解法的盡頭是概念——圓折疊類問題

我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓概念的時(shí)候，都會(huì)牢牢記住兩段描述，如下圖：

從教材配圖中，我們發(fā)現(xiàn)，引入圓概念的最佳操作是圓規(guī)畫圓，這在后面引入弦、弧、圓心角等概念的時(shí)候同樣適用。

在學(xué)習(xí)了圓的軸對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性之后，與圓有關(guān)的圖形會(huì)更加靈活多變，但無論涉及到何種精妙的解法，追根溯源的結(jié)果，仍然是圓的概念。本文以兩道選填題為例，探討一下關(guān)于圓的折疊問題。

第一道題

如圖，AB是圓O的直徑，BC是圓O的弦，先將弧BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將弧BD沿AB翻折交BC于點(diǎn)E，若弧BE=弧DE，設(shè)∠ABC=α，則α所在的范圍是（ ）

A、21.9°<α<22.3° B、22.3°<α<22.7°

C、22.3°<α<23.1° D、23.1°<α<23.5°

試題分析

本題中所有的弧，均為同圓或等圓中的弧，這一層認(rèn)知是后續(xù)所有推導(dǎo)的前提，如果沒有意識(shí)到這一點(diǎn)，將無從下手。

我們有必要先觀察∠ABC，確定它的身份是圓周角，但在圖中眾多的弧中，它是哪段弧所對(duì)的圓周角呢？

答案是弧DE、弧CD、弧AC均為它所對(duì)的弧。

我們先從弧DE開始，它是弧BD的一半，即弧BD=2弧DE，顯然弧BD+弧CD=弧BC，即弧BC=3弧DE，弧BC所對(duì)的圓周角是∠CAB，于是我們連接AC，即可得到結(jié)果，如下圖：

直徑AB所對(duì)圓周角為直角，于是3α+α=90°，求得α=22.5°，本題選B

順便說一下，這是2021年武漢市中考數(shù)學(xué)第9題，按當(dāng)年的難度設(shè)置，并非最難選擇題，而且這四個(gè)選項(xiàng)明顯是“防猜設(shè)計(jì)”，看上去是動(dòng)點(diǎn)問題，實(shí)質(zhì)上是靜態(tài)圖形。

在解這道題的過程中，方法很多，但個(gè)人認(rèn)為，利用同弧所對(duì)的圓周角相等為最優(yōu)解，這部分概念在教材“五合一”定理教學(xué)中，在這部分章節(jié)中，我們期望學(xué)生在看圖時(shí)，將弧、弦、弦心距、圓心角、圓周角視為“一體”，知一推四，見一想四。題中沿弦BC翻折，再沿AB翻折，這兩次軸對(duì)稱變換，并沒有改變這些弧是等弧的事實(shí)，原因是它們都是從同一個(gè)圓中變化而來，若是將它們各自所在的圓作出來，也可以發(fā)現(xiàn)它們都是等圓。在這個(gè)前提下，同一個(gè)圓周角就有可能是多段弧所對(duì)，這也是命題中最為巧妙的一點(diǎn)。

第二道題

如圖，已知△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，圓O的半徑為2，將劣弧AC沿AC折疊后剛好經(jīng)過弦BC的中點(diǎn)D，若∠ACB=60°，則弦AC的長(zhǎng)為______________

試題分析

我們依然先來觀察圖中的弧，弧AC折疊后成為弧ADC，它們是等弧，折疊后再觀察∠ACB，這個(gè)60°角所對(duì)的弧是弧AD，同時(shí)也對(duì)著弧AB，所以我們知道弧AD=弧AB，由“五合一”可知弦AB=弦AD，不妨連接AD，此時(shí)出現(xiàn)的△ABD是等腰三角形，如下圖：

接下來的任務(wù)是尋找半徑與弦AC間的關(guān)聯(lián)，由弦AB所對(duì)圓周角是60°，我們可連接OA、OB，得等腰△AOB，利用特殊等腰三角形邊長(zhǎng)比，求得AB=2√3，對(duì)于等腰三角形，最為特殊的線是底邊上的高，于是作AE⊥BC于點(diǎn)E，如下圖

圖中出現(xiàn)了特殊直角三角形，含60°角的Rt△ACE，再結(jié)合前面得到的等腰△ABD，我們?cè)O(shè)BE=DE=x，則CD=2x，表示出CE=3x，AC=6x，AE=3√3x，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程得(2√3)2=x2+(3√3x)2，解得x=√21/7，最后得到AC=6√21/7.

從解題到教學(xué)

這兩道題共同的特點(diǎn)是出現(xiàn)了圓的翻折或折疊，學(xué)生在理解這個(gè)操作的過程中，需要將它和學(xué)過的同弧(等弧)聯(lián)系起來，從解題失敗的學(xué)生那里了解到，多數(shù)并未想到翻折的結(jié)果是得到了等弧，進(jìn)一步的追問后，關(guān)于等弧的理解，存在一知半解的情況，具體表現(xiàn)為提及等弧，能回答前提是在同圓或等圓中，但問及本題，卻沒有建立起翻折后的弧來自原來的圓，它們也是等圓，這個(gè)情景在課堂教學(xué)中未出現(xiàn)，學(xué)生第一次見到，限于本身能力不足，不能自主理解，需要老師引導(dǎo)。

但教材中是有折疊圓紙紙片情景的，如下圖：

在這部分教材的處理中，當(dāng)時(shí)是為了引出垂徑定理，強(qiáng)調(diào)軸對(duì)稱性，讓學(xué)生側(cè)重觀察對(duì)折后重合的部分，并且對(duì)稱軸是直徑。

因此，把學(xué)生想不到歸咎于“書上沒有”是錯(cuò)誤的。教材中的每個(gè)情景，都可能被挖掘成為命題素材，所以在前一節(jié)內(nèi)容引入等圓或等弧概念的時(shí)候，就可以將這個(gè)情景展現(xiàn)出來。

同樣的，在教材中，由圓的旋轉(zhuǎn)不變性得到的結(jié)論中，關(guān)于“弧相等”的條件或結(jié)論，也有必要引入這個(gè)情景，以拓展學(xué)生的視角。

可以將這兩道題進(jìn)行適當(dāng)改編，簡(jiǎn)化圖形和推理，作為概念延伸出現(xiàn)在課堂上。

任何學(xué)生解題過程中遇到的障礙，最終都需要與課堂上的概念學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)起來，同時(shí)也給教師的教學(xué)留下了反思空間，如何讓學(xué)生學(xué)得更好，歸根到底需要教師學(xué)習(xí)如何教得更好。