上可能有多個(gè)珠子。此外，不同的密鋪結(jié)構(gòu)也可以實(shí)現(xiàn)相同的邊線編織；例如，許多不同的四邊形密鋪結(jié)構(gòu)都可以實(shí)現(xiàn)圖 10 中心所示的直角編織（RAW）。本文描述了五類斜紋編織，取決于珠子放置的位置：純邊斜紋編織、邊和覆蓋斜紋編織、純頂點(diǎn)斜紋編織、頂點(diǎn)和邊斜紋編織以及跨邊斜紋編織。我們從三個(gè)最簡單的斜紋編織實(shí)例開始，即圖 2 和圖 10 中的常規(guī)純邊緣斜紋編織。

僅邊緣編織的密鋪法（4^4）通常被稱為 RAW，它是所有角編織法中最流行的一種。在谷歌TM上搜索 "直角珠編織"，會(huì)出現(xiàn)成千上萬的點(diǎn)擊率。此外，關(guān)于 RAW 的書籍和文章即使沒有上百篇，也有幾十本，例如 Prussing [17] 和 DeCoster [1] 所著的書籍和文章。RAW 是如此受歡迎，以至于一些作者和出版商把所有角編織都稱為 RAW 的變體，而不管底層密鋪是否有直角。我們更傾向于使用 "斜紋編織 "這個(gè)更籠統(tǒng)的術(shù)語，并將 RAW 視為其特例。

比 RAW 少見但也被珠繡編織者使用的是常規(guī)三角編織，它與密鋪法（3^6 ）相對應(yīng)。Lim [15] 和 Mach [16] 分別提供了使用雙針和單針編織三角形的說明。與其他兩種規(guī)則編織法相比，基于規(guī)則密鋪法（6^3）的六角編織法不太流行，但仍經(jīng)常使用，倫茨 [14] 等藝術(shù)家也對其進(jìn)行了研究。六角編織既快速又容易操作，而且很容易向不同方向編織 [5,6]。圖 11 展示了兩個(gè)使用六角編織法編織的手鐲。這兩個(gè)手鐲展示了當(dāng)不同數(shù)量和形狀的珠子被放置在拼塊的不同邊緣時(shí)，同樣的角編織會(huì)呈現(xiàn)出不同的效果。傳統(tǒng)的祖魯珠飾制作者使用的是一種網(wǎng)狀編織法，這種編織法可以編織出六角形[10]，但珠飾制作者傾向于將網(wǎng)狀編織法與角形編織法區(qū)分開來，因?yàn)樗鼈兊木幙椃椒ú煌词怪樽拥呐帕蟹绞娇赡芟嗤?；網(wǎng)狀編織法是用之字形針法縫制的，而角形編織法是用環(huán)形針法縫制的。在眾多使用角織的設(shè)計(jì)師中，倫茲 [14] 和謝伊 [18] 尤為著名。

圖11：用 10 號和 11 號種珠編織的六角形編織、用 11 號種珠和小號珠編織的六角形編織。

在更復(fù)雜的設(shè)計(jì)中，頂點(diǎn)周圍通常還會(huì)編織其他珠子。在串珠多面體（如圖 15 中的例子）中，倫茲 [13] 將邊珠稱為結(jié)構(gòu)珠，因?yàn)樗鼈冑x予了編織的基本圖案；普魯辛 [17] 稱它們?yōu)榻徊嬷榛蚬ぷ髦?。其他珠子被編織在邊緣珠之間，以覆蓋線、提供裝飾和穩(wěn)定邊角 [13]。這些覆蓋珠也被稱為穩(wěn)定珠 [13]、中間珠或線套 [17]。這就產(chǎn)生了邊角覆蓋斜紋編織的概念，如圖 12 所示。圖中拼塊為灰色，線為黑色，邊緣珠較大，覆蓋珠較小。

圖12：(3^6)、(4^4)和(6^3)的邊蓋角編織。

在邊覆角編織法中，拼塊的每條邊上都有一顆珠子，每個(gè)有 n 個(gè)價(jià)位的頂點(diǎn)都有 n 個(gè)珠子，依次圍繞頂點(diǎn)排列。因此，在這種角編織法中，每個(gè)拼塊的每條邊上都有一顆珠子，每個(gè)角附近也有一顆珠子，如圖 12 所示。因此，一個(gè)有 m 邊的拼塊對應(yīng)一個(gè)由 2 m 個(gè)珠子組成的環(huán)。在實(shí)踐中，邊覆角編織物可以是硬質(zhì)的，也可以是柔性的，這取決于對圖案和珠子尺寸的選擇。如果編織的是柔性織物，覆蓋珠可以提供很好的錨點(diǎn)，在第一層珠的基礎(chǔ)上編織另一層珠（如圖 15 中的串珠多面體）。

4.頂點(diǎn)編織：僅頂點(diǎn)斜紋編織和頂點(diǎn)邊角斜紋編織

到目前為止，我們已經(jīng)討論了只在邊緣上編織和邊緣覆蓋斜紋編織，這些編織都是通過將珠子放在密鋪圖案的邊緣上，也可能放在頂點(diǎn)附近（即作為蓋珠）來完成的?，F(xiàn)在，我們將考慮直接在頂點(diǎn)上放置一顆珠子的問題。如果頂點(diǎn)的價(jià)數(shù)是三或更多，那么有多種方法可以確定珠孔的方向，并將珠子與其相鄰的珠子相連。然而，我們將只探討在第 2.3 節(jié)中介紹的星形結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)上放置珠子；在這種情況下，每個(gè)頂點(diǎn)的價(jià)數(shù)都是4。我們總是選擇頂點(diǎn)珠的方向，使其在孔的兩端分別與兩個(gè)邊珠相鄰。雖然任何邊珠的孔的方向都是唯一的，但頂點(diǎn)珠的方向恰好有兩種選擇。（圖 13），而且任一方向都可以織構(gòu)。

圖13：確定頂點(diǎn)珠方向的兩種方法。

在編織星形圖案時(shí)，除了構(gòu)成星形點(diǎn)的三角形外，我們要在每個(gè)多邊形中縫制一個(gè)連接珠子的環(huán)。關(guān)于三角形，請注意星形圖案的每個(gè)頂點(diǎn)都是兩個(gè)三角形的交匯點(diǎn)（如果內(nèi)部多邊形恰好是三角形，則不計(jì)算在內(nèi)）。我們選擇將頂點(diǎn)珠孔的方向指向這兩個(gè)三角形的中心。圖 14 顯示了我們?nèi)绾卧谌切蔚拿總€(gè)頂點(diǎn)上排列一顆珠子。我們選擇這種特殊的排列方式，因?yàn)檫@樣可以隱藏珠孔，而且?guī)缀蹩床坏骄€。這種編織方法也可用于其他多邊形，但在實(shí)際操作中，三角形的編織通常是最緊湊的，這也是為什么在三角形周圍省略了一圈額外的線的原因。

圖14：三角形上珠子的方向：僅在頂點(diǎn)上，以及在頂點(diǎn)和邊上。

5. 星形編織

星形編織源于之前的串珠工作，特別是八面體簇（圖 15 左）[8]。要制作八面體簇，我們首先要編織一個(gè)正八面體的邊緣和封面（圖 15 右）。然后，我們在外層編織一層星形珠子，這些星形珠子通過覆蓋珠子與八面體相連。

圖15：八面體簇狀串珠和邊蓋串珠正八面體。

受這些串珠星形圖案的啟發(fā)，我們創(chuàng)造了星形密鋪法來設(shè)計(jì)手鏈和扁形吊墜的平面編織。星形編織是由星形密鋪法產(chǎn)生的串珠圖案。

星形編織法的生成分為兩個(gè)步驟。我們從一個(gè)任意的密鋪開始，然后按照第2.3節(jié)所述將其轉(zhuǎn)換為星形密鋪。然后，通過在星形編織圖的每條邊（如第 3 節(jié)所述）和每個(gè)頂點(diǎn)（如第 4 節(jié)所述）上放置一個(gè)或多個(gè)珠子，以三種不同方式之一將星形編織圖轉(zhuǎn)化為斜紋編織圖。正如只在邊上編織的斜紋編織只在邊上編織一樣，只在頂點(diǎn)編織的斜紋編織只在頂點(diǎn)編織，而頂點(diǎn)與邊編織的斜紋編織在頂點(diǎn)和邊上都編織。圖 16 顯示了每個(gè)邊上都有珠子的開普勒星拼圖（左圖）、每個(gè)頂點(diǎn)和邊上都有珠子的開普勒星拼圖（中圖）以及每個(gè)頂點(diǎn)都有珠子的開普勒星拼圖（右圖）。

圖16：只在邊緣、頂點(diǎn)和邊緣以及只在頂點(diǎn)上有珠子的開普勒星（超級 RAW）。

當(dāng)用珠子編織時(shí)，只有邊緣的版本使編織下垂，顯示出線和珠子的孔。對于僅織邊的織物來說，這通常是正確的。因此，出于審美的原因，我們關(guān)注另外兩種可能性。對于開普勒的星形編織，使用緊密包裝和更優(yōu)雅的版本，在頂點(diǎn)和邊緣都有珠子，如圖16的中心所示，產(chǎn)生了圖17中的珠子手鐲[2]。當(dāng)然，圖16中的珠子是理想化的，可以用更大、更小或更多的珠子代替。例如，圖17中的手鐲包含兩種尺寸的種子珠，沿著每個(gè)三角形的兩條邊使用兩個(gè)小珠。通過精心選擇珠子顏色，營造出一種環(huán)環(huán)相扣的錯(cuò)覺，進(jìn)一步增強(qiáng)了設(shè)計(jì)效果。令人高興的是，開普勒星手鐲中的四角星類似于八面體星團(tuán)串珠中的星星(圖15，左)。因此，這種星形密鋪的頂點(diǎn)和邊緣編織實(shí)現(xiàn)了我們制作珠狀星形平面編織的目標(biāo)。

圖17：鑲有11號和15號種子珠的開普勒之星手鏈。

現(xiàn)在考慮圖 16 右側(cè)所示的只頂點(diǎn)編織；我們稱之為超級 RAW，[7] 提供了相關(guān)教程。將其與 (4^4) 的邊緣覆蓋編織法進(jìn)行比較（圖12，中）。兩種編織中的珠子處于相同的相對位置，但線的路徑不同。線路徑卻不同。特別是，超級 RAW 在（4^4）的每個(gè)角落都有額外的線程，將將被覆蓋的珠子連接在一起，形成一個(gè)循環(huán)。類似的關(guān)系也適用于其他拼塊，這意味著我們可以用不止一種方法生成相同的串珠圖案。有時(shí)我們會(huì)得到完全相同的圖案，正如我們在后面的定理 2 和 3 中描述的那樣。還有的時(shí)候，就像本題一樣，兩種方法得到的珠子排列是一樣的，只是其中一種方法在連接某些珠子時(shí)多了一條線。這就是我們第一個(gè)定理的本質(zhì)。此外，如果每個(gè)頂點(diǎn)有三顆以上的覆蓋珠，就像（4^4）的例子中那樣，額外的線程會(huì)對珠子織物的合身性產(chǎn)生明顯的影響。如果每個(gè)頂點(diǎn)只有三顆蓋珠（例如 (6^3 )），肉眼或手感上的差異并不明顯，但多穿的線需要更長的縫合時(shí)間，并能縫出更結(jié)實(shí)的織物。

定理1:

設(shè)T是一個(gè)密鋪。T的星形密鋪的僅頂點(diǎn)編織與T的邊緣覆蓋編織具有相同的珠子圖案，加上在T的頂點(diǎn)連接覆蓋珠子的額外的線。

證明:

正如我們在圖18中所觀察到的，放在T邊上的珠子也在T的相應(yīng)星形的點(diǎn)上，方向相同。放置在T的頂點(diǎn)附近的珠子與放置在T的星形密鋪中圍繞星的中心的珠子位置和方向相同，但是在星形密鋪中，它們連接在一起形成一個(gè)環(huán)。

圖18：T的邊緣覆蓋編織以及T的星形密鋪的純頂點(diǎn)編織。

圖8(中間)顯示了我們?nèi)绾问褂?3^6)來創(chuàng)建大衛(wèi)之星密鋪(3 6 3 6)，圖19顯示了我們?nèi)绾蝺H使用頂點(diǎn)珠子(左)以及頂點(diǎn)和邊珠子(右)在該密鋪上放置珠子。圖1底部所示的圖案與圖19左側(cè)的圖案相同(邊界不同)。圖1中的編織是六角編織(6^3的僅邊緣角編織)；我們現(xiàn)在看到它也是(3^6)的星形密鋪的頂點(diǎn)唯一編織。這不是巧合，反映了(3^6)和(6^3)是對偶密鋪的事實(shí)。盡管圖1(下)和圖19(左)中的織物使用了兩種顏色，但是所有的珠子都可以制成相同的類型，因此每個(gè)環(huán)都具有六個(gè)相同的珠子，如圖2和圖10(右)所示。因?yàn)?3 6 3 6)中的每個(gè)頂點(diǎn)都是同一類型，所以織物中的每個(gè)珠子也是同一類型；也就是說，每個(gè)珠子相對于周圍的珠子具有相同的螺紋路徑和位置。盡管將六角編織(圖2，右)視為(3^6)的星形密鋪(圖19，左)的頂點(diǎn)編織似乎有些麻煩，但星形圖案很有用，因?yàn)樗鼧?biāo)識(shí)了兩種不同的邊類型，當(dāng)與頂點(diǎn)一起串珠時(shí)，創(chuàng)建了更復(fù)雜的大衛(wèi)星形圖案(圖19，右)。

圖19：六角織法和大衛(wèi)之星。

大衛(wèi)之星編織幾乎和六角編織一樣簡單。圖20中的三個(gè)手鏈展示了用真珠編織大衛(wèi)之星的不同例子。左上方的手鏈經(jīng)過簡化，只使用了兩種珠子。右上角的手鏈則利用了可以在不改變編織其他部分的情況下擴(kuò)大編織中選定的珠行這一事實(shí)。許多其他編織，如開普勒之星，也有同樣的特性。底部的手鏈展示了大衛(wèi)之星編織法的一些邊緣（圖 19 右圖中的粉紅色邊緣）上的小號珠是如何強(qiáng)調(diào)星形圖案的，這也是星形編織法名稱的由來。

圖20：11號和15號種子珠的大衛(wèi)之星手鐲；11號和15號種子珠和4mm晶體；8號和11號種子珠和喇叭珠。

現(xiàn)在來看看 (6^3 ) 的星形編織。圖 8（右）顯示了我們?nèi)绾问褂?(6^3 ) 繪制阿基米德星形編織圖。圖 21 顯示了只使用頂點(diǎn)珠（左）和同時(shí)使用頂點(diǎn)珠和邊珠（右）的星形編織圖。正如定理 1 所預(yù)言的那樣，只有頂點(diǎn)珠的阿基米德星（圖 21 左）與 (6^3 ) 的邊緣和覆蓋編織法（圖 12 右）的珠子排列相同，只是多了一圈線。對于珠子編織者來說，（6^3 ）的邊緣加覆蓋編織方式是兩種編織方式中更優(yōu)雅的一種，因?yàn)樗恍枰^少的針數(shù)就能編織出相同的珠子織物。然而，如圖 1 左所示，阿基米德星的額外線程為編織補(bǔ)丁的邊界提供了更多可能性。通過觀察邊界，我們可以確定該補(bǔ)丁的線程為阿基米德星。正如我們在之前的 "大衛(wèi)之星 "和 "開普勒之星 "的例子中發(fā)現(xiàn)的那樣，當(dāng)我們同時(shí)使用頂點(diǎn)珠和邊緣珠時(shí)，額外的線程也會(huì)帶來一種全新的編織方式。這就是阿基米德星編織法（圖 21 右），另一種孔洞特別大的緊密編織法。圖 22 展示了使用這種編織方式編織的手鐲。第一作者提供了編織該手鐲的分步說明[4]。

圖21：只有頂點(diǎn)珠和頂點(diǎn)邊緣珠的阿基米德星。

圖22：鑲有11號和15號種子珠的阿基米德星手鏈。

我們用幾個(gè)由拉維斯密鋪織成的星形織物的例子來結(jié)束這一節(jié)。夜空密鋪圖(圖9，右)誘發(fā)了兩個(gè)美麗的半規(guī)則星形編織。圖23顯示了通過僅在頂點(diǎn)(稱為野餐織物，因?yàn)樗愃朴诟褡右安吞?以及在邊緣和頂點(diǎn)(稱為夜空織物)放置珠子獲得的圖案。這些組織的例子如圖24所示。請注意，圖24中的垂飾并沒有顯示出如圖23左側(cè)所示的拼塊的相同片段。圖23右側(cè)的夜空插圖是圖24右側(cè)完整手鐲中使用的片段的子集。第一作者已經(jīng)提供了編織野餐和夜空編織的分步說明[3]。

圖23：野餐編織(僅頂點(diǎn)珠)和夜空(頂點(diǎn)和邊緣珠)。

圖24：帶有8、11和15號種子珠的野餐掛件和帶有8、11和15號種子珠的夜空手鐲。

圖9(左)顯示了我們?nèi)绾问褂美S斯密鋪來生成半規(guī)則的雪花之星密鋪。雪花之星是由三點(diǎn)和六點(diǎn)的規(guī)則星組成的。圖25顯示了雪花之星密鋪如何看起來像帶有邊珠和頂點(diǎn)珠的星形編織。圖1(上圖)顯示了只有頂點(diǎn)的珠子組成的雪花之星組織。

圖25：鑲有 8 號、11 號和 15 號種子珠的雪花之星手鏈。

圖26顯示了兩個(gè)使用拉維斯密鋪(3 12^2)生成星形密鋪的只有頂點(diǎn)珠的星形編織的例子。該圖顯示了改變每個(gè)頂點(diǎn)上珠子的大小和數(shù)量如何影響最終珠狀織物的紋理。

圖26：僅用頂點(diǎn)珠：8 號和 11 號種子珠以及 8 號、11 號和 15 號種子珠編織的星形拉維斯拼塊 (3 12^2 )。

6. 跨邊緣編織

在本節(jié)中，我們將介紹第五種使用密鋪生成珠形編織的方法。乍一看，這種編織方式與我們之前所見的編織方式大相徑庭，但我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它與星形編織密切相關(guān)。

給定一個(gè)拼塊 T，我們分三步創(chuàng)建 T 的跨邊緣編織圖案，以六邊形拼塊為例，如圖 27 所示。首先，我們在 T 的每條邊上放置一顆珠子，珠孔與邊垂直（圖 27 中的矩形）。然后，對于 T 中的每塊拼塊，我們在相鄰邊上的每對珠子之間放置一顆珠子，孔的方向朝向邊上的珠子（圖 27 中的橢圓）。最后，編織的線徑（圖 27 中的虛線）將每個(gè)邊緣珠子與拼塊內(nèi)部相鄰的兩個(gè)珠子連接起來，同時(shí)也將相鄰的兩個(gè)內(nèi)部珠子連接起來。

圖27：六邊形拼塊的跨邊緣編織。

圖1顯示了串珠織物的四個(gè)跨邊緣組織實(shí)例。從頂部順時(shí)針方向看，我們有(3 6 3 6)，(4^4)，(6^ 3)和(3^6)的跨邊緣組織。

下面的定理描述了跨邊組織和星形組織之間的關(guān)系。

定理2:

設(shè)T是一個(gè)密鋪，T*是它的對偶密鋪。然后，T的跨邊編織與T*的僅頂點(diǎn)星形編織具有相同的圖案。

證明：

正如我們在圖27中所觀察到的，放置在T的拼塊內(nèi)部的珠子位于一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)上，該多邊形的邊數(shù)與原始拼塊的邊數(shù)相同；這個(gè)數(shù)就是T*對應(yīng)頂點(diǎn)的化合價(jià)。T邊上的珠子位于三角形的點(diǎn)上，三角形的底邊形成了多邊形的邊。所有這些都是以T*頂點(diǎn)為中心的星的頂點(diǎn)。

圖28說明了T = (6^3)的定理2。定理2的一個(gè)美麗的結(jié)果是，我們可以在一張圖中畫出重疊圖案的序列。圖29顯示了這樣一幅圖可能的樣子。

圖28

圖29：基于定理2對T=(6^3)的設(shè)計(jì)。

圖 30 展示了 T=(3^6) 的定理 2。圖 29 和圖 30 可視為對偶圖。

圖30：定理 2，T=（3^6 ）。

跨邊編織和星形編織之間的對應(yīng)關(guān)系可以進(jìn)一步推廣。對于任何單個(gè)密鋪法，你都可以想象一種跨邊編織法，即每條邊上都有兩顆珠子（分別位于兩條線路上），在多邊形內(nèi)部，兩顆珠子之間還有一顆額外的珠子。圖 31（左）和 [18] 顯示了 (63 ) 的雙跨邊編織。請注意由 12= 2×6 個(gè)珠子組成的環(huán)，以及有兩個(gè)珠子將 12 個(gè)珠子組成的環(huán)連接在一起（橫跨每條邊）。同樣，我們可以想象一下，在內(nèi)部多邊形的每條邊上放置兩個(gè)星點(diǎn)，而不是一個(gè)星點(diǎn)，這樣就形成了雙星拼圖（感謝 Florence Turnour）。圖 31 右側(cè)是相關(guān)的雙星編織圖，每條邊和頂點(diǎn)上都有珠子。請注意，每顆星都有 12 個(gè)點(diǎn)，而且星與相鄰星之間有 2 個(gè)星點(diǎn)相連。

圖31

對于任何n，當(dāng)跨邊珠子是三重、四重或n重時(shí)，這些結(jié)構(gòu)可以類似地定義。定理3陳述了定理2的相應(yīng)推廣；證明幾乎相同，所以省略。

定理3:

設(shè)T是一個(gè)密鋪，T*是它的對偶密鋪。那么，T的n跨邊織紋與T*的僅頂點(diǎn)n星織紋具有相同的圖案。

圖 32 左邊是 T=(4^4 ) 和 n = 1 時(shí)的定理 3，右邊是 n = 2 時(shí)的定理 3。

圖32：定理 3，T=（44 ），n=1（左），n=2（右）。

7.可編織的密鋪

我們已經(jīng)研究了一些可以通過珠子編織實(shí)現(xiàn)的密鋪。在這一節(jié)中，我們要問一個(gè)更普遍的問題，即可以用珠子編織哪種密鋪物。我們首先需要更精確地解釋用珠子編織拼塊是什么意思。

由于編織一個(gè)無限的拼塊需要無限的時(shí)間和金錢，我們實(shí)際上是要編織拼塊的有限部分。我們以前曾非正式地使用過密鋪的片段這一術(shù)語；現(xiàn)在我們將它定義為其并集是拓?fù)鋱A盤(沒有洞的有界連通區(qū)域)的拼塊的子集。如果一個(gè)密鋪的片段存在斜紋編織，那么這個(gè)片段是可編織的。如果一個(gè)密鋪的每個(gè)片段都是可織的，那么這個(gè)密鋪就是可織的。這是通過沿補(bǔ)片的每條邊(或在每個(gè)頂點(diǎn)處或附近，或兩者)放置一個(gè)珠子，并通過珠子編織一根線來固定它們的相對位置來實(shí)現(xiàn)的。為了在最后得到一片織物，我們希望使用一根任意長的線(盡管它可能會(huì)多次穿過給定的珠子)。為了將每個(gè)珠子固定到位，線必須將它的兩端與其他珠子連接起來。穿過珠子的連續(xù)的線對應(yīng)于沿著密鋪的邊緣的路徑。這些提供了密鋪可織的條件。

定義

如果給定一個(gè)貼圖的任意片段，沿著該貼圖的邊緣存在一條有限路徑，該路徑至少經(jīng)過該片段的每一條邊緣一次，但不會(huì)連續(xù)兩次經(jīng)過任何一條邊緣，那么該貼圖就是（邊緣）可織的。

定理 4：

任何正則密鋪 T 都有一個(gè)只經(jīng)過邊緣的斜紋編織，因此是邊緣可織的。此外，線的路徑可以選擇經(jīng)過片段內(nèi)部的任何邊緣兩次，經(jīng)過片段邊界上的任何邊緣一次。

證明：

由于任何正則密鋪T 都是局部有限的，因此 T 的任何拼塊都只包含有限個(gè)貼片。為了構(gòu)建線程路徑，我們首先想象一個(gè)線程環(huán)繞每個(gè)拼塊的邊界，如圖 33 左側(cè)紅色所示。

圖33：為正則密鋪的偏淡構(gòu)建線程路徑。

我們還考慮了片段的生成樹。更確切地說，我們考慮的是對偶圖的生成樹，該生成樹的頂點(diǎn)位于片段的每個(gè)拼塊的中心，如果兩個(gè)拼塊相鄰，則通過一條邊連接。圖 33 顯示了的生成樹?，F(xiàn)在，我們沿著生成樹的每一條邊，以半扭曲的方式連接線環(huán)，如圖 33 右側(cè)所示。這樣得到的路徑就是一個(gè)單一的線環(huán)路（因?yàn)樯蓸洳话h(huán)），它經(jīng)過任何內(nèi)部邊兩次，任何邊界邊一次。

由于正規(guī)密鋪類是無限的，定理4給出了無限類的可織密鋪(包括，例如，對于任何有限的n，任何規(guī)則密鋪的所有n星密鋪)，它包括最普通的密鋪。雖然我們的證明表明，在用珠子編織給定的密鋪塊時(shí)，存在最小的線路徑，但在實(shí)踐中，大多數(shù)珠子編織者使用的線路徑不是最優(yōu)的，而是更直觀的。一般的方法是從邊界拼塊開始，并為該拼塊縫制一圈珠子。然后前進(jìn)到相鄰的拼塊，并為該拼塊縫制一圈珠子，珠子連接到第一個(gè)拼塊。編織拼塊的順序通常被選擇成使得在前進(jìn)到下一行之前一次編織一行拼塊。同時(shí)，一些珠子具有非常小的孔，用銼刀或鉆頭擴(kuò)大它們通常是困難的。因此，知道我們可以用每個(gè)珠子最多兩次的方式織出任何一種只織邊的角形織物是很有用的。

重要的是要注意，定理4只說密鋪有一個(gè)只有邊的斜紋編織。很容易看出，任何具有僅邊緣斜紋編織的拼塊也具有邊緣和覆蓋斜紋編織(因?yàn)榫€路徑是相同的；我們只是添加更多的珠子)。然而，不清楚任何具有僅邊斜紋編織的密鋪也將具有僅頂點(diǎn)或頂點(diǎn)和邊斜紋編織。

幸運(yùn)的是，我們僅在星形密鋪的上下文中討論了頂角編織，定理1暗示從正常密鋪T生成的任何星形密鋪T*確實(shí)具有僅頂點(diǎn)(因此也是頂點(diǎn)和邊)的斜紋編織。根據(jù)定理4，T將有一個(gè)只有邊的織紋，因此是一個(gè)邊覆蓋織紋。但是根據(jù)定理1，T*具有與T的邊緣和覆蓋編織相同的珠布置，并且唯一額外的線連接每個(gè)星形中的覆蓋珠。但是從圖15中可以清楚地看出，可以在不改變?nèi)魏沃樽拥姆较虻那闆r下，在每個(gè)星形處增加額外的線環(huán)，從而產(chǎn)生T*的僅頂點(diǎn)斜紋編織。這也是星形密鋪對珠子編織特別感興趣的另一個(gè)原因。

8. 有待進(jìn)一步研究的領(lǐng)域

周期性密鋪可以創(chuàng)造出無數(shù)美麗的串珠圖案，我們只研究了其中的一小部分。第一作者和弗洛倫斯·特納爾（Florence Turnour）目前正在為珠子編織手工藝者撰寫一本書，書中列舉了許多這些圖案的例子，并解釋了如何用珠子編織它們[9]。除了簡單地編織周期性傾斜之外，還有許多其他有趣的主題值得探索，例如：

·利用珠子的顏色來強(qiáng)調(diào)密鋪物中的各種圖案。

·從非周期性密鋪中創(chuàng)建圖案，例如彭羅斯密鋪和螺旋密鋪。

·用珠子串起 4 價(jià)以外的頂點(diǎn)。

·確定是否每個(gè)法線密鋪都有一個(gè)僅頂點(diǎn)的斜紋編織。

·疊加密鋪描述分層珠飾設(shè)計(jì)。

·由不同密鋪生成的相似星形組織(以及星形組織的星形組織)之間可能的對應(yīng)關(guān)系。

·將這些想法應(yīng)用于三維物體，如多面體和三維空間密鋪。

我們希望這篇文章只是密鋪數(shù)學(xué)和編珠藝術(shù)之間漫長而富有成果的合作的開始。

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[18] L. Shea, ‘‘Have a Heart Bracelet,’’ ‘‘Rainbow Mandala,’’ and ‘‘Bridal Party Choker.’’

Available at http://www.bridgesmathart.org/art-exhibits/bridges2007/shea.html, accessed February 13, 2012.

[19] Gwen L. Fishera* and Blake Mellorb, Using tiling theory to generate angle weaves with beads

青山不改，綠水長流，在下告退。

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