之前做了很多期物理基礎(chǔ)理論方面的科普，在閑暇之余看到有關(guān)數(shù)學(xué)方面的知識，感到很有趣，主要關(guān)于有理數(shù)，無理數(shù)以及無限的概念。

本人在學(xué)生時代對數(shù)學(xué)非常感興趣，所以如今雖然畢業(yè)多年，又抽空專門了解了一些數(shù)學(xué)方面的知識，今天跟大家一起分享一下。如果有不對的地方，還望多多指教。

我會盡量以通俗的語言去描述，盡量去掉一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式推理，畢竟科普的目的是讓大家覺得通俗易懂，而不是向大家傳授專業(yè)知識，專業(yè)的東西我也不太會。但是通俗難免會不太嚴(yán)謹(jǐn)，希望大家明白。

好了，回到今天我要說的正題：在數(shù)軸上隨機取一個點，有理數(shù)的概率為0。

看到這里，肯定有人開始不淡定了：你又在這里胡扯呢？數(shù)軸上對應(yīng)的是實數(shù)，包含了有理數(shù)和無理數(shù)，隨機取的點，有理數(shù)的概率怎么可能是零呢？

這里強調(diào)點，概率為零，并不意味著一定不能取到有理數(shù)，概率和現(xiàn)實并不是完全等價的。你可以通俗理解為取到有理數(shù)的概率無窮小。

為什么會這樣？

通俗理解就是，雖然實數(shù)等于有理數(shù)加上無理數(shù)，但有理數(shù)在實數(shù)面前就是個渣渣，不用管，完全可以忽略不計，所以結(jié)果就是：

實數(shù)=無理數(shù)！

因此在數(shù)軸上隨機取一點，這個點是無理數(shù)的概率為100%，有理數(shù)的概率為0。

沒錯，無理數(shù)就是這么“霸道”，雖然實數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)之和，但事實上實數(shù)和無理數(shù)是一樣多的，數(shù)學(xué)家們早就證明了這點，這里就不再證明了，證明過程我也看了，有些繁瑣。因為兩個集合，也就是實數(shù)集合和無理數(shù)集合可以一一對應(yīng)。

只要兩個集合能一一對應(yīng)，這兩個集合一定是相等的。

“無理數(shù)和實數(shù)一樣多”明顯違反了我們的直覺：明明實數(shù)比無理數(shù)多出了個有理數(shù)啊，兩者怎么可能一樣多呢？

這就牽扯到我們對無限的理解了，我們不能用具體的有限概念去衡量無限的世界，否則很可能陷入到自己挖的陷阱里面走不出來。

再舉個例子你就明白了，整數(shù)和偶數(shù)哪個更多呢？

整數(shù)包括奇數(shù)和偶數(shù)，看起來整數(shù)應(yīng)該比偶數(shù)更多，但實際上兩者是一樣多的，原因很簡單，兩個集合可以一一對應(yīng)，每一個整數(shù)都有一個偶數(shù)與之對應(yīng)，整數(shù)乘以2就是偶數(shù)，兩者當(dāng)然一樣多了。

如果你接受了“整數(shù)和偶數(shù)一樣多”，自然就更容易接受“實數(shù)和無理數(shù)一樣多”！

好了，到這里只是理論上的分析，下面來詳細具體分析一下有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)和關(guān)系。

1.有理數(shù)和無理數(shù)都是稠密的，但無理數(shù)比有理數(shù)更稠密。

什么是稠密？簡單理解就是緊挨著，就像很多人站成一排，每個人都是緊挨著旁邊的人，到底有多緊？非常緊，緊到我們無法想象，緊到變態(tài)的程度。

舉個例子，1和2在我們印象里挨得很近，但1和2中間還有3/2。1和1/2看起來更近吧？但它們之間還有3/4......

如此類推下去，我們會發(fā)現(xiàn)，無論兩個有理數(shù)挨得有多近，當(dāng)把它們扒開之后就會發(fā)現(xiàn)，兩者之間還有無數(shù)個有理數(shù)！

這就是所謂的稠密。

有理數(shù)已經(jīng)這么稠密了，無理數(shù)竟然比有理數(shù)還要稠密，這讓我們更難理解了。不要著急，之后會一點點分析。

關(guān)于稠密，很有必要強調(diào)一點，所謂的“稠密”并不意味著是連續(xù)的，通俗理解就是，盡管有理數(shù)非常稠密，但遠不能把數(shù)軸都填滿，數(shù)軸上還有更稠密的無理數(shù)。

通俗理解是這樣的，不管兩個有理數(shù)挨得有多近，總能在兩者之間找到其他有理數(shù)。

也就是說，有理數(shù)所謂的稠密，只是建立在“有理數(shù)”這個概念上的，是“有理數(shù)的稠密”。但稠密的有理數(shù)并不是連續(xù)的，這意味著，不管兩個有理數(shù)挨得有多近，中間也會有無數(shù)個無理數(shù)。

但是無理數(shù)的存在并不影響有理數(shù)的“稠密性”。打個有些嚇人的比喻，有50個人緊挨著站成一排，肯定是稠密的，但每個人中間都存在無數(shù)多個“鬼”，但“鬼”的存在并不影響人的稠密性！

2.無理數(shù)是無限不循環(huán)小說，其實也可以這么理解：在小數(shù)點后面隨便亂寫，就是無理數(shù)。

我們都知道，無理數(shù)是無限不循環(huán)小說，不循環(huán)通俗來講就是沒有規(guī)律，就是隨便亂寫的。既然有無限不循環(huán)，那就有無限循環(huán)，無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而只要是循環(huán)的小數(shù)，就一定能寫成分?jǐn)?shù)，因為循環(huán)節(jié)的出現(xiàn)就意味著余數(shù)的重復(fù)，這點其實并不難證明，這里也不再證明了，不太明白了可以直接用無限循環(huán)的分?jǐn)?shù)做除法豎式，看看余數(shù)和循環(huán)節(jié)什么時候出現(xiàn)，很容易就明白了，比如說1/6，你可以試試。

而無限不循環(huán)小數(shù)，都不能寫成分?jǐn)?shù)。無限不循環(huán)讓人感覺有點不舒服，好像一個妖孽一樣，如此讓人捉摸不定。但是我們可以嘗試用有限小數(shù)來理解無理數(shù)。

隨便舉個例子，你可以在鍵盤上隨便敲擊一個無理數(shù)，，這個無理數(shù)是真隨機數(shù)，比如說0.6754837263......

這個數(shù)就是我閉著眼睛隨便敲鍵盤敲出來的，你也可以隨便敲。

很明顯0.6＜0.6754837263......＜0.7

把范圍繼續(xù)縮小，就是0.67＜0.6754837263......＜0.68

繼續(xù)縮小，就是0.675＜0.6754837263......＜0.676

如此類推，不斷縮小范圍，精確度越來越高，我們就能逐漸看出來無理數(shù)到底是一個什么樣的數(shù)。

有人可能會質(zhì)疑：上面那個無理數(shù)真的存在嗎？難道你隨機用鍵盤敲擊出一個小數(shù)就是無理數(shù)嗎？

確實是這樣，而且只要存在有理數(shù)，那么必然會存在無理數(shù)。

更不可思議的是，之前說了，有理數(shù)是稠密的，但稠密并不代表連續(xù)。如果無理數(shù)看到有理數(shù)如此稠密，肯定會這樣想：你們彼此之間確實挨得非常緊，但我還是覺得你們家里好空，所以我想進去。

別說，無理數(shù)還真的進去了，盡管有理數(shù)是稠密的。不但進去了，而且所有的無理數(shù)都進去了。

進去之后，我們就發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)和無理數(shù)一起組成了一個新的大家庭，也就是實數(shù)，所有的實數(shù)與數(shù)軸是一一對應(yīng)的，這又頓時讓我們覺得非常舒適，全然沒有了剛才無理數(shù)的“無理”感。

3.數(shù)軸上為何幾乎全是無理數(shù)？

雖然有理數(shù)和無理數(shù)一起組成了實數(shù)，但現(xiàn)實情況是，無理數(shù)要比有理數(shù)多得多。雖然有理數(shù)和無理數(shù)都是無窮多，但兩個無窮完全不是一個等級的，無窮也是有大小的。打個比方，無理數(shù)的無窮是有限的無窮，而無理數(shù)的無窮是無限的無窮。

可以這樣通俗理解，如果有理數(shù)的數(shù)量是1，那么無理數(shù)的數(shù)量就是所有的整數(shù)！

這就來到了題目中的問題，在數(shù)軸上隨便砍一刀，砍到有理數(shù)的概率為0！而砍到無理數(shù)的概率為100%！

當(dāng)然，這里還要繼續(xù)強調(diào)，概率為0并不代表不可能事件，概率為100%也不代表必然事件。當(dāng)然這里的概率只是一個概念，更多的是指數(shù)學(xué)上的概率分析。關(guān)于這點不再過多解釋，你只需要選擇相信就可以了，不相信的送兩個字：民科！（好像有點霸道，呵呵）

這里有一個疑問，無窮多和無窮多到底該怎么比較大小呢？

其實剛才已經(jīng)對比過了，簡單說就是利用集合的概念，兩個無窮的合集只要能一一對應(yīng)，就是一樣大的，反之就不一樣大。

比如偶數(shù)和整數(shù)兩個集合就能一一對應(yīng)，偶數(shù)和整數(shù)就是一樣多的，剛才也證明了。

這種思想最早出自于康拓爾，他還提出了一個“可列”的概念，比如，上面提到的整數(shù)，偶數(shù)和奇數(shù)都是“可列”的，所以它們的數(shù)量一樣多。

這里強調(diào)一下，“可列”這個概念是翻譯過來的，也有翻譯成“可數(shù)”的，兩者是一個意思，不過我感覺“可列”更能表達原意。

整數(shù)，偶數(shù)和奇數(shù)都是“可列”的，那么有理數(shù)也是“可列”的嗎？

答案是肯定的，證明方法其實很簡單，因為有理數(shù)其實就是分?jǐn)?shù)，用p/q來表示，這里只需要把p+q按照從小到大依次排列就可以了，結(jié)果就是：

1/1,

1/2, 2/1,

1/3,2/2, 3/1,

1/4, 2/3, 3/2, 4/1,

1/5, 2/4, 3/3, 4/2,5/1

很明顯，有理數(shù)也是“可列”的。那么問題來了，無理數(shù)是“可列”的嗎？

答案是否定的，無理數(shù)并不是“可列”的。為什么？如何證明？有一個絕妙的方法，還是康拓爾提出來的，“對角線證法”，具體過程可能比較復(fù)雜，這里盡量以通俗的語言來講述，利用的是反證法。

假設(shè)無理數(shù)是“可列”的。

嘗試列出0到1之間的所有無理數(shù)，當(dāng)然我們不可能真的全部列出，只需要閉著眼睛對著10個數(shù)字鍵盤一通盲打就可以了，順序并不重要。比如說打出了一下無理數(shù)：

仔細觀察，我們會發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律，所有的無理數(shù)組成了一個矩形陣列，并且列數(shù)和行數(shù)都是一樣的，都是n，這意味著上面所有的無理數(shù)組成的是正方形陣列。

如此一來，我們就可以從無理數(shù)的左上角到右下角直接劃出一個對角線，對角線就會穿過第一個行，也就是第一個無理數(shù)的第一列，然后穿過第2行第2列......直到穿過第n行的第n列。方便起見，我們把穿過的數(shù)字用紅色標(biāo)記出來，這個數(shù)字就是：859032......

接下來我們把上面的數(shù)字每一位都加1，其實加幾都無所謂，最終得到的結(jié)論都是一樣的。

加上1之后，會得到數(shù)字960143......，把這個數(shù)字與上面所有的無理數(shù)對比，你會發(fā)現(xiàn)這個數(shù)與任何一個無理數(shù)都不同，這個應(yīng)該很容易理解吧？

這說明了什么呢？說明無論你多么努力，都不可能把0到1之間的無理數(shù)全部列出來，總會有你列不出來的無理數(shù)存在，比如上面那個數(shù)960143......。

也就是說一開始的假設(shè)：“無理數(shù)是可列的”不成立。所以無理數(shù)是“不可列”的。

其實按照康拓爾的數(shù)學(xué)理論體系，我們根據(jù)一個集合是否“可列”，可以這樣更通俗地理解有理數(shù)和無理數(shù)：由于有理數(shù)是“可列”的，所以有理數(shù)的無窮是“可數(shù)無窮”，而無理數(shù)是“不可列”的，所以無理數(shù)是“不可數(shù)無窮”。

一個可數(shù)，一個不可數(shù)，兩者差別太大了，完全不是一個量級的。

也就是說，無理數(shù)的“無窮”，要比有理數(shù)的“無窮”更高一級，而這種級別也被康拓爾稱之為“勢”！

關(guān)于“勢”這種定義，其實是很復(fù)雜的，水也很深，這里就不展開了，說實話我也沒有了解得更深，能力有限，也不敢繼續(xù)深入研究下去，以免路走歪了最終走上民科的道路。

最后一個問題：如何具體證明無理數(shù)比有理數(shù)多得多呢？畢竟上面只是講述了“可列”與“不可列”的區(qū)別，并沒有完全證明。

要想證明無理數(shù)比有理數(shù)多得多，當(dāng)然不可能一個一個去數(shù)，也數(shù)不過來。但我們可以換一種思維，用“概率”的方式去證明。

說白了，我們可以在實數(shù)的數(shù)軸上任意取一個數(shù)，然后計算這個數(shù)正好是有理數(shù)的概率，如果這個概率是0，那么就足以證明無理數(shù)遠遠多于有理數(shù)。

但難題又來了，計算某個事件的概率，通常都是以有限的樣本為基礎(chǔ)的，而這次我們面對的是無窮多的有理數(shù)和無理數(shù)，該怎么計算有理數(shù)的概率呢？

這時候我們還要跳出固有的思維，不要忘了，有理數(shù)和無理數(shù)不僅僅是某個數(shù)字，還是“一條直線”，一條數(shù)軸這樣的直線就可以表達出全部實數(shù)。

那么，我們完全可以用幾何去表達數(shù)學(xué)，其實這就是所謂的“測度”。何為“測度”？通俗理解就是“長度”，測量的是幾何區(qū)域的長度。

這里有一個訣竅，我們只需要計算出有理數(shù)在數(shù)軸上的點的測度就可以了，也就是有理數(shù)在數(shù)軸上的點粘結(jié)起來的總長度。如果最終的測度，也就是總長度為零，那么在數(shù)軸上得到有理數(shù)的概率就是0。

如果把數(shù)軸上有理數(shù)上的點粘結(jié)起來呢？可以假設(shè)第一個有理數(shù)點的長度為x，第二個有理數(shù)點的長度為1/2x......第n個有理數(shù)點的長度就是x除以2的n次方。

為何一定要這樣設(shè)定呢？因為好計算更容易理解，非要設(shè)定成其他的數(shù)，也不是不可以，只是會非常復(fù)雜，但都不影響最終的結(jié)果。

這樣設(shè)定好之后，利用等比數(shù)列求和公式，我們很容易計算出全部有理數(shù)點的總長度為2x，證明過程就不需要詳述了吧？畢竟這僅僅需要初中數(shù)學(xué)水平就可以做到。

這就意味著，全部有理數(shù)點的總長度是第一個有理數(shù)點長度的兩倍。

到這里問題就很簡單了，只需要求出第一個有理數(shù)點的長度就可以了。而一個有理數(shù)上的點的大小是多少呢？顯然就是0。于是乎，全部有理數(shù)的總長度，也就是測度就是0的兩倍，結(jié)果還是0。

所以有理數(shù)的測度是0，無理數(shù)的測度是1，那么在數(shù)軸上隨機砍一刀，砍到有理數(shù)的概率就是0。

到這里，肯定會有人提出：你這個證明過程就是詭辯，既然點的大小是0，何必如此麻煩，不管多少個零，最終相加起來肯定還是0啊。而且用這種方式來證明無理數(shù)的長度，結(jié)果不也是0嗎？

其實這就涉及剛才所說的無窮中“勢”的概念，測度論還有“可列”與“不可列”的區(qū)別。通俗來講就是，無理數(shù)的“無窮”，和有理數(shù)的“無窮”并不一樣。前者不可列，也就是不可數(shù)，而后者是可列的，是可數(shù)的?？蓴?shù)在不可數(shù)面前其實與0沒啥區(qū)別。

你并不能用上面同樣的方法計算出無理數(shù)的測度多多少，因為無理數(shù)是不可列的，并不存在“第n個無理數(shù)”，但是存在“第n個有理數(shù)”，因為有理數(shù)與整數(shù)是一樣多的，兩者可以一一對應(yīng)。

其實還有其他方法可以通俗理解為何“在數(shù)軸上隨機取一點，取到有理數(shù)的概率為零”，比如說，數(shù)軸的精度是無窮的，而有理數(shù)其實相當(dāng)于一個有限精度的點，而無理數(shù)相當(dāng)于無限精度的點。而剛才說了，數(shù)軸的精度是無窮的，所以在數(shù)軸上隨機取的點，100%會是無理數(shù)。

最后說一點，“在數(shù)軸上隨機取一個點”這種行為其實是沒有意義的，因為我們根本無法定義“在數(shù)軸上隨機取一個點”這種事件，這種事件并不符合概率論中隨機事件的測度相關(guān)要求。

雖然無法定義，但這并不妨礙我們對有理數(shù)，無理數(shù)之間關(guān)系的理解，還有對無窮大小的理解。關(guān)于無窮的概念，您有什么看法呢？留言區(qū)討論吧！

完！